Номер / задача 359 страница 105, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Нужно привести пример, когда пересечение (общая часть) треугольника и четырёхугольника является восьмиугольником.

Расположим треугольник и четырёхугольник так, чтобы каждая сторона одной фигуры пересекала стороны другой фигуры в двух точках. У треугольника 3 стороны, у четырёхугольника 4 стороны. Максимальное число точек пересечения сторон: 3 × 4 = 12, но для восьмиугольника нужно ровно 8 точек пересечения, образующих вершины общей части.

Рассмотрим большой треугольник и расположим четырёхугольник (например, прямоугольник) так, чтобы:

• каждая сторона треугольника пересекала ровно две стороны прямоугольника (это даёт 3 × 2 = 6 точек пересечения),
• две стороны прямоугольника целиком не лежали внутри треугольника, а две другие стороны пересекали по две стороны треугольника.

Подберём конкретные координаты. Возьмём:

Треугольник с вершинами A(0, 0), B(10, 0), C(5, 10).

Прямоугольник с вершинами P(-2, 2), Q(12, 2), R(12, 7), S(-2, 7).

Тогда каждая из трёх сторон треугольника пересекает две стороны прямоугольника (нижнюю и верхнюю, либо левую и правую), а две стороны прямоугольника (верхняя и нижняя) пересекают по две стороны треугольника. Общая часть — восьмиугольник.

На рисунке закрашенная зелёным область — общая часть треугольника ABC и прямоугольника PQRS. Она имеет ровно 8 вершин (точек пересечения сторон), то есть является восьмиугольником.

Ответ: если взять треугольник с вершинами (0; 0), (10; 0), (5; 10) и прямоугольник с вершинами (-2; 2), (12; 2), (12; 7), (-2; 7), то их общая часть — восьмиугольник.