Условия плавания тел. Воздухоплавание

На тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила $$ F_A=\rho_\text{ж}V_\text{т}g $$ где \(\rho_\text{ж}\) - плотность воды; \(V_\text{т}\) - объем тела (части тела), погруженного в жидкость; \(g\) - ускорение свободного падения (см. §33 данного справочника).

Выталкивающая сила \(F_A\) направлена вертикально вверх, сила тяжести \(V_\text{тяж}\) направлена вертикально вниз. В зависимости от соотношения абсолютных величин этих двух сил, тело будет плавать иди тонуть.

• Если сила тяжести больше архимедовой силы \(F_\text{тяж}\gt F_A\), тело тонет.
• Если сила тяжести меньше архимедовой силы \(F_\text{тяж}\lt F_A\), тело всплывает.
• Если сила тяжести равна архимедовой силе \(F_\text{тяж}=F_A\), и тело полностью погружено в воду, тело плавает на любой глубине.
• Если сила тяжести равна архимедовой силе \(F_\text{тяж}=F_A\), и тело не полностью погружено в воду, тело плавает на поверхности.

В зависимости от соотношения плотности жидкости и плотности тела, получаем:

• Если плотность тела больше плотности жидкости \(\rho_\text{т}\gt \rho_\text{ж}\) тело тонет.
• Если плотность тела меньше плотности жидкости \(\rho_\text{т}\lt \rho_\text{ж}\), тело всплывает и плавает на поверхности. Чем меньше плотность тела по сравнению с плотностью жидкости, тем меньшая часть тела погружена в жидкость.
• Если плотность тела равна плотности жидкости \(\rho_\text{т}=\rho_\text{ж}\), и тело полностью погружено в воду, тело плавает на любой глубине.

п.2. Плавание судов

Чтобы судно держалось на воде, вес воды, вытесняемой подводной частью судна, должен быть равен весу судна с грузом в воздухе или силе тяжести, действующей на судно с грузом: \begin{gather*} F_A=\rho_\text{в}V_\text{подв}g \\[7pt] P=Mg\\[7pt] P=F_A\Leftrightarrow M=\rho_\text{в}V_\text{подв} \end{gather*} В подводной части корабля есть большие полости, поэтому подводная часть имеет большой объем \(V_\text{подв}\), который обеспечивает большую величину выталкивающей силы, достаточную для уравновешивания суммарного веса корабля и груза.

Глубину погружения судна в воду называют осадкой. Поскольку плотность речной воды меньше, чем плотность морской воды, при заходе в реку осадка увеличивается.

Наибольшую допустимую осадку называют ватерлинией; как правило, её отмечают на корпусе красной линией.

Водоизмещение судна – это вес воды, вытесняемой судном с грузом при погружении до ватерлинии, равный силе тяжести, действующей на судно с максимальным допустимым грузом.

п.3. Ареометр

	Конструктивно ареометр - это поплавок из стекла, который утяжеляется дробью или ртутью. В верхней узкой части находится шкала, которую градуируют в значениях плотности жидкости или концентрации раствора (спиртометр, лактометр, солемер или сахаромер). У ареометров постоянной массы пределы измерений относительно узкие, поэтому на практике используют наборы поплавков.
Ареометр для жидкостей с плотностью $$ \rho_\text{ж}\lt \rho_\text{воды} $$	Ареометр для жидкостей с плотностью $$ \rho_\text{ж}\gt \rho_\text{воды} $$
В этом ареометре метка шкалы 1000 кг/м3 находится внизу. Метки выше показывают 900,800,700 и т.д. кг/м3. В менее плотных жидкостях ареометр будет погружаться больше.	В этом ареометре метка шкалы 1000 кг/м3 находится вверху. Метки ниже показывают 1100,1200,1300 и т.д. кг/м3. В более плотных жидкостях ареометр будет погружаться меньше.

п.4. Воздухоплавание

Если наполнить шар газом, плотность которого меньше, чем плотность воздуха, то за счет действия выталкивающей силы можно подняться над поверхностью Земли. Плотность воздуха при \(t=0^\circ C\), \(p=760\ \text{мм рт.ст.}\) $$ \rho_\text{возд}=1,290\ \text{кг/м}^3 $$ При тех же условиях плотность водорода $$ \rho_{\mathrm{H_2}}=0,090\ \text{кг/м}^3, $$ плотность гелия $$ \rho_{\mathrm{He}}=0,179\ \text{кг/м}^3, $$

Поскольку \(\rho_{\mathrm{H_2}}\lt \rho_\text{возд}\) и \(\rho_{\mathrm{He}}\lt \rho_\text{возд}\), воздушные шары, наполненные этими газами, будут подниматься наверх в атмосфере; сила Архимеда, действующая на них, будет больше силы тяжести.

Можно также заполнять шар обычным воздухом, только горячим. Плотность воздуха заметно уменьшается с ростом температуры. Например, при \(t=20^\circ C\), \(\rho_\text{возд}=1,205 \text{кг/м}^3\), а при \(t=120^\circ C\), \(\rho_\text{возд}=0,898 \text{кг/м}^3\). С повышением температуры, плотность воздуха внутри шара уменьшается, становится меньшим вес шара, а его подъёмная сила увеличивается. Если хотим подняться наверх, включаем горелку. Если хотим опуститься, выключаем горелку.

п.5. Задачи

Задача 1. Определите наименьшую площадь плоской льдины толщиной 40 см, способной удержать на себе человека массой 72 кг. Плотность льда 900 кг/м³.

Дано:
\(h=40\ \text{см}=0,4\ \text{м}\)
\(\rho=900\ \text{кг/м}^3\)
\(m=72\ \text{кг}\)
\(\rho_\text{в}=1000\ \text{кг/м}^3\)
__________________
\(S-?\)

Общий вес льдины и человека \begin{gather*} P=(M_\text{л}+m)g=(\rho V+m)g \end{gather*} Объем льдины \(V=Sh\)
При полном погружении льдины в воду на нее будет действовать выталкивающая сила \(F_A=\rho_\text{в}Vg\). Чтобы льдина больше не погружалась, должно выполняться условие \begin{gather*} P=F_A\\[7pt] (\rho V+m)g=\rho_\text{в}Vg\\[7pt] \rho V+m=\rho_\text{в}V\\[7pt] m=(\rho_\text{в}-\rho)V=(\rho_\text{в}-\rho)Sh \end{gather*} Площадь льдины \begin{gather*} S=\frac{m}{(\rho_\text{в}-\rho)h} \end{gather*} Получаем \begin{gather*} S=\frac{72}{(1000-900)\cdot 0,4}=1,8\ (\text{м}^2) \end{gather*} Ответ: 1,8 м²

Задача 2. Найдите вес, архимедову силу и подъемную силу воздушного шара объемом \(V=40\ \text{м}^3\), наполненного гелием. Плотность воздуха \(\rho_\text{возд}=1,29\ \text{кг/м}^3\), плотность гелия \(\rho_{\mathrm{He}}=0,18\ \text{кг/м}^3\); \(g=9,8\ \text{м/с}^2\). Ответы округлите до десятых долей ньютона.
Может ли шар поднять груз весом \(400\ \text{Н}\)?

Дано:
\(\rho_\text{возд}=1,29\ \text{кг/м}^3\)
\(\rho_{\mathrm{He}}=0,18\ \text{кг/м}^3\)
\(g=9,8\ \text{м/с}^2\)
\(P_{\text{гр}}=400\ \text{Н}\)
__________________
\(P,\ F_A,\ F_{\text{под}}-?\)

Вес шара: \begin{gather*} P=mg=\rho_{\mathrm{He}}Vg=0,18\cdot 40\cdot 9,8\approx 70,6\ (\text{Н}) \end{gather*} Архимедова сила, действующая на шар в воздухе: $$ F_A=\rho_\text{возд}Vg=1,29\cdot 40\cdot 9,8\approx 505,7\ (\text{Н}) $$ Подъёмная сила шара: \begin{gather*} F_{\text{под}}=F_A-P=505,7-70,6=435,1\ (\text{Н}) \end{gather*} Вес груза меньше подъемной силы: $$ 400\ \text{Н}\lt 435,1\ \text{Н},\ \ P_{\text{гр}}\lt F_{\text{под}} $$ Шар может поднять этот груз.
Ответ: 70,6 Н; 505,7 Н; 435,1 Н; может

Задача 3. Льдина плавает в пресной воде. Объем ее надводной части 20 м³. Каков объем подводной части? Плотность льда 900 кг/м³.

Дано:
\(\rho=900\ \text{кг/м}^3\)
\(V_\text{над}=20\ \text{м}^3\)
\(\rho_{\text{в}}=1000\ \text{кг/м}^3\)
__________________
\(V_{\text{под}}-?\)

Вес льдины в воздухе: \begin{gather*} P=Mg=\rho Vg=\rho(V_\text{над}+V_{\text{под}})g \end{gather*} Сила Архимеда, действующая на подводную часть: \begin{gather*} F_A=\rho_{\text{в}}V_{\text{под}}g \end{gather*} Силы уравновешивают друг друга \begin{gather*} P=F_A\\[7pt] \rho(V_\text{над}+V_{\text{под}})g= \rho_{\text{в}}V_{\text{под}}g\\[7pt] \rho(V_\text{над}+V_{\text{под}})= \rho_{\text{в}}V_{\text{под}}\\[7pt] (\rho_{\text{в}}-\rho)V_{\text{под}}=\rho V_\text{над} \end{gather*} Объем подводной части \begin{gather*} V_{\text{под}}=\frac{\rho}{\rho_{\text{в}}-\rho}V_\text{над} \end{gather*} Для льда и воды в общем случае \begin{gather*} V_{\text{под}}=\frac{900}{1000-900}V_\text{над}=9V_\text{над} \end{gather*} Объем подводной части льда в воде в 9 раз больше объема надводной части.
В данном случае: $$ V_{\text{под}}=9\cdot 20=180\ (\text{м}^3) $$ Ответ: 180 м³

Задача 4*. Наполненный теплым воздухом воздушный шар объемом 1600 м³ парит на высоте 5,5 км, где плотность воздуха в два раза меньше, чем на уровне моря. Какова плотность воздуха внутри шара, если общая масса его оболочки и груза 150 кг? Ответ округлите до сотых долей кг/м³.

Дано:
\(V=1600\ \text{м}^3\)
\(\rho=\frac 12\rho_0\)
\(M=150\ \text{кг}\)
\(\rho_0=1,29\ \text{кг/м}^3\)
__________________
\(\rho_{\text{ш}}-?\)

Масса шара – сумма массы оболочки с грузом и воздуха внутри: \begin{gather*} M_{\text{ш}}=M+\rho_{\text{ш}}V \end{gather*} Вес шара: \begin{gather*} P=M_{\text{ш}}g=(M+\rho_{\text{ш}}V)g \end{gather*} Выталкивающая сила на данной высоте \begin{gather*} F_A=\rho Vg=\frac 12\rho_0 Vg \end{gather*} Условие равновесия \begin{gather*} P=F_A\\[6pt] (M+\rho_{\text{ш}}V)g=\frac 12\rho_0 Vg\\[6pt] M+\rho_{\text{ш}}V=\frac 12\rho_0 V\\[6pt] \rho_{\text{ш}}V=\frac 12\rho_0 V-M \end{gather*} Плотность воздуха в шаре \begin{gather*} \rho_{\text{ш}}=\frac 12\rho_0-\frac MV \end{gather*} Получаем \begin{gather*} \rho_{\text{ш}}=\frac 12\cdot 1,29-\frac{150}{1600}\approx 0,55\ \text{кг/м}^3 \end{gather*} Ответ: ≈55 кг/м³

Задача 5*. Льдинка плавает на границе между водой и керосином. Какая часть её объема находится ниже этой границы, если керосин покрывает льдинку полностью?

Дано:
\(\rho_1=800\ \text{кг/м}^3\)
\(\rho_2=1000\ \text{кг/м}^3\)
\(\rho=900\ \text{кг/м}^3\)
__________________
\(\frac{V_\text{под}}{V}-?\)


Пусть высота слоя керосина над границей с водой равна \(h_1\), высота льдинки над границей равна \(h_\text{над}\), высота льдинки под границей равна \(h_\text{под}\).
Сверху на льдинку действует сила \(F_1\), которая равна давлению столба керосина высотой \(h_1-h_\text{над}\) на площадь верхней поверхности льдинки: \begin{gather*} F_1=\rho g(h_2-h_\text{над})S. \end{gather*} Снизу по закону Паскаля на льдинку действует сила \(F_2\), которая равна сумме давлений всего столба керосина высотой \(h_1\) и столба воды высотой \(h_\text{под}\) на площадь нижней поверхности льдинки: \begin{gather*} F_2=\rho_1 gh_1S+\rho_2gh_\text{под}S. \end{gather*} На любом промежуточном уровне силы, действующие на боковые поверхности, равны по значению и противоположны по направлению, т.е. взаимно уравновешивают друг друга.
Равнодействующая всех сил, действующих на тело со стороны жидкости, является выталкивающей силой и равна: \begin{gather*} F_A=F_2-F_1=\rho_1gh_1S+\rho_2gh_\text{под}S-\rho_1g(h_1-h_\text{над})S=\\[7pt] =(\rho_1H_1\rho_2h_\text{под}-\rho_1h_1+\rho_1h_\text{над})gS=(\rho_1h_\text{над}+\rho_2h_\text{под})gS=\\[7pt] =(\rho_1V_\text{над}+\rho_2V_\text{под})g \end{gather*} Учитывая, что \(V_\text{над}=V-V_\text{под}\), получаем \begin{gather*} F_A\left(\rho_1(V-V_\text{под})+\rho_2V_\text{под}\right)g=\left(\rho_1V+(\rho_2-\rho_1)V_\text{под}\right)g \end{gather*} Вес льдинки \(P=\rho Vg\). Условие равновесия \begin{gather*} P=F_A\\[7pt] \rho Vg=\left(\rho_1V+(\rho_2-\rho_1)V_\text{под}\right)g\\[7pt] \rho V=\rho_1V+(\rho_2-\rho_1)V_\text{под}\\[7pt] (\rho-\rho_1)V=(\rho_2-\rho_1)V_\text{под} \end{gather*} Часть объема льдинки под границей между керосином и водой: \begin{gather*} \frac{V_\text{под}}{V}=\frac{\rho-\rho_1}{\rho_2-\rho_1} \end{gather*} Подставляем: \begin{gather*} \frac{V_\text{под}}{V}=\frac{900-800}{1000-800}=\frac 12 \end{gather*} Под границей находится половина льдинки.
Ответ: 1/2

п.6. Лабораторная работа №12. Изучение условий плавания тела в жидкости

Цель работы
Изучить условия плавания тел в жидкости.

Теоретические сведения

Выталкивающая сила \(F_A\) направлена вертикально вверх, сила тяжести \(F_\text{тяж}\) направлена вертикально вниз. В зависимости от соотношения абсолютных величин этих двух сил, тело будет плавать иди тонуть.

Выталкивающая сила в работе определяется весом вытесненной телом воды.

Чтобы определить этот вес, отметьте уровни воды в измерительном цилиндре до погружения тела в воду и после погружения. Разность уровней даст вам объем вытесненной телом воды \(V_\text{т}\), по которому находится \(F_A=\rho_\text{в}V_\text{т}g\).

Масса тела \(m\) определяется взвешиванием. Вес рассчитывается по формуле \(P=mg\).

Значение \(g\) в работе можно принять \(g\approx 10\ \text{м/с}^2\).

Приборы и материалы
Весы с разновесами, измерительный цилиндр, пробирка-поплавок с пробкой, сухой песок, сухая ткань.

Ход работы
1. Насыпьте в пробирку песка так, чтобы она в мерном цилиндре плавала вертикально, и часть ее была над водой.
2. Отметьте уровни воды в измерительном цилиндре до погружения пробирки в воду \((V_1)\) и после погружения \((V_2)\). Найдите объем вытесненной пробиркой воды \(V_\text{т}=V_2-V_1\).
3. Выньте пробирку из воды, тщательно протрите ее сухой тканью. Определите взвешиванием массу пробирки с точностью до 1 г.
4. Рассчитайте выталкивающую силу и вес пробирки, занесите данные в таблицу.
5. Насыпьте в пробирку еще немного песка и повторите процедуру, начиная с п.2. Проделайте так несколько раз, пока пробирка не утонет.
6. Сделайте выводы об условиях плавания тел в жидкости.

Результаты измерений и вычислений

$$ 1\ \text{мл}=10^{-3}\ \text{л}=10^{-3}\ \text{дм}^3=10^{-6}\ \text{м}^3 $$
Вычисления для первого опыта: \begin{gather*} F_A=\rho_\text{в}V_\text{т}g=1000\cdot 34\cdot 10^{-6}\cdot 10=340\cdot 10^{-3}\ (\text{Н})=340\ (\text{мН})\\[7pt] P=mg=34\cdot 10^{-3}\cdot 10=340\cdot 10^{-3}\ (\text{Н})=340\ (\text{мН}) \end{gather*} Вычисления для остальных опытов проводятся аналогично.

Выводы
На основании проведенных экспериментов можно сделать следующие выводы.

Если вес равен архимедовой силе \(P=F_A=540\ \text{мН}\), пробирка полностью погружена в воду и плавает на любой глубине. Средняя плотность пробирки при этом равна плотности воды.

Если вес равен архимедовой силе \(P=F_A\lt 540\ \text{мН}\), пробирка не полностью погружена в воду, она плавает на поверхности. Чем меньше P, тем большая часть пробирки выступает над водой; тем меньше средняя плотность пробирки по сравнению с плотностью воды.

Если вес больше архимедовой силы \(P\gt F_A=540\ \text{мН}\), пробирка тонет. Её средняя плотность становится больше плотности воды.