Номер / задача 272 страница 80, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Учебник: Вентана-Граф, 2023
Условие: В треугольнике $ABC$ $\angle C = 90°$, $\angle A = 67{,}5°$, $\angle B = 22{,}5°$, $CK$ — биссектриса треугольника $ABC$, $CM$ — биссектриса треугольника $BCK$ (рис. 200). Докажите, что точка $M$ — середина отрезка $AB$.
Рис. 200: прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при $C$; на гипотенузе $AB$ отмечены точки $M$ и $K$; $CK$ — биссектриса угла $BCA$ треугольника $ABC$; $CM$ — биссектриса угла $BCK$ треугольника $BCK$.
Решение.
Так как ∠ C = 90°, а CK — биссектриса угла ACB треугольника ABC, то
Так как CM — биссектриса угла BCK треугольника BCK, то
Рассмотрим треугольник BCM. В нём:
Так как ∠ B = ∠ BCM = 22,5°, то по теореме 10.3 треугольник BCM равнобедренный, откуда BM = CM.
Рассмотрим треугольник ACM. Найдём его углы. Так как ∠ ACM = ∠ ACK + ∠ KCM = 45° + 22,5° = 67,5°, а ∠ A = 67,5°, то
По теореме 10.3 треугольник ACM равнобедренный, откуда AM = CM.
Из полученных равенств BM = CM и AM = CM следует, что AM = BM.
Следовательно, точка M — середина отрезка AB. 
