Номер / задача 296 страница 85, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: Квадрат разрезали по диагоналям на четыре треугольника (рис. 214). Сложите из этих треугольников два квадрата. Рис. 214: квадрат, разрезанный по двум диагоналям на четыре равных прямоугольных треугольника; диагонали изображены внутри квадрата в виде буквы X.

Когда квадрат разрезают по двум диагоналям, получаются четыре равных прямоугольных равнобедренных треугольника. Прямой угол каждого треугольника — это угол при вершине квадрата, а гипотенуза — половина диагонали... нет, гипотенуза — это сторона квадрата... Подумаем аккуратнее.

Пусть сторона квадрата равна a. Тогда диагональ равна . При разрезании по диагоналям получаются 4 прямоугольных равнобедренных треугольника, у каждого из которых:

катеты равны (половины диагоналей),
гипотенуза равна a (сторона квадрата).

Чтобы сложить из двух таких треугольников квадрат, приложим два треугольника гипотенузами друг к другу. Но тогда получится не квадрат, а снова квадрат только если приложить их катетами.

Приложим два треугольника равными катетами друг к другу так, чтобы они образовали квадрат. Два прямоугольных равнобедренных треугольника, сложенные по катету, дают равнобедренный прямоугольный треугольник большего размера... Нет — сложенные по гипотенузе, они дают квадрат со стороной, равной катету.

Решение. Разобьём четыре полученных треугольника на две пары. В каждой паре сложим два треугольника, совместив их гипотенузы (стороны исходного квадрата длины a). Поскольку каждый треугольник — прямоугольный равнобедренный с гипотенузой a и катетами , при совмещении гипотенуз получается четырёхугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые (каждый прямой угол исходного треугольника становится углом четырёхугольника, а два угла по 45° от разных треугольников складываются в 90°).

Значит, каждая пара треугольников образует квадрат со стороной .

Таким образом, из четырёх треугольников складываются два квадрата, каждый со стороной .

По третьему признаку равенства треугольников все четыре треугольника равны (у них равны все три стороны), поэтому оба полученных квадрата тоже равны.

Ответ: нужно разбить четыре треугольника на две пары и в каждой паре сложить треугольники гипотенузами друг к другу — получатся два равных квадрата.

Номер 296