Полная вероятность и формула Байеса

п.1. Зависимые события и условные вероятности

Чтобы вспомнить о сложении и умножении вероятностей и независимых событиях – см. §39 справочника для 9 класса.

Напомним, что два случайных события A и B называют независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого.
Например: при бросании монеты несколько раз каждый следующий бросок совершенно не зависит от предыдущих.

Например:
Рассмотрим урну, в которой находится 3 белых и 3 черных шара.
Мы достаем шары, смотрим на их цвет и не возвращаем их на место. События в последовательности становятся зависимыми.
Пусть событие A="в 1й раз достаем черный шар",
Событие B="во 2й раз достаем белый шар"
Событие C="во 2й раз достаем черный шар"
После того, как произошло событие A, в урне остается 3 белых и 2 черных шара.
Тогда условная вероятность для события B при условии, что событие A произошло:
\(P(B|A)=\frac35\)
Аналогично, условная вероятность для события C:
\(P(B|A)=\frac25\)

п.2. Вероятность совместного появления событий

Например:
Продолжая предыдущий пример, вероятность события \((A\wedge B)\) – 1й раз достали черный шар и 2й раз белый – равна: $$ P(A\wedge B)=P(A)\cdot P(B|A)=\frac12\cdot \frac35=0,3 $$ Также, напомним:

Например:
Пусть в урне 3 белых и 3 черных шара. Мы достаем шары, смотрим на их цвет и возвращаем их на место. В последовательности наших действий все события будут независимыми. Каждый раз, вероятность достать белый или черный шар будет равна 1/2. Поэтому, в этом случае вероятность события \((A\wedge B)\) – 1й раз достали черный шар, а 2й раз белый – равна: $$ P(A\wedge B)=P(A)\cdot P(B)=\frac12\cdot\frac12=0,25 $$

п.3. Формула полной вероятности

Чтобы вспомнить о несовместных событиях и полной группе событий – см. §39 справочника для 9 класса.
Например:
При подбрасывании монеты события A=«получить орла» и B=«получить решку» - несовместные, т.к. одновременно произойти не могут.
В то же время, эти несовместные события A и B образуют пространство элементарных событий или полную группу \(\Omega=\left\{B;B\right\}\), т.к. ничего другого, кроме орла или решки, получить нельзя. Сумма вероятностей \(P(A)+P(B)=\frac12+\frac12=1\), как и положено для полной группы.

Например:
В 11А и 11Б учится по 35 человек, а в 11В - 30 человек. Будем считать тех, у кого 4 и 5 баллов по алгебре и геометрии, «знатоками математики». Таких учеников в 11А - 10 человек, в 11Б - 7 человек, и в 11В - 3 человека.
Какова вероятность, что произвольно выбранный 11-классник окажется знатоком математики?
Пусть события A=«знаток математики», B_i=«ученик i-го класса», \(i=\overline{1,3}\)
Составим таблицу:

Получаем полную вероятность \(P(A)=\sum_{i=1}^3 P(B_i)\cdot P(A|B_i)=0,2\)
В данном случае ответ можно получить и проще: 20 знатоков на 100 человек дает \(P(A)=0,2\).

п.4. Формула Байеса

По данному выше определению полной вероятности событие A случается, если происходит одно из событий полной группы \(\left\{B_i\right\}\).
Допустим, что событие A случилось. А какова вероятность, что при этом произошло конкретное событие \(B_1\in\left\{B_i\right\}\)? Т.е., нас интересует условная вероятность \(P(B_1|A)\).
По теореме об умножении вероятностей: $$ P(A\wedge B_1)=P(B_1)\cdot P(A|B_1)=P(A)\cdot P(B_1|A) $$ Откуда: $$ P(B_1|A)=\frac{P(B_1)\cdot P(A|B_1)}{P(A)} $$ То же самое справедливо для любого события \(B_p\in\left\{B_i\right\}\). Предположение о том, что случилось событие \(B_p\), называют гипотезой.

Например:
Продолжим задачу с 11-классниками. Какова вероятность того, что произвольно взятый знаток математики учится в 11Б?
Наши события: A=«знаток математики», B₂=«ученик 11Б класса».
Событие A «случилось» - у нас имеется знаток, а событие B₂ - это гипотеза про 11Б.
И ответом на поставленный вопрос является вероятность \(P(B_2|A)\).
Из нашей таблицы: $$ P(B_2)\cdot P(A|B_2)=0,07;\ \ P(A)=0,2 $$ Получаем: $$ P(B_2|A)=\frac{P(B_2)\cdot P(A|B_2)}{P(A)}=\frac{0,07}{0,2}=0,35 $$ Т.е. 11Б дает 35% всех знатоков математики в этой школе.
Если сравнить апостериорную вероятность \(P(B_2|A)=0,35\) с априорной вероятностью \(P(B_2)=0,35\), они равны. Событие A не повлияло на оценку вклада 11Б в интеллектуальный багаж школы, он находится на среднем уровне.
Теперь найдем вероятность того, что произвольно взятый знаток математики учится в 11А: \begin{gather*} P(B_1|A)=\frac{P(B_1)\cdot P(A|B_1)}{P(A)}=\frac{0,1}{0,2}=0,5\\ P(B_1|A)\gt P(B_1) \end{gather*} Вклад 11А по факту (апостериорная вероятность 0,5) оказывается большим, чем ожидалось по количеству учеников (априорная вероятность 0,35). 50% знатоков всей школы – из этого класса.
Наконец, найдем вероятность того, что произвольно взятый знаток математики учится в 11В: \begin{gather*} P(B_3|A)=\frac{P(B_3)\cdot P(A|B_3)}{P(A)}=\frac{0,03}{0,2}=0,15\\ P(B_3|A)\lt P(B_3) \end{gather*} Вклад 11В по факту (апостериорная вероятность 0,15) оказывается меньшим, чем ожидалось по количеству учеников (априорная вероятность 0,3). Только 15% знатоков всей школы – из этого класса.

п.5. Примеры

Пример 1. Двигатель работает в трех режимах: нормальном (65% времени), форсированном (25% времени) и холостом. Вероятность поломки в каждом из режимов соответственно равна \(p_1=0,1;\ p_2=0,8;\ p_3=0,05\).
а) найдите вероятность поломки двигателя во время работы;
б) двигатель сломался. Какова вероятность, что он в этот момент работал в форсированном режиме?

а) Пусть событие A=«поломка двигателя», B_i - «работа в i-м режиме», \(i=\overline{1,3}\)
Необходимо найти полную вероятность \(P(A)\).
Составим таблицу:

Вероятность поломки (полная вероятность): $$ P(A)=\sum_{i=1}^3 P(B_i)\cdot P(A|B_i)=0,27 $$
б) Событие A=«поломка двигателя» произошло. Гипотеза B₂ - «работа в форсированном режиме» при фактической поломке имеет вероятность: $$ P(B_2|A)=\frac{P(B_2)\cdot P(A|B_2)}{P(A)}=\frac{0,2}{0,27}=\frac{20}{27}\approx 0,741 $$ Апостериорная вероятность \(P(B_2|A)\approx 0,741\) больше априорной вероятности \(P(B_2)=0,25\).

Ответ: a) 0,27; б) \(\frac{20}{27}\approx 0,741\)

Пример 2. В состязании лучников участвуют три стрелка. Вероятность попадания в мишень для каждого из них равна 0,3; 0,5 и 0,7. Один из стрелков стреляет и не попадает. Какова вероятность, что это был:
а) первый стрелок;
б) второй стрелок;
в) третий стрелок;

Пусть событие A=«промах», B_i - «выстрел i-го стрелка», \(i=\overline{1,3}\)
Т.к. стрелять мог любой из стрелков \(P(B_i)=\frac13\) для каждого из них.
Чтобы найти вероятность промаха, нужно от 1 отнять вероятность попадания.
Составим таблицу:

Полная вероятность: $$ P(A)=\sum_{i=1}^3 P(B_i)\cdot P(A|B_i)=\frac{7}{30}+\frac16+\frac{1}{10}=0,5 $$ Промах произошел. Находим апостериорные вероятности для каждого стрелка: \begin{gather*} P(B_1|A)=\frac{P(B_1)\cdot P(A|B_1)}{P(A)}=\frac{7/30}{0,5}=\frac{7}{15}\approx 0,467\\ P(B_2|A)=\frac{P(B_2)\cdot P(A|B_2)}{P(A)}=\frac{1/6}{0,5}=\frac{2}{3}\approx 0,333\\ P(B_3|A)=\frac{P(B_3)\cdot P(A|B_3)}{P(A)}=\frac{1/10}{0,5}=\frac{1}{5}=0,2\\ \end{gather*} С точки зрения практической, можно сказать, что «вероятнее всего», это был первый стрелок.

Ответ: a) \(\frac{7}{15}\); б) \(\frac{1}{3}\); в) \(\frac{1}{5}\)

Пример 3. Три фрилансера на площадке выполняют заказы в отношении по количеству 3:4:3. Доля успешно выполненных заказов для каждого из них составляет 98%, 95% и 90%.
а) найдите вероятность успешного выполнения заказа на площадке;
б) найдите вероятность неуспеха на площадке;
в) кто из фрилансеров, вероятнее всего, виноват в неуспешной работе?

Пусть событие A=«успех», B_i - «работа i-го фрилансера», \(i=\overline{1,3}\)
Составим таблицу успешной деятельности:

Вероятность успешного выполнения (полная вероятность): $$ P(A)=\sum_{i=1}^3 P(B_i)\cdot P(A|B_i)=0,944 $$ б) Вероятность неуспеха (противоположное событие): $$ P(\overline{A})=1-P(A)=1-0,944=0,056 $$ в) Составим таблицу неуспешной деятельности:

Апостериорные вероятности для каждого из фрилансеров: \begin{gather*} P(B_1|\overline{A})=\frac{P(B_1)\cdot P(\overline{A}|B_1)}{P(\overline{A})}=\frac{0,006}{0,056}=\frac{3}{28}\approx 0,107\\ P(B_2|\overline{A})=\frac{P(B_2)\cdot P(\overline{A}|B_2)}{P(\overline{A})}=\frac{0,02}{0,056}=\frac{5}{14}\approx 0,357\\ P(B_3|\overline{A})=\frac{P(B_3)\cdot P(\overline{A}|B_3)}{P(\overline{A})}=\frac{0,03}{0,056}=\frac{15}{28}\approx 0,536 \end{gather*} Наибольшая вероятность неуспеха – у третьего фрилансера.

Ответ: а) 0,944; б) 0,056; в) третий фрилансер.

Пример 4. Докажите, что если полная вероятность события A равна $$ P(A)=\sum_{i=1}^k P(B_i)\cdot P(A|B_i) $$ то вероятность противоположного события равна \(P(\overline{A})=1-P(A)\).

По условию событие A происходит только при выполнении одного из событий полной группы \(\left\{B_i\right\}.\ i=\overline{i,k}\). Соответственно, противоположное событие \(\overline{A}\) также происходит при выполнении одного из событий \(B_i\). При этом условная вероятность для противоположного события: $$ P(\overline{A}|B_i)=1-P(A|B_i) $$ Заметим также, что для полной группы сумма вероятностей равна 1: \begin{gather*} \sum_{i=1}^k P(B_i)=1 \end{gather*} Получаем: \begin{gather*} P(\overline{A})=\sum_{i=1}^k P(B_i)\cdot P(\overline{A}|B_i)=\sum_{i=1}^k P(B_i)\cdot (1-P(A|B_i))=\\ =\sum_{i=1}^k P(B_i)-\sum_{i=1}^k P(B_i)\cdot P(A|B_i)=1-P(A) \end{gather*} Что и требовалось доказать.