Сложение и умножение вероятностей

п.1. Сложение вероятностей несовместных событий

События называют несовместными, если они не могут произойти одновременно в результате одного опыта.

Например:
1) Нельзя одновременно A = «получить 5» и B = «получить 2» на экзамене. События A и B – несовместны.
2) Нельзя одновременно C = «достать туз» и D = «достать шестерку» из колоды карт. События C и D – несовместны.

Вероятность появления одного из двух несовместных событий A или B равна сумме вероятностей этих событий: $$ \mathrm{ P(A\vee B)=P(A) + P(B) } $$

Если обобщить на любое количество событий:

Вероятность появления нескольких несовместных событий A1 или A2 или ...Ak равна сумме вероятностей этих событий: $$ \mathrm{ P(A_1\vee A_2\vee ... \vee A_k)=P(A_1) + P(A_2) + ... + P(A_k) } $$

Например:
Стрелок может попасть в «10» с вероятностью P(10) = 0,3, в «9» – с вероятностью P(9) = 0,2. Значит, попасть в «10 или 9» он может с вероятностью:

P(«10 или 9») = 0,3 + 0,2 = 0,5

п.2. Вероятность противоположного события

Пространство элементарных событий образует полную группу событий.

Сумма вероятностей всех событий, образующих полную группу, равна единице. $$ \mathrm{ \Omega=\{A_1, A_2, ..., A_k\},\ \ P(A_1) + P(A_2) + ... + P(A_k) = 1 } $$

Например:
При бросании кубика Ω = {1; 2; ... ; 6} – полная группа событий.
Вероятности выпадения каждой грани: \(\mathrm{p_1=p_2=...=p_6=\frac16}\)
Сумма всех вероятностей: \(\mathrm{p_1+p_2+...+p_6=6\cdot \frac16=1}\)

Два случайных события A и B называют противоположными, если они несовместны и образуют полную группу событий: $$ \mathrm{ \Omega=\left\{A;B\right\},\ \ B=\overline{A}, } $$ Сумма вероятностей противоположных событий равна единице. $$ \mathrm{ P(A) + P(B) = P(A) + P(\overline{A}) = 1 } $$

Например:
Вероятность попадания стрелка в мишень p = 0,8.
Противоположное событие: стрелок не попадёт в мишень. Его вероятность:
q = 1 – p = 0,2.

п.3. Умножение вероятностей независимых событий

Два случайных события A и B называют независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого.
Вероятность совместного появления двух независимых событий A и B равна произведению вероятностей этих событий: $$ \mathrm{ P(A \wedge B) = P(A) \cdot P(B) } $$

Если обобщить на любое количество событий:

Вероятность совместного появления нескольких независимых событий A1 и A2 и ... Ak равна произведению вероятностей этих событий: $$ \mathrm{ P(A_1\wedge A_2\wedge ...\wedge A_k)=P(A_1)\cdot P(A_2)\cdot ... \cdot P(A_k) } $$

Например:
Вероятность попадания стрелка в мишень p = 0,8.
Стрелок делает три выстрела подряд.
1) Какова вероятность, что он попал все три раза?
Каждый выстрел является независимым событием, поэтому вероятность трёх удачных выстрелов подряд:

P3 = P(+, +, +) = p · p · p = 0,83 = 0,512

2) Какова вероятность, что он не попал ни разу?
Вероятность промаха равна q = 1 – p = 0,2.
Вероятность трёх промахов подряд:

P0 = P(–, –, –) = q · q · q = 0,23 = 0,008

3) Какова вероятность, что он попал только один раз?
Стрелок мог попасть при первом выстреле, а затем два раза промахнуться, или при втором выстреле (промахнуться на первом и третьем), или при третьем (промахнувшись два раза поначалу). Сложение и умножение вероятностей даёт итоговую вероятность одного попадания:

P1 = P(+,–,–) + P(–,+,–) + P(–,–,+) =
p · q · q + q · p · q + q · q · p = 3pq2 = 3 · 0,8 · 0,22 = 0,096

4) Какова вероятность, что он промахнулся один раз?
Аналогичные предыдущему пункту рассуждения приводят к такому выражению для вероятности двух попаданий (одного промаха):

P2 = P(–,+,+) + P(+,–,+) + P(+,+,–) =
q · p · p + p · q · p + p · p · q = 3p2q = 3 · 0,82 · 0,2 = 0,384

Мы получили следующий закон распределения для возможного количества попаданий из трёх выстрелов:

Количество попаданий, X

0

1

2

3

Вероятность, Px

0,008

0,096

0,384

0,512

X = {0; 1; 2; 3} образует полную группу событий. Сумма всех вероятностей:

P0 +P1 + P2 + P3 = 0,008 + 0,096 + 0,384 + 0,512 = 1

п.4. Вероятность появления хотя бы одного события

Вероятность появления хотя бы одного из событий A1, A2, ..., Ak, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий: $$ \mathrm{ P(A)=1-q_1\cdot q_2\cdot ... \cdot q_{k},\ \ q_{i}=1-p_{i} } $$

Например:
Студент сдаёт два экзамена.
Вероятность сдать первый экзамен равна p1 = 0,7 второй – p2 = 0,6.
Тогда вероятность сдать хотя бы один экзамен: P = 1 – q1q2 = 1 – 0,3 · 0,4 = 0,88.

п.5. Примеры

Пример 1. Подбрасывают четыре игральных кубика. Какова вероятность, что на каждом из них выпадет нечётное число очков?

Для кубика Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} – пространство элементарных событий.
Выпадение нечётного числа A = {1; 3; 5}. Вероятность выпадения нечётного числа для одного кубика: \(\mathrm{p=\frac{k}{n}=\frac36=\frac12}\).
Результаты подбрасывания 4-х кубиков являются независимыми. Вероятность, что на каждом выпадет нечётное число: $$ \mathrm{ P=p\cdot p\cdot p\cdot p=p^4=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16} } $$ Ответ: \(\frac{1}{16}\).

Пример 2. На полигоне испытываются три ракеты.
Вероятность успешного испытания для каждой из ракет: p1 = 0,8, p2 = 0,75, p3 = 0,6.
Какова вероятность, что хотя бы одна ракета пройдёт испытания успешно?

Найдём вероятность того, что ни одна из ракет не пройдёт испытаний:

q1 = 1 – p1 = 0,2,   q2 = 1 – p2 = 0,25,   q3 = 1 – p3 = 0,4
q1 · q2 · q3 = 0,2 · 0,25 · 0,4 = 0,02

Тогда, искомая вероятность (противоположное событие):

P = 1 – q1 · q2 · q3 = 1 – 0,02 = 0,98

Ответ: 0,98.
Мораль: инвестору нужно показывать сразу несколько сырых проектов.

Пример 3. В системе пожарной сигнализации установлены два независимых датчика. Вероятность срабатывания каждого из датчиков при пожаре: p1 = 0,6; p2 = 0,7. Найдите вероятность того, что при пожаре:
1) сработает ровно один датчик;
2) сработает хотя бы один датчик.

Вероятности отказов: q1 = 1 – p1 = 0,4; q2 = 1 – p2 = 0,3.
1) Событие «сработает ровно один датчик» является суммой двух событий «первый сработал, второй – отказал» или «первый отказал, второй – сработал». Вероятность:

P1 = p1q2 + q1p2 = 0,6 · 0,3 + 0,4 · 0,7 = 0,46

2) Найдем вероятность отказа обоих датчиков:

P0 = q1q2 = 0,4 · 0,3 = 0,12

Событие «сработает хотя бы один датчик» является противоположным отказу обоих датчиков. Вероятность:

P1 ∨ 2 = 1 – P0 = 1 – 0,12 = 0,88

Ответ: 1) 0,46; 2) 0,88.

Пример 4. У админа в ящике 11 плат, из которых 3 – бракованные.
Наугад берётся 2 платы. Какова вероятность того, что хотя бы одна из них – рабочая?

Найдём вероятность того, что обе выбранные платы – бракованные.
Выбрать 2 платы из 3 бракованных можно \(\mathrm{C_3^2=C_3^1=3}\) способами.
Выбрать 2 платы из общей совокупности можно \(\mathrm{C_{11}^2=\frac{11\cdot 10}{1\cdot 2}=55}\) способами.
Вероятность взять обе бракованные платы из ящика: \(\mathrm{P_{2\ \text{бр}}=\frac{C_3^2}{C_2^{11}}=\frac{3}{55}}\)
Значит, вероятность того, что хотя бы одна плата не будет бракованной (противоположное событие):
\(\mathrm{P=1-P_{2\ \text{бр}}=1-\frac{3}{55}=\frac{52}{55}}\).
Ответ: \(\mathrm{\frac{52}{55}}\).

Пример 5*. Парадокс дней рождения
В классе учится k человек. Исследуйте вероятность того, что хотя бы у двух одноклассников дни рождения совпадают.

Считаем, что в году n = 365 дней.
Пусть день рождения одного из учеников известен (один день в году – «занят»).
Тогда вероятность того, что день рождения второго ученика не совпадает с днём рождения первого: \(\mathrm{q_2=1-\frac{1}{365}}\) («заняты» два дня).
Вероятность того, что день рождения третьего ученика не совпадает с днями рождения первых двух: \(\mathrm{q_3=1-\frac{2}{365}}\) («заняты» три дня). И т. д.
Для всех k учеников вероятность того, что все дни рождения разные: \begin{gather*} \mathrm{ \widetilde{p}(k)=q_2\cdot q_3\cdot ... \cdot q_{k}=\left(1-\frac{1}{365}\right)\left(1-\frac{2}{365}\right)...\left(1-\frac{k-1}{365}\right)= }\\ \mathrm{ =\frac{364\cdot 363\cdot ... \cdot(365-k+1)}{365^{k-1}}= \frac{365\cdot 364\cdot 363\cdot ... \cdot(365-k+1)}{365^{k}}= \frac{365!}{365^{k}(365-k)!} } \end{gather*} Значит, вероятность того, что хотя бы у двух одноклассников дни рождения совпадают: \begin{gather*} \mathrm{ p(k)=1-\widetilde{p}(k)=1-\frac{365!}{365^{k}(365-k)!} } \end{gather*}
Пример 5
Таким образом, в классе из 30 человек вероятность совпадения дней рождения равна 70,63%. А в группе из 50 человек она достигает 97,04%.

Рейтинг пользователей

за неделю
  • за неделю
  • один месяц
  • три месяца
    Регистрация
    Войти с помощью
    Необходимо принять пользовательское соглашение
    Войти
    Войти с помощью
    Восстановление пароля
    Пожаловаться
    Задать вопрос