Равномерное движение по окружности

п.1. Криволинейное движение

Прямолинейное движение встречается довольно редко и только на отдельных участках пути. Чаще мы имеем дело с криволинейным движением.

Примеры криволинейного движения:

• движение по окружности: движение конца стрелки по циферблату часов, резца по детали на токарном станке, велосипедиста по велотреку;
• движение по эллипсу: вращение Луны вокруг Земли, вращение искусственных спутников вокруг Земли, вращение планет вокруг Солнца;
• движение по параболе: полет футбольного мяча, полет снаряда, полет межконтинентальной ракеты;
• движение по гиперболе: пролет астероида вблизи Земли, пролет кометы через Солнечную систему.

Это интересно

Окружность, эллипс, парабола, гипербола, - эти, на первый взгляд, совершенно разные кривые можно получить из одного и того же конуса, если рассекать его под разными углами к основанию. Поэтому все эти кривые называются коническими сечениями.

Движение тела по криволинейной траектории всегда можно разбить на отдельные участки, которые можно представить дугами некоторых окружностей. Вектор перемещения \(\overrightarrow{r}\) будет направлен по отрезку, соединяющему начальную и конечную точку на окружности (такой отрезок называется хордой). Путь \(s\) будет равен длине дуги между этими точками. Вектор скорости \(\overrightarrow{v}\)в каждой точке будет направлен по касательной к окружности.

п.2. Равномерное движение по окружности

В каждой точке траектории скорость направлена по касательной. И хотя модуль скорости остается постоянным: $$ |\overrightarrow{v_1}|= |\overrightarrow{v_2}|= |\overrightarrow{v_3}|=v=const $$ направление скорости всё время меняется. Поэтому вектора скоростей не равны между собой: $$ \overrightarrow{v_1}\neq \overrightarrow{v_2}\neq \overrightarrow{v_3} $$

п.3. Параметры равномерного движения по окружности

Пусть \(R\) - радиус окружности, по которой движется тело, \(v\) – величина скорости равномерного движения. Пусть за время \(t\) тело совершило \(N\) оборотов.

Период и частота вращения являются взаимно обратными величинами: \(T=\frac 1f\).

За один полный оборот тело пройдет путь, равный длине окружности: $$ s=2\pi R $$ Этот путь тело проходит равномерно, с постоянной скоростью. Значит, период вращения: $$ T=\frac sv=\frac{2\pi R}{v} $$

Это интересно

Пятна на экваторе Солнца вращаются равномерно и совершают полный оборот за 24,47 земных суток $$ T=24,47\ сут $$ Зная, что радиус Солнца равен R=696 тыс.км, мы можем рассчитать линейную скорость вращения на экваторе: $$ v=\frac{2\pi\cdot 696\ тыс.км}{24,47\cdot 24\ ч}\approx 7,45\frac{тыс.км}{ч}\approx 2,1 \frac{тыс.км}{c}(!) $$

п.4. Задачи

Задача 1. Во сколько раз период вращения часовой стрелки больше периода вращения минутной стрелки на часах?

Дано:
\(T_1=60\ мин=1\ ч\)
\(T_2=12\ ч\)
__________________
\(\frac{T_2}{T_1}-?\)

В этой задаче расчеты удобно вести во внесистемных единицах – в часах.
Получаем: $$ \frac{T_2}{T_1}=\frac{12}{1}=12 $$ Ответ: в 12 раз

Задача 2. Чему равен путь, пройденный концом минутной стрелки башенных часов за 20 минут, если длина стрелки 3 м? Ответ округлите до сотых.

Дано:
\(t=20\ мин=1200\ с \)
\(T=60\ мин=3600\ с\)
\(R=3\ м\)
__________________
\(s-?\)

Путь, который проходит стрелка за период T (1 час) равен длине окружности \(L=2\pi R\).
А путь, который стрелка проходит за время \(t\lt T\), равен части полной дуги окружности: $$ s=L\frac tT=2\pi R\frac tT $$ Подставляем: $$ s=2\pi\cdot 3\cdot\frac{1200}{3600}=2\pi\ (м)\approx 6,28\ (м) $$ Ответ: 6,28 м

Задача 3. Автомобиль едет со скоростью 72 км/ч. Найдите период вращения его колеса диаметром 70 см. Ответ округлите до сотых.

Дано:
\(v=72\ км/ч=20\ м/с\)
\(D=70\ см=0,7\ м \)
__________________
\(T-?\)

Линейная скорость обода колеса равна скорости автомобиля.
Линейная скорость равна отношению длины окружности к периоду вращения: $$ v=\frac{2\pi R}{T}=\frac{\pi D}{T} $$ Период равен: $$ T=\frac{\pi D}{v} $$ Подставляем: $$ T=\frac{\pi\cdot 0,7}{20}\approx 0,11\ (c) $$ Ответ: 0,11 с

Задача 4. Найдите линейную скорость вращения Земли вокруг своей оси для точек на экваторе. Радиус Земли R=6400  км. Выразите ответ в м/с и км/ч, ответ округлите до целых.

Дано:
\(R=6400\ км\)
\(T=24\ ч \)
__________________
\(v-?\)

Линейная скорость равна отношению длины окружности к периоду вращения: $$ v=\frac{2\pi R}{T} $$ Получаем (в км/ч): $$ v=\frac{2\pi\cdot 6400}{24}\approx 1676\ (км/ч) $$ Переведем в м/с (см. §7 данного справочника): $$ \frac{1676}{3,6}\approx 465\ (м/с) $$ Ответ: 1676 км/ч; 465 м/с

Задача 5. Во сколько раз линейная скорость точки на ободе колеса радиусом 8 см больше линейной скорости точки, расположенной на 3 см ближе к оси вращения колеса?

Дано: \(R=8\ см=0,08\ м\) \(\triangle r=3\ см=0,03\ м\) __________________ \(\frac{v_R}{v_r}-?\)

Радиус вращения для второй точки: \(r=R-\triangle r\).
Период вращения для обеих точек будет одинаковым: $$ T=\frac{2\pi R}{v_R}=\frac{2\pi r}{v_r}\Rightarrow\frac{R}{v_R}=\frac{r}{v_r}\Rightarrow\frac{v_R}{v_r}= \frac Rr $$ Получаем: $$ \frac{v_R}{v_R}=\frac{R}{R-\triangle r} $$ Подставляем: $$ \frac{v_R}{v_r}=\frac{0,08}{0,08-0,03}=1,6 $$ Ответ: в 1,6 раз

Задача 6. Шкив радиусом 30 см вращается с частотой 120 об/мин. Определите период вращения и линейную скорость точек на ободе шкива. Значение скорости округлите до сотых.

Дано:
\(R=30\ см=0,3\ м \)
\(f=120\frac{об}{мин}=\frac{120\ об}{1\ мин}=\frac{120\ об}{60\ c}=2\ об/с\)
__________________
\(T,\ v-?\)

Период вращения – величина, обратная частоте: \(T=\frac 1f\) $$ T=\frac 12=0,5\ (c) $$ Линейная скорость: \(v=\frac{2\pi R}{T}\) $$ v=\frac{2\pi\cdot 0,3}{0,5}\approx 3,77\ (м/c) $$ Ответ: 0,5 с; 3,77 м/с

Задача 7*. Пуля вылетела из ствола и пролетела 5 м со скоростью 750 м/с, вращаясь вокруг своей оси с частотой 3000 об/с. Сколько оборотов совершила пуля на этом пути?

Дано:
\(u=750\ м/с \)
\(s=5\ м\)
\(f=3000\ об/с\)
__________________
\(N-?\)

Найдем время полета пули: \(T=\frac su\)
За один период \(T\) пуля совершает один оборот, за время \(t\ -\ N\) оборотов.
Получаем: $$ N=\frac tT=t\cdot f=\frac su f $$ Подставляем: $$ N=\frac{5}{750}\cdot 3000=20 $$ Ответ: 20 оборотов