Номер / задача 555 страница 146, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: Через концы диаметра $AB$ окружности с центром $O$ проведены хорды $AC$ и $BD$ такие, что $AC \| BD$. Докажите, что $AC = BD$.

Решение.

Соединим точки C и D с центром O.

Так как OA, OB, OC, OD — радиусы окружности, то OA = OB = OC = OD.

Треугольник AOC равнобедренный (OA = OC), значит ∠ OAC = ∠ OCA.

Треугольник BOD равнобедренный (OB = OD), значит ∠ OBD = ∠ ODB.

Так как AC | BD, а AB — секущая, то накрест лежащие углы равны:

Тогда ∠ OCA = ∠ OAC = ∠ OBD = ∠ ODB.

В треугольниках AOC и BOD:

Значит, треугольники AOC и BOD равны по двум сторонам и углу между...

Заметим, что углы ∠ OAC и ∠ OBD не являются углами между сторонами OA, OC и OB, OD. Воспользуемся другим подходом.

В треугольнике AOC: ∠ AOC = 180° - ∠ OAC - ∠ OCA = 180° - 2∠ OAC.

В треугольнике BOD: ∠ BOD = 180° - ∠ OBD - ∠ ODB = 180° - 2∠ OBD.

Так как ∠ OAC = ∠ OBD, то ∠ AOC = ∠ BOD.

Теперь в треугольниках AOC и BOD:

Следовательно, треугольники AOC и BOD равны по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда AC = BD.

Номер 555