Главная Справочник Физика 7 класс Уравнение движения, графики равномерного прямолинейного движения

Уравнение движения, графики равномерного прямолинейного движения

Прямолинейное равномерное движение на координатной прямой
Уравнение прямолинейного равномерного движения
Удобная система отсчета для решения задачи о прямолинейном движении
График движения x=x(t)
Как найти уравнение движения по графику движения?
График скорости v_x=v_x(t)
Как найти путь и перемещение по графику скорости?
Задачи

п.1. Прямолинейное равномерное движение на координатной прямой

Система отсчета, с помощью которой можно описать прямолинейное движение состоит из:
1) тела отсчета; 2) координатной прямой; 3) часов для отсчета времени.
Пусть телом отсчета будет дом.
В начальный момент времени машина стоит в 20 м справа от дома.

Рассмотрим движение машины со скоростью 10 м/с вправо.
Направим координатную прямую параллельно вектору скорости, вправо.

Прямолинейное равномерное движение на координатной прямой

Составим таблицу перемещений за первые 4 секунды:

t, c	0	1	2	3	4
x, м	20	30	40	50	60

Стартуя с точки x₀=20, машина каждую секунду удаляется от дома еще на 10 м.
Пройденный путь за 2 секунды – 10·2=20 м, за 3 секунды – 10·3=30 м, за t секунд s=vt метров. Значит, для произвольного времени t можем записать координату x в виде: \begin{gather*} x=x_0+s=x_0+vt\\ x=20+10t \end{gather*}

Если при тех же начальных условиях и направлении координатной прямой машина будет двигаться влево, получим таблицу:

t, c	0	1	2	3	4
x, м	20	10	0	-10	-20

В этом случае координата x в любой момент времени t имеет вид: \begin{gather*} x=x_0-st=x_0-vt\\ x=20-10t \end{gather*} Если же машина никуда не едет, её скорость v=0, и координата x=x₀ в любой момент времени t.

п.2. Уравнение прямолинейного равномерного движения

Основная задача механики – уметь определять положение тела в пространстве в любой момент времени.

Зависимость координаты тела от времени в механике называют уравнением движения.
Если уравнение движения известно, то мы можем решить основную задачу механики.

Назовем проекцией вектора скорости $\overrightarrow{x}$ на параллельную ему ось координат OX величину $v_x=\pm|\overrightarrow{v}|=\pm v$.
Знак проекции определяется следующим правилом:

если направление вектора $\overrightarrow{v}$ совпадает с направлением оси OX, то $v_x=v\gt 0$
если направление вектора $\overrightarrow{v}$ противоположно направлению оси OX, то $v_x=-v\lt 0$

В любой момент времени t координата тела x(t) при прямолинейном равномерном движении описывается уравнением: $$ x(t)=x_0+v_x t $$ где $x_0$ - координата в начальный момент времени, $v_x$ - проекция вектора скорости движения.

Проекция перемещения $\overrightarrow{r}$ на параллельную ему ось координат OX в любой момент времени t определяется формулой: $$ \triangle x=x(t)-x_0 $$ Знак $\triangle x$ указывает на направление совершенного перемещения:

если $\triangle x\gt 0$, перемещение $\overrightarrow{r}$ произошло в направлении оси OX;
если $\triangle x\lt 0$, перемещение $\overrightarrow{r}$ произошло противоположно направлению оси OX.

п.3. Удобная система отсчета для решения задачи о прямолинейном движении

При решении задачи можно выбрать различные тела отсчета и связать с ними различные системы координат. Как правило, некоторая система отсчета является наиболее удобной для решения данной задачи в том смысле, что в ней уравнение движения выглядит и решается проще, чем в других системах.

При решении задач на прямолинейное движение телом отсчета может быть неподвижная поверхность (земля, пол, стол и т.п.), само движущееся тело или другое тело.
При этом системой координат является координатная прямая, параллельная направлению движения (вектору перемещения) тела, уравнение движения которого мы хотим получить.

Прямолинейное движение описывается с помощью координатной прямой, параллельной направлению движения тела.

Проекции скорости и перемещения на координатную прямую могут быть положительными, равными нулю или отрицательными. Величины скорости и перемещения будут равны длинам соответствующих проекций.

п.4. График движения x=x(t)

Сравним полученное уравнение движения $x(t)=x_0+v_x t$ с уравнением прямой $y(x)=kx+b$ (см. §38 справочника по алгебре для 7 класса).

В уравнении движения роль углового коэффициента $k$ играет проекция скорости $v_x$, а роль свободного члена $b$ – начальная координата $x_0$.

В осях $t$ и $x$ график $x(t)=x_0+v_x t$ является прямой.
Эта прямая:

возрастает, если $v_x\gt 0$
убывает, если $v_x\lt 0$
постоянна (параллельна оси $t$), если $v_x= 0$

Построим графики зависимости координаты от времени для нашего примера:

x=20+10t - машина движется вправо (в направлении оси OX)
x=20-10t - машина движется влево (в направлении, противоположном оси OX)
x=20 - машина стоит

п.5. Как найти уравнение движения по графику движения?

Шаг 1. Выбрать на прямой любые две точки $A(t_1,x_1)$ и $B(t_2,x_2)$.
Шаг 2. Найти проекцию скорости как отношение: $$ v_x=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}=\frac{\triangle x}{\triangle t} $$ Шаг 3. Найти начальную координату по одной из формул: $$ x_0=x_1-v_x t_1\ \text{или}\ x_0=x_2-v_x t_2 $$ Шаг 4. Записать найденное уравнение движения: $$ x(t)=x_0+v_x t $$

п.6. График скорости v_x=v_x(t)

В осях $t$ и $x$ график $v_x(t)=v_x=const$ является прямой, параллельной оси $t$.
Эта прямая:

расположена над осью $t$, если $v_x\gt 0$
расположена под осью $t$, если $v_x\lt 0$
совпадает с осью $t$, если $v_x=0$

Для рассмотренного примера:
График скорости v_x=v_x(t)

Внимание!
В отличие от алгебры, в физике масштабы на осях, как правило, разные.
Поэтому обязательно нужно:
1) указывать обозначения и единицы измерения физических величин, которым соответствуют оси графика;
2) подбирать масштабы так, чтобы с графиком было удобно работать.

п.7. Как найти путь и перемещение по графику скорости?

Пусть тело движется прямолинейно равномерно, зависимость его координаты от времени описывается уравнением: $$ x(t)=x_0+v_x t $$ Тогда в некоторый момент времени $t_1$ координата равна $x_1=x_0+v_x t_1$.
Несколько позже, в момент времени $t_2\gt t_1$ координата равна $x_2=x_0+v_x t_2$.
Если $v_x\gt 0$, то пройденный за промежуток времени $\triangle t=t_2-t_1$ путь равен разности координат: $$ s=x_2-x_1=(x_0+v_x t_2)-(x_0+v_x t_1)=x_0-x_0+v_x (t_2-t_1)=v_x \triangle t $$ В общем случае, т.к. $v_x$ может быть и отрицательным, а путь всегда положительный, в формуле нужно поставить модуль: $$ s=|v_x|\triangle t $$
Изобразим полученное соотношение на графике скорости: Как найти путь и перемещение по графику скорости

На графике скорости путь, пройденный за промежуток времени $\triangle t=t_2-t_1$ равен площади прямоугольника, длина которого равна $\triangle t$, а ширина $\triangle |v_x|$: $$ s=|v_x|\triangle t $$

Проекция скорости $v_x$ может быть не только положительной, но и отрицательной.
Если учитывать знак, то произведение: $$ \triangle x=v_x \triangle t $$ дает проекцию перемещения на ось OX. Знак этого произведения указывает на направление перемещения.

На графике скорости проекция перемещения на ось OX за промежуток времени $\triangle t=t_2-t_1$ равна площади $v_x\triangle t$, с учетом знака: $$ \triangle x=v_x\triangle t $$

Проекция перемещения может быть как положительной, так и отрицательной или равной 0.

п.8. Задачи

Задача 1. Спортсмен бежит по прямолинейному участку дистанции с постоянной скоростью 8 м/с. Примите $x_0=0$ и запишите уравнение движения.
а) Постройте график движения $x=x(t)$ и найдите с его помощью, сколько пробежит спортсмен за $t_1=5\ с$, за $t_2=10\ с$;
б) постройте график скорости $v=v(t)$ и найдите с его помощью, какой путь преодолеет спортсмен за промежуток времени $\triangle t=t_2-t_1$?

По условию $x_0=0,\ v_x=8$.
Уравнение движения: $x=x_0+v_x t=0+8t=8t$
а) Строим график прямой $x=8t$ по двум точкам:

t	0	5
x	0	40

Задача 1
По графику находим: \begin{gather*} x_1=x(5)=8\cdot 5=40\ \text{(м)}\\ x_2=x(10)=8\cdot 10=80\ \text{(м)} \end{gather*}
б) Скорость $v_x=8$ м/с - постоянная величина, её график:

$$ t_1=5\ с,\ \ t_2=10\ с $$ Пройденный путь за промежуток времени $\triangle t=t_2-t_1$ равен площади заштрихованного прямоугольника: $$ s=v_x \triangle t=8\cdot (10-5)=40\ \text{(м)} $$ Ответ: а) 40 м и 80 м; б) 40 м

Задача 2. Космический корабль движется прямолинейно с постоянной скоростью.
Известно, что через 1 час после старта корабль находился на расстоянии 38 тыс.км от астероида Веста, а через 2 часа после старта – на расстоянии 56 тыс.км.
а) постройте график движения корабля, найдите по графику уравнение движения.
б) на каком расстоянии от астероида находился корабль в начальный момент времени?
в) на каком расстоянии от астероида будет находиться корабль через 4 часа после старта?
г) чему равна скорость корабля в километрах в секунду?

а) Будем откладывать время в часах, а расстояние в тыс.км
Отмечаем точки A(1;38) и B(2;56), проводим через них прямую.
Полученная прямая и есть график движения $x=x(t)$.
Задача 2
Найдем скорость корабля $v_x$: $$ v_x=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}=\frac{56-38}{2-1}=18\ (\text{тыс.км/ч}) $$ Найдем начальную координату $x_0$: $$ x_0=x_1-v_x t_1=38-18\cdot v_1=20\ (\text{тыс.км/ч}) $$ Получаем уравнение движения: $$ x(t)=x_0+v_x t,\ \ x(t)=20+18t $$ где $x$ – в тыс.км, а $t$ – в часах.

б) В начальный момент времени корабль находился на расстоянии $x_0=20$ тыс.км от астероида.

в) Через 4 часа после старта корабль будет находиться на расстоянии $$ x(4)=20+18\cdot 4=92\ (\text{тыс.км}) $$
г) Переведем скорость в км/с: $$ 18000\frac{\text{км}}{\text{ч}}=\frac{18000\ \text{км}}{1\ \text{ч}}=\frac{18000\ \text{км}}{3600\ \text{c}}=5\ \text{км/c} $$ Ответ:
а) $x(t)=20+18t$ ($x$ в тыс.км, $t$ в часах); б) 20 тыс.км; в) 92 тыс.км; г) 5 км/с