Номер / задача 274 страница 80, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: В треугольнике $ABC$ $AB = 3$ см, $AC = 6$ см. На стороне $BC$ отметили точку $M$, такую, что $CM = 1$ см. Прямая, проходящая через точку $M$ перпендикулярно биссектрисе угла $ACB$, пересекает отрезок $AC$ в точке $K$, а прямая, проходящая через точку $K$ перпендикулярно биссектрисе угла $BAC$, пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Найдите отрезок $BD$.

Решение

Рассмотрим треугольник ABC, где AB = 3 см, AC = 6 см, точка M на стороне BC, CM = 1 см.

Шаг 1. Прямая, проходящая через точку M перпендикулярно биссектрисе угла ACB, пересекает отрезок AC в точке K.

Биссектриса угла C делит угол ACB пополам. Прямая MK перпендикулярна этой биссектрисе. Рассмотрим треугольник MCK: биссектриса угла C является также высотой треугольника MCK (поскольку MK ⊥ биссектрисе, а биссектриса угла C проходит через вершину C треугольника MCK).

По теореме 10.2 (если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный), треугольник MCK — равнобедренный, откуда:

Шаг 2. Найдём AK.

Шаг 3. Прямая, проходящая через точку K перпендикулярно биссектрисе угла BAC, пересекает прямую AB в точке D.

Биссектриса угла A делит угол BAC пополам. Прямая KD перпендикулярна этой биссектрисе. Рассмотрим треугольник AKD: биссектриса угла A является также высотой треугольника AKD (поскольку KD ⊥ биссектрисе, а биссектриса угла A проходит через вершину A треугольника AKD).

По теореме 10.2, треугольник AKD — равнобедренный, откуда:

Шаг 4. Найдём BD.

Поскольку AB = 3 см, а AD = 5 см, точка D лежит на продолжении луча AB за точку B (так как AD > AB). Тогда:

Ответ: BD = 2 см.

Номер 274