Законы движения планет в Солнечной системе

п.1. Виды траекторий небесных тел

При движении небесного тела вблизи другого массивного тела (планеты или звезды), его траектория может иметь различную форму, что связано с соотношением скорости движения и космических скоростей (см. §23 данного справочника).

Например, при движении в гравитационном поле Земли с первой космической скоростью \(v_1=7,92\ \text{км/с}\) тело будет описывать окружность на относительно небольшой высоте вокруг планеты. При скорости выше первой космической, но ниже второй, орбита тела становится вытянутой – тело описывает эллипс, то приближаясь, то удаляясь от Земли. По эллиптическим орбитам движутся Луна, более мелкие естественные объекты, захваченные гравитационным полем, и искусственные спутники Земли.

Начина со второй космической скорости \(v_2=11,18\ \text{км/с}\), траектория становится незамкнутой - тело улетает от планеты по кривой, которая называется параболой. По параболе движутся межпланетные станции, которые запускаются с Земли, а также астероиды и кометы, пролетающие мимо.

Наконец, при третьей космической скорости \(v_3=16,67\ \text{км/с}\) и выше, траектория вытягивается еще больше, тело движется по гиперболе за пределы Солнечной системы.

п.2. Законы Кеплера

Законы Кеплера – три эмпирических соотношения, которые были предложены Иоганном Кеплером в 1609-1619 гг. как обобщение результатов астрономических наблюдений, полученных к тому времени.

«Где материя – там и геометрия». Иоганн Кеплер (1571-1630), немецкий математик, астроном, механик и оптик

Эллипс – это плоская замкнутая кривая, для любой точки которой сумма расстояний до двух фокусов является постоянной величиной: $$ MF_1+MF_2=2a $$ где \(a\) - большая полуось эллипса. Ближайшая к Солнцу точка орбиты называется перигелием, а самая дальняя – афелием.

Длина большой полуоси принимается за средний радиус орбиты.

Большая полуось земной орбиты является единицей измерения расстояний – астрономической единицей: 1 а.е. = 149 597 870 700 м ≈ 150 млн.км

Из второго закона Кеплера следует, что планета движется по орбите неравномерно: быстрее в перигелии и медленнее в афелии.

Из третьего закона Кеплера следует, что период обращения увеличивается по мере удаления планет от Солнца.

Ньютон в 1684-1686 гг. дал теоретическое обоснование законов Кеплера и уточнил формулировку 3-го закона: $$ \frac{T_1^2(M+m_1)}{T_2^2(M+m_2)}=\frac{a_1^3}{a_2^3},\ \ \frac{T^2(M+m)}{a^3}=\frac{4\pi ^2}{G}=const $$ где \(M\) - масса Солнца, \(m_1\) и \(m_2\) - массы планет (или масса планет и их спутников соответственно). Эту уточненную формулу используют для определения масс планет и спутников, если из наблюдений становятся известны их орбиты и орбитальные периоды.

п.3. Задачи

Задача 1. Найдите среднее расстояние от Юпитера до Солнца (в астрономических единицах), если период обращения Юпитера вокруг Солнца равен 11,9 лет.

Дано:
\(T_1=11,9\ \text{лет}\)
\(T_2=1\ \text{год}\)
\(a_2=1\ \text{а.е.}\)
__________________
\(a_1-?\)

Применяем 3-й закон Кеплера и в качестве «эталонной планеты» берем Землю. \begin{gather*} \frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{a_1^3}{a_2^3} \Rightarrow a_1^3=\frac{T_1^2}{T_2^2}a_2^3 \Rightarrow a_1=a_2\sqrt[{3}]{\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2}\\[6pt] a_1=1\cdot \sqrt[{3}]{\left(\frac{11,9}{1}\right)^2}=\sqrt[{3}]{141,61}\approx 5,2\ (\text{а.е.}) \end{gather*} Ответ: 5,2 а.е.

Задача 2. Чему равна масса Солнца, если период обращения Земли равен 1 году, а средний радиус земной орбиты 1 а.е.≈150 млн.км?

Дано:
\(T=1\ \text{год}\approx 3,156\cdot 10^7\ \text{с}\)
\(a=150\ \text{млн.км}=1,5\cdot 10^{11}\ \text{м}\)
__________________
\(M-?\)

По формуле Ньютона для 3-го закона Кеплера \begin{gather*} \frac{T^2(M+m)}{a^3}=\frac{4\pi ^2}{G} \end{gather*} Считаем массу Земли малой по сравнению с массой Солнца. Тогда \begin{gather*} \frac{T^2M}{a^3}\approx \frac{4\pi ^2}{G} \Rightarrow M=\frac{4\pi ^2}{G}\cdot \frac{a^3}{T^2}\\[6pt] M=\frac{4\pi^2}{6,67\cdot 10^{-11}}\cdot \frac{(1,5\cdot 10^{11})^3}{(3,156\cdot 10^7)^2}\approx 2,0\cdot 10^{30}\ (\text{кг}) \end{gather*} Ответ: 2,0·10³⁰ кг

Задача 3. Период обращения Ганимеда вокруг Юпитера равен 7,15 дней, средний радиус орбиты 1,07 млн.км. Чему равна масса Юпитера?

Дано:
\(T=7,15\ \text{дней}=7,15\cdot 24\cdot 3600\ \text{с}=617760\ \text{с}\)
\(a=1,07 \ \text{млн.км}=1,07\cdot 10^9\ \text{м}\)
__________________
\(M-?\)

По формуле Ньютона для 3-го закона Кеплера \begin{gather*} \frac{T^2(M+m)}{a^3}=\frac{4\pi ^2}{G} \end{gather*} Считаем массу спутника малой по сравнению с массой Юпитера. Тогда \begin{gather*} \frac{T^2M}{a^3}\approx \frac{4\pi ^2}{G} \Rightarrow M=\frac{4\pi ^2}{G}\cdot \frac{a^3}{T^2}\\[6pt] M=\frac{4\pi^2}{6,67\cdot 10^{-11}}\cdot \frac{(1,07\cdot 10^{9})^3}{(617760)^2}\approx 1,9\cdot 10^{27}\ (\text{кг}) \end{gather*} Ответ: 1,9· 10²⁷ кг