Номер / задача 396 страница 113, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: На рисунке 274 изображена очень сложная замкнутая ломаная. Она ограничивает некоторую часть плоскости (многоугольник). Каким образом, отметив на рисунке любую точку, как можно быстрее определить, принадлежит эта точка многоугольнику или нет? Рис. 274: лабиринт — сложная замкнутая ломаная, ограничивающая многоугольник.

Решение

Чтобы определить, принадлежит ли отмеченная точка многоугольнику (т.е. находится ли она внутри замкнутой ломаной), нужно воспользоваться следующим способом:

Из отмеченной точки проведём луч в любом направлении и подсчитаем, сколько раз этот луч пересечёт стороны замкнутой ломаной.

Если число пересечений нечётное, то точка лежит внутри многоугольника.
Если число пересечений чётное, то точка лежит вне многоугольника.

Объяснение. Каждое пересечение луча со стороной ломаной означает переход из внутренней области во внешнюю или наоборот. Луч начинается в нашей точке, а заканчивается заведомо вне ломаной (уходит в бесконечность). Значит, если луч пересёк границу нечётное число раз — он начался внутри; если чётное — снаружи.

Ответ: нужно провести из данной точки луч в произвольном направлении и посчитать число его пересечений со сторонами ломаной. Если это число нечётное — точка принадлежит многоугольнику (лежит внутри), если чётное — не принадлежит (лежит снаружи).

Номер 396