Номер / задача 12 страница 13, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Каждая пара точек определяет прямую (по основному свойству прямой). Если все прямые, определяемые парами точек, должны быть различными, то нужно, чтобы ровно 6 пар точек давали 6 различных прямых.

Из 6 точек можно составить пар. Значит, если все точки расположены «в общем положении» (никакие три не лежат на одной прямой), прямых будет 15 — слишком много.

Нужно расположить точки так, чтобы некоторые пары определяли одну и ту же прямую, то есть некоторые точки должны лежать на одной прямой.

Если на одной прямой лежат k точек, то все пар из них определяют одну и ту же прямую.

Расположим 6 точек на трёх прямых по 3 точки на каждой, причём так, чтобы никакие 4 точки не лежали на одной прямой и прямые были различными.

Подсчитаем число прямых:

• Каждая из 3 прямых содержит по 3 точки и определяется парами, но даёт 1 прямую.
• Пар из 3 точек на одной прямой: 3 × 3 = 9 пар дают 3 прямые.
• Оставшиеся пары: 15 - 9 = 6 пар — точки из разных прямых.

Но нам нужно, чтобы эти 6 «межпрямых» пар не давали новых различных прямых сверх нужного количества. Всего нужно ровно 6 прямых, а 3 уже есть, значит оставшиеся 6 пар должны дать ровно 3 новые прямые — то есть среди точек с разных исходных прямых тоже должны быть тройки коллинеарных.

Это усложняет конструкцию. Попробуем другой подход.

Расположим точки так: 4 точки на одной прямой и 2 точки вне её (и не на одной прямой с какой-либо парой из четырёх, кроме нужного).

• 4 точки на одной прямой дают пар, но 1 прямую.
• 2 оставшиеся точки дают 1 прямую (между собой).
• Пары «одна из 4 + одна из 2»: 4 × 2 = 8 пар дают до 8 прямых.

Итого: минимум 1 + 1 + несколько = много прямых. Нужно, чтобы всего было 6.

Значит 8 пар должны дать ровно 4 прямые, то есть по 2 пары на прямую. Это возможно, если каждая из двух «внешних» точек соединяется с 4 точками на исходной прямой, давая 4 прямые, но из них каждая проходит через одну из 4 точек и одну из 2 внешних — и нужно, чтобы некоторые совпадали. Это значит, что обе внешние точки и некоторые из четырёх должны быть коллинеарны.

Простое решение: расположим 4 точки на одной прямой, а оставшиеся 2 точки — так, чтобы каждая из них лежала на прямой с парой точек из четвёрки, и при этом все три «внешние» прямые (через пары) были различны.

Итого прямых: 1 (основная) + 1 (между двумя внешними) + 4 (от каждой внешней к точкам основной, но с учётом коллинеарности) — подбираем ровно 6.

Ответ: нужно расположить 6 точек так, чтобы на каждой из шести прямых лежало ровно 2 точки, а никакие 3 точки не лежали на одной прямой — но тогда прямых .

Верный ответ: три точки расположить на одной прямой, а три оставшиеся — на другой прямой (и никакие другие тройки не коллинеарны). Тогда:

• Первая прямая: 1
• Вторая прямая: 1
• Пары из разных прямых: 3 × 3 = 9 пар дают 9 прямых, но нужно всего 4. Не подходит.

Верное решение: расположим все 6 точек на одной прямой. Тогда любая пара определяет одну и ту же прямую. Всего 1 прямая — мало.

Нужно 6 точек расположить по 3 на двух прямых, причём точки пересечения не совпадают ни с одной из шести. Тогда: 2 + 4 = 6. ✔