Номер / задача 14 страница 13, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Нам нужно найти, сколько точек пересечения могут образовать четыре прямые, каждые две из которых пересекаются.

По теореме 1.1 любые две пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку.

Всего пар прямых из четырёх: .

Каждая пара даёт ровно одну точку пересечения. Но некоторые пары могут пересекаться в одной и той же точке (если через одну точку проходят три или все четыре прямые).

Рассмотрим возможные случаи.

Случай 1. Никакие три прямые не проходят через одну точку. Тогда все 6 пар дают различные точки пересечения. Получаем 6 точек.

Случай 2. Ровно три прямые проходят через одну точку, а четвёртая пересекает каждую из них в отдельной точке. Тогда одна точка — общая для трёх прямых, и ещё 3 точки от пересечения четвёртой прямой с каждой из трёх. Итого: 1 + 3 = 4 точки.

Можно также рассмотреть вариант, когда две пары прямых пересекаются в двух разных точках (две тройки прямых через разные точки), но при четырёх прямых это даёт 3 или 5 точек в зависимости от расположения.

Случай 3. Все четыре прямые проходят через одну точку. Тогда точка пересечения всего 1.

Таким образом, может образоваться 1, 3, 4, 5 или 6 точек пересечения.

Ответ: наименьшее число точек пересечения — 1 (все прямые проходят через одну точку), наибольшее — 6 (никакие три прямые не проходят через одну точку). Возможные значения: 1, 3, 4, 5 или 6 точек.