Траектория, путь, перемещение. Векторные величины в физике

п.1. Траектория и путь

Примеры траекторий

Траектория полета баскетбольного мяча

Траектория полета на Марс и обратно

Пример зависимости траектории от системы отсчета
Жук сел в центр больших башенных часов и пополз по минутной стрелке.
За час, двигаясь с постоянной скоростью, он дополз до конца стрелки.

В системе отсчета, связанной с минутной стрелкой, траектория жука – отрезок прямой.

В системе отсчета, связанной с циферблатом, траектория жука – спираль Архимеда.

Путь также зависит от выбора системы отсчета, как и траектория.
Допустим, что минутная стрелка, по которой ползал жук в нашем примере, имеет длину L=7,5 м. Тогда в системе отсчета, связанной со стрелкой, путь жука s₁=L=7,5 м.
Для спирали Архимеда длина описанной дуги также известна и равна s₁≈2,83L≈21,2 м. Т.е. в системе отсчета, связанной с циферблатом, путь жука почти в 3 раза больше.

п.2. Перемещение

Пример перемещения в разных системах отсчета

В системе отсчета, связанной с минутной стрелкой, модуль перемещения жука равен его пути $$ |\overrightarrow{r}|=s=L $$

В системе отсчета, связанной с циферблатом, модуль перемещения жука меньше его пути \begin{gather*} |\overrightarrow{r}|\lt s\\ |\overrightarrow{r}|=L,\ \ s\approx 2,83L \end{gather*}

п.3. Понятие вектора и суммы векторов

Примеры векторов на плоскости и их обозначений:

Вектор \(\overrightarrow{BA}\) является обратным для вектора \(\overrightarrow{AB}\), т.е. \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\).
При этом оба вектора равны по модулю: \(|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BA}|\).
Сумма двух взаимно обратных векторов равна нулю: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB}=0\).
С точки зрения физики это можно пояснить так: точка переместилась из A в B, а затем вернулась обратно в A. В итоге перемещение равно 0.

С точки зрения физики правило треугольника можно пояснить так: точка переместилась из A в B, а затем из B в C. В итоге произошло перемещение из A в C, т.е. \(\overrightarrow{AC}\).

В курсе механики, который мы изучаем, нам встретится много векторных величин:
\(\overrightarrow{r}\) - перемещение, \(\overrightarrow{v}\) - скорость, \(\overrightarrow{a}\) - ускорение, \(\overrightarrow{F}\) - сила.
Постепенно, мы научимся с ними работать.

п.4. Задачи

Задача 1. Пассажир движущегося по прямой круизного лайнера прогуливается по палубе, от правого борта к левому и обратно. Постройте траектории движения пассажира:
а) относительно лайнера;
б) относительно Земли.

а) относительно лайнера;

Траектория – отрезок между бортами, по которому пассажир движется туда и обратно.

б) относительно Земли.

Траектория – кривая (синусоида), которая получается как сумма движений пассажира от одного борта к другому и движения лайнера вперед.

Задача 2. Платформа длиной l движется по дороге, а человек движется по платформе.

Каков путь человека: а) относительно платформы; б) относительно дороги? в) Каков путь переднего колеса платформы относительно дороги?

а) Путь человека относительно платформы равен длине платформы l.
б) Путь человека относительно дороги равен s.
в) Путь переднего колеса платформы относительно дороги (s-l).

Задача 3. Мяч, брошенный вертикально вверх, поднялся на высоту 7 м и упал обратно.
Чему равен: а) его путь; б) перемещение?

а) Путь равен сумме пройденных расстояний вверх и вниз: s=7+7=14 (м)
б) Перемещение равно \(|\overrightarrow{r}|=0\), т.к. мяч упал в исходную точку.

Ответ: s=14 м; \(|\overrightarrow{r}|=0\)

Задача 4. Вертолет пролетел 400 км на север, 200 км на восток и 400 км на юг.
Начертите схему движения и определите путь и перемещение вертолета.

Путь равен сумме длин всех векторов: s=400+300+400=1100 (км)
Начало движения – точка A, конец – точка D. Перемещение равно: \(\overrightarrow{r}=\overrightarrow{AD}\).
Модуль перемещения равен длине отрезка AD.
По условию AB=CD и AB || CD. Значит, ABCD - прямоугольник, и AD=BC=300  (км).
\(\overrightarrow{r}=AD=300\ \)(км)

Ответ: s=1100 км; \(|\overrightarrow{r}|=300\ \)км, на восток

Задача 5. В сундуке старого пирата найдена старая карта, на которой точкой отмечен старый дуб. На обратной стороне карты есть надпись, которую удалось расшифровать: «30 шагов на север, 20 шагов на запад, 50 шагов на юг, 50 шагов на восток, 20 шагов на север. Копай!». Начертите схему движения, найдите путь и перемещение от дуба к кладу в шагах и метрах, если в одном шаге 70 см.

Строим прямоугольную систему координат, дуб – в начале отсчета.
Откладываем векторы перемещений и отмечаем координаты на осях:

Получаем, что клад находится в точке F, расположенной в 30 шагах на восток от дуба.
Путь из точки A в точку F равен сумме длин всех отложенных векторов:

Перемещение из точки A в точку F равно вектору \(\overrightarrow{AF},\ \overrightarrow{r}=\overrightarrow{AF}\).
Модуль перемещения равен длине отрезка AF: \begin{gather*} |\overrightarrow{r}|=AF=30\ \text{(шагов)}\\ |\overrightarrow{r}|=30\cdot 0,7=21\ \text{(м)} \end{gather*}
Ответ: s=119 м; \(|\overrightarrow{r}|=21\ \)м, на восток