13.09.2020 14:38:18
Геометрия 10-11 класс
20 баллов
Две прямые а и b пересекаются в точке О. Докажите, что все прямые, которые не проходят через точку О и пересекают прямые а и b, лежат в одной плоскости.
При доказательстве используйте аксиомы стереометрии и следствия из них.
Дві прямі а і b перетинаються в точці О. Довести, що всі прямі, які не проходять через точку О і перетинають прямі а і b лежать в одній площині.
При доведенні використати аксіоми стереометрії і наслідки з них.
При доказательстве используйте аксиомы стереометрии и следствия из них.
Дві прямі а і b перетинаються в точці О. Довести, що всі прямі, які не проходять через точку О і перетинають прямі а і b лежать в одній площині.
При доведенні використати аксіоми стереометрії і наслідки з них.
Ирина Каминкова
0
14.09.2020 11:33:46
Пусть прямая с не проходит через точку О и пересекает прямые а и b в точках A и B сооветственно. Точка О - единственная общая точка прямых а и b (следствие из аксиомы принадлежности), поэтому точки O,A,B не лежат на одной прямой.
По 1й аксиоме стереометрии через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, притом единственную. Пусть α = AOB - эта плоскость.
По 2й аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости. Поэтому прямые a=OA, b=OB, c=BC лежат в одной плоскости, и эта плоскость α.
Построим прямую d, которая не проходит через О и пересекает прямые а и b в точках C и D сооветственно. Две точки прямой d=CD являются общими с прямыми а и b, а значит, лежат в "их" плоскости α. Значит, (2я аксиома) прямая d также лежит в плоскости α.
Получаем, что c и d лежат в одной плоскости.
Что и требовалось доказать.
По 1й аксиоме стереометрии через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, притом единственную. Пусть α = AOB - эта плоскость.
По 2й аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости. Поэтому прямые a=OA, b=OB, c=BC лежат в одной плоскости, и эта плоскость α.
Построим прямую d, которая не проходит через О и пересекает прямые а и b в точках C и D сооветственно. Две точки прямой d=CD являются общими с прямыми а и b, а значит, лежат в "их" плоскости α. Значит, (2я аксиома) прямая d также лежит в плоскости α.
Получаем, что c и d лежат в одной плоскости.
Что и требовалось доказать.
Ответ эксперта
