Номер / задача 116 страница 36, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Пусть две прямые пересекаются в точке O и образуют вертикальные углы ∠ 1 и ∠ 2, отличные от развёрнутого, а ∠ 3 — угол, смежный с каждым из них (рис. 90).

Пусть OK — биссектриса угла 1, OL — биссектриса угла 2.

Надо доказать, что ∠ KOL = 180°.

Так как вертикальные углы равны, то ∠ 1 = ∠ 2. Обозначим ∠ 1 = ∠ 2 = 2α.

Тогда, поскольку OK — биссектриса угла 1, луч OK делит угол 1 на два равных угла по α.

Аналогично, OL — биссектриса угла 2, и луч OL делит угол 2 на два равных угла по α.

Рассмотрим угол KOL. Луч OK лежит внутри угла 1, а луч OL лежит внутри угла 2. Переходя от луча OK к лучу OL, мы проходим:

• половину угла 1 (от OK до одной из сторон): α,
• угол 3 (смежный с углом 1): ∠ 3,
• половину угла 2 (от стороны до OL): α.

По основному свойству величины угла:

Так как углы 1 и 3 смежные:

Следовательно, ∠ KOL = 180°.

Угол между биссектрисами вертикальных углов является развёрнутым, то есть биссектрисы вертикальных углов являются дополнительными лучами (лежат на одной прямой).

Ответ: 180° (биссектрисы вертикальных углов образуют развёрнутый угол, т.е. являются дополнительными лучами).