Проверь себя в тестовой форме страница 89, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: Задание № 2 «Проверьте себя» в тестовой форме 1. Треугольник является остроугольным, если А) среди его углов нет тупого Б) каждый его угол меньше прямого В) среди его углов нет прямого Г) каждый его угол меньше тупого 2. Если высота треугольника ему не принадлежит, то этот треугольник является А) прямоугольным Б) тупоугольным В) равносторонним Г) остроугольным 3. Два треугольника равны, если А) две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника Б) два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника В) две стороны и угол одного треугольника равны двум сторонам и углу другого треугольника Г) две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника 4. Сколько пар равных треугольников изображено на рисунке? А) 1 Б) 2 В) 3 Г) 4 Рисунок: четырёхугольник с двумя диагоналями; на сторонах и диагоналях отмечены равные отрезки (двойными штрихами). 5. Известно, что точка $M$ — середина стороны $AC$ треугольника $ABC$. На луче $BM$ вне треугольника отложили отрезок $ME$, равный отрезку $BM$. Найдите $EC$, если $AB = 4{,}2$ см. А) 2,1 см Б) 4,2 см В) 4,8 см Г) 8,4 см 6. Какое из следующих утверждений истинно? А) равнобедренный треугольник — частный случай разностороннего треугольника Б) равносторонний треугольник — частный случай разностороннего треугольника В) равносторонний треугольник — частный случай равнобедренного треугольника Г) равнобедренный треугольник — частный случай равностороннего треугольника 7. Какое из следующих утверждений неверно? А) если высота треугольника делит сторону, к которой она проведена, на равные отрезки, то этот треугольник равнобедренный Б) если медиана и биссектриса, проведённые из одной вершины, не совпадают, то этот треугольник не является равнобедренным В) если треугольник равносторонний, то длина любой его высоты равна длине любой его биссектрисы Г) если два угла треугольника равны, то биссектриса третьего угла делит противолежащую сторону треугольника на равные отрезки 8. Треугольник является равносторонним, если А) его сторона в 3 раза меньше его периметра Б) каждая его сторона в 3 раза меньше его периметра В) две его высоты равны Г) две его биссектрисы равны 9. Периметр равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$) равен 16 см. Периметр треугольника $ABM$, где точка $M$ — середина отрезка $AC$, равен 12 см. Найдите медиану $BM$. А) 4 см Б) 6 см В) 2 см Г) 5 см 10. Каждая из точек $X$ и $Y$ равноудалена от концов отрезка $AB$. Какое из следующих утверждений может быть неверным? А) прямые $XY$ и $AB$ перпендикулярны Б) $\angle XAY = \angle XBY$ В) $\angle AXB = \angle AYB$ Г) $\angle AXY = \angle BXY$ 11. Точка $M$ — середина отрезка $AB$. Точка $X$ не принадлежит серединному перпендикуляру отрезка $AB$, если А) $XA = XB$ В) $XM \perp AB$ Б) $XM = XB$ Г) $\angle XAM = \angle XBM$

1. Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все углы острые, т.е. каждый угол меньше 90°.

Ответ: Б

2. Высота треугольника не принадлежит ему (т.е. основание высоты лежит вне стороны), когда в треугольнике есть тупой угол.

Ответ: Б

3. Первый признак равенства треугольников: две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника.

Ответ: Г

4. На рисунке четырёхугольник с двумя диагоналями и отмеченными равными отрезками (двойными штрихами). При таких обозначениях обычно получается 2 пары равных треугольников.

Ответ: Б

5. M — середина AC, значит AM = MC. На луче BM за точкой M отложен отрезок ME = BM.

Рассмотрим треугольники ABM и ECM:

BM = ME (по построению),
AM = MC (M — середина AC),
∠ AMB = ∠ CME (вертикальные углы).

По первому признаку равенства треугольников: △ ABM = △ ECM.

Следовательно, EC = AB = 4,2 см.

Ответ: Б

6. Равносторонний треугольник имеет все стороны равные, значит, в частности, две стороны равны — он является равнобедренным.

Ответ: В

7. Утверждение А: если высота делит сторону на равные отрезки, то треугольник равнобедренный. Это неверно в общем случае — высота, проведённая к стороне, может делить её пополам, но треугольник не обязательно равнобедренный (равнобедренным он будет лишь относительно той стороны, к которой проведена высота, и только если высота является медианой, что равносильно равнобедренности). На самом деле, если высота является одновременно медианой, то треугольник равнобедренный — утверждение А верно.

Утверждение Б — верно (свойство равнобедренного треугольника: медиана, биссектриса и высота из вершины совпадают).

Утверждение В — верно (в равностороннем треугольнике все высоты равны и все биссектрисы равны, причём каждая высота совпадает с биссектрисой).

Утверждение Г — верно (если два угла равны, треугольник равнобедренный, и биссектриса из третьей вершины является медианой).

Проверим А внимательнее: высота делит сторону пополам ⟹ высота является медианой ⟹ треугольник равнобедренный. Утверждение А верно.

Все утверждения кажутся верными, но нужно найти неверное. Утверждение А: высота к стороне BC делит BC пополам — это значит, что высота из A является медианой, значит AB = AC. Верно.

Ответ: А

8. Равносторонний треугольник: все три стороны равны, значит каждая сторона равна P/3, т.е. каждая сторона в 3 раза меньше периметра.

Ответ: Б

9. Пусть AB = BC = a, AC = b. Тогда 2a + b = 16.

M — середина AC, значит AM = b/2.

Периметр △ ABM: AB + BM + AM = a + BM + b/2 = 12.

Из первого уравнения: b = 16 - 2a, подставим:

Ответ: А

10. Точки X и Y равноудалены от концов AB, значит обе лежат на серединном перпендикуляре AB. Прямая XY — это и есть серединный перпендикуляр. Тогда XY ⊥ AB всегда верно, углы равны по симметрии. Утверждение В (∠ AXB = ∠ AYB) может быть неверным, так как эти углы зависят от расстояния точек до AB.

Ответ: В

11. Точка лежит на серединном перпендикуляре AB тогда и только тогда, когда XA = XB. Условие XM = XB не гарантирует этого.

Ответ: Б

Проверь себя в тестовой форме