Номер / задача 121 страница 36, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: На рисунке 99 $\angle MBC = \angle BEF$. Докажите, что $\angle ABE + \angle BED = 180°$. Рис. 99: прямая $AC$ с точкой $B$, из которой выходит луч $BM$ вверх-вправо; прямая $DF$ с точкой $E$, из которой выходит луч $EB$ вверх-влево; точки $A$, $B$, $C$ на верхней прямой, точки $D$, $E$, $F$ на нижней прямой.

Доказательство

∠ MBC и ∠ ABM — смежные углы (лучи BA и BC являются дополнительными, так как точка B лежит на прямой AC). Тогда:

∠ MBC = ∠ BEF по условию.

Углы ∠ ABM и ∠ ABE — это один и тот же угол? Нет, рассмотрим внимательнее.

Луч BA и луч BC — дополнительные лучи (точки A, B, C лежат на одной прямой). Луч BM выходит из точки B вверх. Тогда ∠ MBC и ∠ MBA — смежные углы, поэтому:

Аналогично, точки D, E, F лежат на одной прямой, поэтому лучи ED и EF — дополнительные. Углы ∠ BED и ∠ BEF — смежные, значит:

По условию ∠ MBC = ∠ BEF.

Из равенства (1): ∠ MBA = 180° - ∠ MBC.

Из равенства (2): ∠ BED = 180° - ∠ BEF.

Так как ∠ MBC = ∠ BEF, получаем:

Луч BE выходит из точки B. Угол ∠ ABE — это угол между лучом BA и лучом BE. Из рисунка видно, что луч BE направлен вниз от прямой AC, а луч BM — вверх. При этом ∠ ABE и ∠ ABM — разные углы.

Однако заметим, что ∠ ABE + ∠ BED — это то, что нужно доказать равным 180°.

Рассмотрим иначе. Из (2):

Тогда:

Нужно показать, что ∠ ABE = ∠ BEF.

Угол ∠ MBC и угол ∠ ABE — рассмотрим их связь. Луч BM идёт вверх-вправо от B, луч BE идёт вниз от B. Лучи BM и BE не обязательно дополнительные.

Но из рисунка 99 видно, что ∠ ABE и ∠ MBC — это вертикальные углы (луч BA дополнителен лучу BC, а луч BE дополнителен лучу BM, поскольку E и M расположены по разные стороны от прямой AC, и B, E, M лежат на одной прямой).

Следовательно:

По условию ∠ MBC = ∠ BEF. Из (3) получаем:

Из (2): ∠ BED + ∠ BEF = 180°. Подставляя (4):

Что и требовалось доказать.

Номер 121