1
y'' = 3√(x+1) , y(2)=0, y'(2)=2.
y' =3 ∫√(x+1) dx = 3(x+1)^(3/2) / (3/2) + C1 = 2(x+1)^(3/2) + C1
Общее решение
y = ∫(2(x+1)^(3/2) + C1) = 2(x+1)^(5/2) / (5/2) + C1x + C2 = (4/5)*(x+1)^(5/2) + C1x + C2

Константы находим из начальных условий
y'(2) = 2*3^(3/2) + C1 = 2
y(2) = (4/5)*3^(5/2) + 2C1 + C2 = 0

C1 = 2-2*3*√3 = 2-6√3
C2 = -(4/5)*9*√3 -2(2-6√3) = (-7,2+12)√3-4 = 4,8√3-4

Искомое частное решение
y = (4/5)*(x+1)^(5/2) + (2-6√3)x + 4,8√3-4
----------------------------------------------------------------------------------------
2
y''-4y'+5y=5x-4, y(0)=0, y'(0)=3
Характеристическое уравнение
k²-4k+5 = 0
D = 16-20 = -4
k = ± 2i
Общее решение однородного ур-я
y₀= C1*cos 2x + C2*sin 2x

Частное решение неоднородного ур-я ищем в виде
Y = Ax+B
Y' = A
Y'' = 0
y''-4y'+5y = 0-4A+5(Ax+B) = 5x-4
5A = 5
-4A+5B = -4
Получаем
A = 1; B = 0
Частное решение: Y = x

Общее решение неоднородного ур-я
y = y₀ + Y = C1*cos 2x + C2*sin 2x + x

Частное решение, удовлетворяющее НУ
y' = -2C1*sin 2x + 2C2*cos 2x+1
y'(0) = 0+2C2+1 = 3
y(0) = C1+0+0 = 0
С1 = 0; С2 = 1

Искомое решение
y = sin 2x + x