1
Дано: SABCD - правильная пирамида,
a = 12 см - сторона основания
d = 10 см - боковое ребро
Найти: h, Sбок, S пов, V
Решение:
Половина диагонали квадрата в основании m = a√2/2 = 12√2/2 = 6√2 (см)
По теореме Пифагора, высота
h = sqrt(d^2-m^2) = sqrt(10^2-( 6√2)^2) = sqrt (100-72) = sqrt(28)= 2√7 (см)
По теореме Пифагора, апофема
p = sqrt(h^2 + (a/2)^2) = sqrt(28+36) = sqrt(64) = 8 (см)
Площадь боковой грани Sгр = a*p/2 = 12*8/2 = 48 (см²)
Площадь боковой поверхности Sбок = 4*Sгр = 4*48 = 192 (см²)
Площадь полной поверхности Sпов = Sбок + a^2 = 192+144 = 336 (см²)
Объем V = a^2*h/3 = 144*2√7/3 = 96√7 (см³)
Ответ:
2√7 см; 192 см²; 336 см²; 96√7 см³
-------------------------------------------------------------------------------------------
2
Дано: ABCA1B1C1 - правильная усеченная пирамида
a = 8 м - сторона нижнего основания
b = 5 м - сторона верхнего основания
h = 3 м - высота
Найти: V
Решение:
Пусть SABC - соответствующая неусеченная пирамида, H - ее высота.
Пирамиды SABC и SA1B1C1 подобны
a/b = H/(H-h)
a*(H-h) = b*H
H(a-b) = ah
H = ah/(a-b) = 8*3/(8-5) = 8 (м)
Искомый объем
V = ((a^2*H) - (b^2*(H-h)))/3 = (64*8-25*5)/3 = 129 (м³)
Ответ: 129 м³
------------------------------------------------------------------------------------------------------
3
Дано: DABC - пирамида, ΔABC - прямоугольный, угол С = 90°, a = 8 см, b = 6 см - катеты
боковые грани равнонаклонены
h = 3√5 см
Найти: Sпов
Решение:
Т.к. боковые грани равнонаклонены, высота проецируется на основание в центр вписанной в ΔABC окружности.
Гипотенуза ΔABC c = sqrt(a^2+b^2) = 10 см
Площадь ΔABC Sосн = ab/2 = 8*6/2 = 24 см²
Периметр ΔABC P = 8+6+10 = 24 см²
Радиус вписанной окружности r = 2S/P = 2*24/24 = 2 см
Апофема m = sqrt(h^2+r^2) = sqrt(9*5+4) = sqrt(49) = 7 см
Площадь боковой поверхности Sбок = (a+b+c) *m/2 = P*m/2 = 24*7/2 = 84 см²
Площадь полной поверхности Sпов = Sбок + Sосн = 84+24 = 108 см²
Ответ: 108 см²