Номер / задача 303 страница 88, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Доказательство (методом от противного)

Пусть дан треугольник ABC, в котором ни одна из высот не совпадает с биссектрисой, проведённой из той же вершины.

Требуется доказать: треугольник ABC не является равнобедренным.

Доказательство. Предположим противное: пусть треугольник ABC — равнобедренный, например AB = BC.

Тогда по свойству равнобедренного треугольника (теорема 9.1) углы при основании равны: ∠ BAC = ∠ BCA.

Проведём из вершины B высоту BH и биссектрису BD. Рассмотрим треугольники ABH и CBH:

• AB = CB (по предположению),
• ∠ BAH = ∠ BCH (углы при основании равнобедренного треугольника),
• ∠ BHA = ∠ BHC = 90° (так как BH — высота).

По второму признаку равенства треугольников △ ABH = △ CBH. Отсюда ∠ ABH = ∠ CBH, то есть высота BH является одновременно и биссектрисой угла B.

Но это противоречит условию, что ни одна из высот треугольника не совпадает с биссектрисой, проведённой из той же вершины.

Значит, наше предположение неверно, и треугольник ABC не является равнобедренным.