Закон сохранения и превращения энергии в механических процессах

п.1. Понятие физической системы

Часто воздействие на систему задается в виде внешних полей: поля тяготения, электрического или магнитного полей и т.п.

Примеры физических систем в механике

Груз на нити	Груз на пружине	Сообщающиеся сосуды

По характеру взаимодействия с окружением различают замкнутые и открытые физические системы.

Замкнутые системы очень важны в механике, т.к. в них действуют фундаментальные законы сохранения.

п.2. Полная механическая энергия системы

Если держать мяч в руках неподвижно над землей, то его кинетическая энергия \(E_k=0\), а потенциальная \(E_p=mgh\). Если мяч отпустить, в момент падения его кинетическая энергия $$ E_k=\frac{mv^2}{2}, $$ а потенциальная \(E_p=0\).

В полете мяч обладает некоторой ненулевой кинетической, и некоторой ненулевой потенциальной энергией. Можно говорить о сумме энергий – полной механической энергии.

Большинство тел большую часть времени обладают и той и другой энергией.

Например: вода, падающая с плотины; ракета, взлетающая над стартовым столом.

п.3. Закон сохранения полной механической энергии и однородность времени

Если тело обладает энергией, то оно способно совершить работу.

Совершённая работа равна изменению энергии.

В §37 данного справочника мы вывели следующие соотношения для работы и изменения двух видов энергии: \begin{gather*} A=\Delta E_k=E_{k2}-E_{k1}\\[7pt] A=-\Delta E_p=-(E_{p2}-E_{p1}) \end{gather*}

Может записать равенство: \begin{gather*} E_{k2}-E_{k1}=-(E_{p2}-E_{p1})\\[7pt] E_{k2}-E_{k1}=-E_{p2}+E_{p1}\\[7pt] E_{k2}+E_{p2}=E_{k1}+E_{p1} \end{gather*}

По определению, слева в равенстве \(E_2=E_{k2}+E_{p2}\) – полная механическая энергия в момент времени \(t_2\); справа в равенстве \(E_1=E_{k1}+E_{p1}\) – полная механическая энергия в момент времени \(t_1\). Получаем замечательный результат: $$ E_2=E_1=const $$

«Постоянство» означает, что в какой бы момент времени мы не заглянули в замкнутую систему, сумма кинетической и потенциальной энергии в ней всегда будет одинакова.

В этом смысле закон сохранения энергии связан с фундаментальным свойством однородности времени.

п.4. Превращения энергии при движении тела в поле силы тяжести

Полная механическая энергия замкнутой системы остается постоянной.

При этом в какие-то моменты времени кинетическая энергия может быть равной нулю, а потенциальная – будет максимальной; в другие моменты времени – наоборот.

Большую часть времени оба слагаемых полной энергии будут ненулевыми – одно постепенно уменьшаясь, второе – увеличиваясь.

Таким образом, можем сделать вывод о постоянном превращении кинетической и потенциальной энергии друг в друга.

Рассмотрим превращения энергии при падении и отскоке резинового шарика от твердой плиты.

В начальной точке траектории (1) шарик имеет в поле тяготения Земли потенциальную энергию \(E_{p\ max}=mgH\) и кинетическую энергию, равную 0.

При падении (2) высота над плитой уменьшается, скорость растёт; потенциальная энергия переходит в кинетическую.

В момент касания плиты (3) потенциальная энергия равна 0, а кинетическая максимальна: $$ E_{k\ max}=\frac{mv^2_{max}}{2} $$ Вся потенциальная энергия перешла в кинетическую.

За счет сил упругости сжатой плиты и шарика, шарик отталкивается от плиты и начинает движение вверх.

Если пренебречь потерями энергии при ударе, то движение из положения (4) начинается с той же скоростью \(v_{max}\), направленной вверх. И тогда в положении (6) шарик поднимется на ту же высоту \(H\). Вся кинетическая энергия перейдёт в потенциальную.

В реальности, часть энергии теряется на нагрев шарика и плиты при ударе. Поэтому скорость в положении (4) в момент отскока меньше \(v_{max}\), и шарик в положении (6) поднимается на высоту, меньшую \(H\).

п.5. Диссипативные силы и уточнение закона сохранения энергии

Нагрев плиты и шарика возникает за счет сил трения, возникающих между частицами тел при деформации. Это приводит убыванию (диссипации) полной механической энергии системы. В результате шарик при каждом отскоке все ниже поднимается над плитой.

Наряду с консервативными силами, определенными в §37 данного справочника, введем понятие диссипативных сил.

Таким образом, закон сохранения полной механической энергии выполняется при отсутствии диссипативных сил. Получаем следующую уточненную формулировку:

п.6. Задачи

Задача 1. Мальчик на санях спускается с горки высотой 20 м. Чему равна скорость саней в конце спуска? Трением можно пренебречь. Выразите ответ в м/с и км/ч.

Дано:
\(h=20\ \text{м}\)
\(g\approx 10\ \text{м/с}^2\)
__________________
\(v-?\)

Если пренебречь трением, в системе сохраняется полная механическая энергия, и потенциальная энергия на вершине полностью переходит в кинетическую энергию внизу: \begin{gather*} E_p=E_k\\[6pt] mgh=\frac{mv^2}{2}\Rightarrow v^2=2gh\\[6pt] v=\sqrt{2gh} \end{gather*} Получаем \begin{gather*} v=\sqrt{2\cdot 10\cdot 20}=20\ (\text{м/с})=72\ (\text{км/чс}) \end{gather*} Ответ: 20 м/с = 72 км/ч

Задача 2. Камень падает с высоты 10 м. На какой высоте его кинетическая энергия равна потенциальной, если взять поверхность земли за нулевой уровень? Чему равна скорость камня на этой высоте? Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Дано:
\(H=10\ \text{м}\)
\(E_p=E_k\)
\(g\approx 10\ \text{м/с}^2\)
__________________
\(h-?,\ v-?\)

На высоте \(H\) камень имеет максимальную потенциальную энергию \(E_{pH}=mgH\) и нулевую кинетическую энергию \(E_{kH}=0\). Полная энергия \begin{gather*} E=E_{ph}+E_{kh}=mgh+0=mgh \end{gather*} При падении вниз полная энергия сохраняется.
На высоте \(h\) обе составляющие полной энергии равны: $$ E_p=E_k=\frac 12E. $$ Получаем: \begin{gather*} E_p=\frac 12E\Rightarrow mgh=\frac 12 mgH\\[6pt] \frac 12H\\[6pt] E_k=\frac 12E\Rightarrow \frac{mv^2}{2}=\frac 12 mgH\Rightarrow v^2=gH\\[6pt] v=\sqrt{gH} \end{gather*} Подставляем \begin{gather*} h=\frac 12\cdot 10=5,\ \text{м}\\[6pt] v=\sqrt{10\cdot 10}=10\ (\text{м/с}) \end{gather*} Ответ: 5 м; 10 м/с

Задача 3. Какую работу совершают при подъеме камня массой 400 г на высоту 1 м, прикладывая силу 4 Н? Чему равна работа, если приложенная сила равна 10 Н? Какую энергию приобретает камень в каждом из этих случаев?

Дано:
\(m=400\ \text{г}=0,4\ \text{кг}\)
\(h=1\ \text{м}\)
\(F_1=4\ \text{Н}\)
\(F_2=10\ \text{Н}\)
\(g\approx 10\ \text{м/с}^2\)
__________________
\(A_1,\ A_2-?\ E_p-?, E_{k1},\ E_{k2}-?\)

Работа силы \(F\) при подъеме камня на высоту \(h\) равна \(A=Fh\).
Соответственно: \begin{gather*} A_1=F_1h=4\cdot 1=4\ (\text{Дж})\\[7pt] A_2=F_2h=10\cdot 1=10\ (\text{Дж}) \end{gather*} На высоте \(h\) камень в любом случае приобретает потенциальную энергию \begin{gather*} E_p=mgh\\[7pt] E_p=0,4\cdot 10\cdot 1=4\ (\text{Дж}) \end{gather*} В первом случае \(A_1=E_p\), причем в каждой точке подъема. Работа полностью уходит на изменение потенциальной энергии. Камень на высоте \(h=1\ \text{м}\) не имеет кинетической энергии, \(E_{k1}=0\). Если его отпустить, он не будет двигаться.
Во втором случае \(A_2\gt E_p\), причем в каждой точке подъема. Работа уходит на изменение как потенциальной, так и кинетической энергии. Камень на высоте \(h=1\ \text{м}\) имеет кинетическую энергию \(E_{k2}=A-E_p=10-4=6\ (\text{Дж})\). Если его отпустить, он продолжит движение вверх самостоятельно.
Ответ: \(A_1=4\ \text{Дж},\ A_2=10\ \text{Дж};\ E_p=4\ \text{Дж};\ E_{k1}=0,\ E_{k2}=6\ \text{Дж}\)

Задача 4*. Шар и куб одинаковой массы, сделанные из стали, лежат на полу. Их подняли до соприкосновения с потолком. Одинаково ли изменилась при этом их потенциальная энергия?

Пусть ребро куба равно \(a\), а диаметр шара равен \(D\). Выясним, какая из этих длин больше.
Объем шара через диаметр \begin{gather*} V_1=\frac 43\pi R^3=\frac 43\pi\left(\frac D2\right)^3=\frac{\pi}{6}D^3 \end{gather*} Куб и шар одинаковой массы и одинаковой плотности (сделаны из одного материала).
Следовательно, у них одинаковый объем. \begin{gather*} V_1=V_2\Rightarrow \frac{\pi}{6}D^3=a^3\Rightarrow \frac{a^3}{D^3}=\frac{\pi}{6}\lt 1\Rightarrow a\lt D \end{gather*} Сторона куба меньше диаметра шара.
Потенциальная энергия в поле тяготения Земли определяется силой тяжести, приложенной к центру тяжести тела, и высотой центра тяжести над нулевым уровнем.
Изменение потенциальной энергии в общем случае \begin{gather*} \Delta E_p=mgH_2-mgH_1=mg\cdot \Delta H \end{gather*} определяется изменением высоты (вертикальным перемещением) центра тяжести.
Т.к. диаметр шара больше ребра куба, \(D\gt a\), в исходном положении – на полу – центр тяжести шара выше центра тяжести куба. В конечном положении – при касании с потолком – центр тяжести шара ниже центра тяжести куба.
Значит, изменение высоты центров тяжести \(h_1\lt h_2\), и изменение потенциальных энергий \begin{gather*} \Delta E_{p1}\lt \Delta E_{p2} \end{gather*} Потенциальная энергия шара изменилась меньше.
Ответ: потенциальная энергия шара изменилась меньше

Задача 5*. Подбрасывая вверх камень весом 10 Н, мальчик приложил силу 40 Н на пути 0,5 м. На какую высоту поднялся камень после отрыва от ладони?

Дано:
\(P=10\ \text{Н}\)
\(F=40\ \text{Н}\)
\(s=0,5\ \text{м}\)
__________________
\(h-?\)

В замахе, на пути s мальчик совершил работу \(A=Fs\). Эта работа ушла на изменение энергии камня. Путь \(s\) вертикальный, и потенциальная энергия увеличилась на \begin{gather*} \Delta E_p=mgs=Ps. \end{gather*} Кинетическая энергия увеличилась на \begin{gather*} \Delta E_k=a-\Delta E_p=Fs-Ps=(F-P)s. \end{gather*} В начальный момент времени кинетическая энергия \begin{gather*} E_{k0}=0. \end{gather*} В момент отрыва кинетическая энергия $$ E_k=E_{k0}+\Delta E_k=0+(F-P)s=(F-P)s. $$ При самостоятельном подъеме камня вся эта энергия переходит в потенциальную: \begin{gather*} E_k=E_p\\[7pt] (F-P)s=Ph \end{gather*} Высота подъема \begin{gather*} h=\frac{F-P}{P}s \end{gather*} Получаем \begin{gather*} h=\frac{40-10}{10}\cdot 0,5=1,5\ (\text{м}) \end{gather*} Ответ: 1,5 м

Задача 6*. Мальчик погрузил в воду плотностью \(\rho\) мячик массой \(m\) и объемом \(V\) на глубину \(H\) и отпустил его. На какую высоту над поверхностью воды выскочит мячик? Сопротивлением воды и воздуха можно пренебречь. Пусть нулевой уровень \(h_0=0\) проходит по поверхности воды.
На мячик действует сила тяжести \(P=mg\), направленная вниз, и выталкивающая сила \begin{gather*} F_A=\rho Vg, \end{gather*} направленная вверх. Равнодействующая этих сил \begin{gather*} R=F_A-P=(\rho V-m)g \end{gather*} направлена вверх.
Тогда на глубине \(H\) потенциальная энергия мячика \begin{gather*} E_{p1}=RH. \end{gather*} Потенциальная энергия положительна и растет с глубиной. Кинетическая энергия \begin{gather*} E_{k1}=0. \end{gather*} Полная энергия \begin{gather*} E=E_{p2}+0=E_{p2} \end{gather*} Из закона сохранения полной энергии получаем \begin{gather*} E=E_{p1}=E_{p2}\Rightarrow (\rho V-m)gH=mgh\Rightarrow h=\frac{(\rho V-m)H}{m}\\[6pt] h=\left(\frac{\rho V}{m}-1\right)H \end{gather*} Ответ: \(h=\left(\frac{\rho V}{m}-1\right)H\)