Сила всемирного тяготения. Искусственные спутники
п.1. Гравитационное взаимодействие
Согласно современным представлениям, все тела, обладающие массой, притягиваются друг к другу. Это взаимодействие называется гравитационным.
Таким образом, масса проявляется в природе двумя качественно разными способами.
Гравитационная масса - мера гравитационного взаимодействия тел (закон всемирного тяготения), определяющая силу взаимного притяжения.
Нужно подчеркнуть, что инертная масса и гравитационная масса возникают в механике при рассмотрении совершенно разных явлений, и ниоткуда не следует, что они должны быть равны.
Тем не менее, уже сам Ньютон доказал равенство этих масс с точностью 10-3.
На сегодняшний день (эксперимент 2009 г.) этот факт подтвержден с точностью 10-13.
Значения инертной и гравитационной массы одного и того же тела равны.
п.2. Закон всемирного тяготения
Две материальные точки массами \(m_1\) и \(m_2\) притягиваются по направлению друг к другу с силой \(F\), прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния \(r\) между ними: $$ F=G\frac{m_1m_2}{r^2} $$ Коэффициент пропорциональности называется гравитационной постоянной;
она одинакова для всех тел природы и в системе СИ равна $$ G=6,67\cdot 10^{-11}\frac{\text{Н}\cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} $$
Если два тела массой по 1 кг находятся на расстоянии 1 м друг от друга, сила гравитационного взаимодействия между ними равна $$ F=G\cdot 1\frac{\text{кг}^2}{\text{м}^2}=6,67\cdot 10^{-11}\ \text{Н} $$
Закон всемирного тяготения выполняется для тел, размерами которых можно пренебречь, т.е. для материальных точек. Но его применение можно расширить.
При рассмотрении небесных тел (Солнца, планет и их спутников) в первом приближении их можно считать однородными идеальными сферами с одинаковой плотностью вещества внутри. Как показывает теория, в такой модели небесное тело можно заменить материальной точкой, совпадающей с его центром, с массой полностью сосредоточенной в этом центре.
В этом случае для применения закона всемирного тяготения открываются дополнительные возможности. Например, можно описывать движение небольшого тела на поверхности планеты, «сжимая» всю планету в материальную точку, от которой тело удалено на расстояние, равное радиусу планеты.
п.3. Ускорение свободного падения на поверхности для различных планет
Найдем силу, с которой Земля притягивает небольшое тело массой m, расположенное на её поверхности.
 |
Будем считать Землю сферическим однородным телом. Масса Земли \(M_\oplus=5,97\cdot 10^{24}\ \text{кг}\), радиус Земли \(R_\oplus=6370\ \text{км}\). Допущение об однородности позволяет перейти к модели, в которой вся масса Земли сосредоточена в её центре. Расстояние от центра до поверхности, на которой находится тело, – это радиус Земли. |
Получаем, что сила притяжения между Землей и телом: $$ F=G\frac{M_\oplus m}{R^2_\oplus} $$
По своей природе, полученная сила является ничем иным, как силой тяжести \(F=mg\), с которой мы уже знакомы (см. §22 данного справочника).
Значит, \(G\frac{M_\oplus m}{R^2_\oplus}=mg\), и ускорение свободного падения \begin{gather*} g=G\frac{M_\oplus}{R^2_\oplus}\\[6pt] g=6,67\cdot 10^{-11}\cdot \frac{5,97\cdot 10^{24}}{(6,37\cdot 10^6)^2}\approx 9,81\ (\text{м/с}^2) \end{gather*} Что полностью согласуется с многочисленными экспериментами.
Полученный результат можно обобщить и применить к любому другому небесному телу.
Например, для Луны \(g_{\text{Л}}=1,62\frac{\text{м}}{\text{с}^2}\approx 0,165g_0\); для Юпитера \(g_{\text{Ю}}=23,95\frac{\text{м}}{\text{с}^2}\approx 2,442g_0\); для Солнца \(g_{\text{С}}=273,1\frac{\text{м}}{\text{с}^2}\approx 27,85g_0\). Здесь, \(g_0\) - ускорение свободного падения у поверхности Земли.
Заметим, что в задачах на гравитационное взаимодействие часто оказывается полезной замена \(GM=gR^2\).
п.4. Космические скорости
Если тело находится на поверхности Земли, то расстояние между центром планеты, где сосредоточена вся масса, и этим телом равно радиусу Земли \(R_\oplus\).
Если подняться над поверхностью на некоторую высоту \(h\), расстояние станет равным \((R_\oplus+h)\). Сила всемирного тяготения (она же – сила тяжести) на этой высоте: $$ F_h=G\frac{M_\oplus m}{(R_\oplus+h)^2} $$
Т.к. \(GM_\oplus=gR^2_\oplus\), где \(g=9,81\ (\text{м/с})^2\), можем также записать удобное на практике выражение: $$ F_h=mg\left(\frac{R_\oplus}{(R_\oplus+h)}\right)^2 $$
Пусть мы хотим запустить спутник, который будет летать на высоте \(h\) по круговой орбите с постоянной скоростью \(v\). При равномерном движении по окружности ускорение равно отношению квадрата скорости к радиусу орбиты. Получаем: $$ F_h=G\frac{M_\oplus m}{(R_\oplus +h)^2}=ma=m\frac{v^2_h}{(R_\oplus + h)} $$
Скорость вращения спутника на высоте \(h\): $$ v_h=\sqrt{\frac{GM_\oplus}{R_\oplus + h}} $$
Зная ускорение свободного падения у поверхности Земли \(g\), можем также записать: $$ v_h=\sqrt{\frac{gR^2_\oplus}{R_\oplus + h}} $$
В общем случае:
Скорости, достаточные для запуска околоземного спутника, межпланетной станции и вылета за пределы Солнечной системы, называют космическими скоростями для Земли.
Скорость, достаточная для того, чтобы тело, запускаемое с Земли на уровне моря \((h=0)\), стало её искусственным спутником, равна $$ v_1=\sqrt{\frac{GM_\oplus}{R_\oplus}}=\sqrt{gR_\oplus}\approx 7,92\ \text{км/с} $$
Скорость, достаточная для того, чтобы тело, запускаемое с Земли на уровне моря \((h=0)\), преодолело земное притяжение и смогло осуществить межпланетный полет в пределах Солнечной системы, равна $$ v_2=\sqrt{\frac{2GM_\oplus}{R_\oplus}}=\sqrt{2gR_\oplus}\approx 11,18\ \text{км/с} $$
Аналогичные формулы для первой и второй космических скоростей можно получить для любой планеты, как в Солнечной системе, так и за ее пределами.
Нужно только знать массу и радиус планеты.
Можно также рассчитать скорость, необходимую для межзвездных полетов при старте с Земли. Это задача непростая, т.к. необходимо учесть относительное движение трех тел: космического корабля, Земли и Солнца.
Скорость, достаточная для того, чтобы тело, запускаемое с Земли на уровне моря \((h=0)\), преодолело притяжение Земли и Солнца и смогло осуществить межзвездный полет за пределы Солнечной системы, равна $$ v_3=\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2\frac{GM_\odot}{R_\odot}+\frac{2GM_\oplus}{R_\oplus}} \approx 16,65\ \text{км/с} $$
В этой формуле, \(M_\odot\) - масса Солнца, \(R_\odot\) - радиус орбиты вращения Земли вокруг Солнца.
п.5. Искусственные спутники Земли
Искусственный спутник Земли – это космический летательный аппарат, вращающийся вокруг Земли по геоцентрической орбите (эллипсу, в одном из фокусов которого находится Земля).
Круговая орбита спутника в плоскости экватора Земли, двигаясь по которой он находится всё время над одной и той же точкой экватора, называется геостационарной. Такие спутники имеет большое значение для создания систем связи.
Чтобы запустить спутник на орбиту, ему необходимо сообщить скорость, больше чем первая космическая, но меньше чем вторая космическая: $$ 7,92\frac{\text{км}}{\text{с}}\lt v\lt 11,18\frac{\text{км}}{\text{с}} $$
На практике, получение соответствующей силы тяги ракетного двигателя, способного разогнать ракету до таких скоростей, является сложной технической проблемой.
Вывод спутников на орбиту осуществляется с помощью многоступенчатых ракет-носителей в несколько этапов. На первом этапе ракета стартует и, двигаясь вертикально вверх, проходит плотные слои атмосферы на относительно небольшой скорости, после чего отработавшие двигатели первой ступени отделяются (у Илона Маска - аккуратно возвращаются на Землю). На втором этапе ракета постепенно разворачивается параллельно к поверхности Земли и начинает ускоряться. Когда скорость достигает определенной величины и направления, работа двигателей прекращается, отделяется вторая ступень. Спутник начинает самостоятельное движение по расчетной орбите.
Искусственные спутники Земли используются для решения разнообразных научных и прикладных задач.
В апреле 2020 года на орбите находилось 1388 спутников США, 356 Китая, 167 России, 138 Британии, 78 Японии и 627 других стран. Из них: 1007 спутников связи, 446 спутников для исследования Земли, 97 спутников навигации и GPS, 87 научно-исследовательских спутников и другие космические аппараты.
п.6. Задачи
Задача 1. С какой силой Земля притягивает Луну? Масса Земли \(M_\oplus=5,97\cdot 10^{24}\ \text{кг}\), масса Луны \(m_{\text{л}}=7,36\cdot 10^{22}\ \text{кг}\), средний радиус лунной орбиты \(R=384\ \text{тыс.км}\). А с какой силой Луна притягивает Землю?
Дано:
\(M_\oplus=5,97\cdot 10^{24}\ \text{кг}\)
\(m_{\text{л}}=7,36\cdot 10^{22}\ \text{кг}\)
\(R=384\ \text{тыс.км}=3,84\cdot 10^8\ \text{м}\)
__________________
\(F_{\text{ЗЛ}}, F_{\text{ЛЗ}}-?\)
По закону всемирного тяготения $$ F_{\text{ЗЛ}}=G\frac{M_\oplus m_{\text{л}}}{R^2} $$ Получаем \begin{gather*} F_{\text{ЗЛ}}=6,67\cdot 10^{-11}\cdot \frac{5,97\cdot 10^{24}\cdot 7,36\cdot 10^{22}}{(3,84\cdot 10^8)^2}\approx \\[6pt] \approx 19,9\cdot 10^{-11+24+22-16}=1,99\cdot 10^{20}\ (\text{Н}) \end{gather*} Эта сила направлена от центра Луны к центру Земли. 
По третьему закону Ньютона, Луна притягивает Землю с такой же по величине силой, которая направлена противоположно, от центра Земли к центру Луны: $$ \overrightarrow{F_{\text{ЗЛ}}}=-\overrightarrow{F_{\text{ЛЗ}}} $$ Ответ: 1,99·1020 Н
Задача 2. Самая высокая гора на Земле – Эверест (8848 м). Во сколько раз сила тяжести на уровне моря больше силы тяжести на вершине Эвереста? Радиус Земли \(R_\oplus=6370\ \text{км}\).
Дано:
\(R_\oplus=6370\ \text{км}=6,37\cdot 10^6\ \text{м}\)
\(h=8848\ \text{м}\)
__________________
\(\frac{F}{F_h}-?\)
Сила тяжести для тела массой \(m\) на уровне моря \begin{gather*} F=G\frac{M_\oplus m}{R_\oplus^2} \end{gather*} На вершине Эвереста \begin{gather*} F_h=G\frac{M_\oplus m}{(R_\oplus +h)^2} \end{gather*} Отношение сил: \begin{gather*} \frac{F}{F_h}=G\frac{M_\oplus m}{R_\oplus^2}:G\frac{M_\oplus m}{(R_\oplus +h)^2}= \frac{(R_\oplus+h)^2}{R^2_\oplus}=\left(\frac{R_\oplus+h}{R_\oplus}\right)^2 =\left(1+\frac{h}{R_\oplus}\right)^2 \end{gather*} Получаем: \begin{gather*} \frac{F}{F_h}=\left(1+\frac{8848}{6,37\cdot 10^6}\right)^2\approx 1,003 \end{gather*} Ответ: в 1,003 раза
Задача 3. На поверхности Земли на тело действует силы тяжести \(F=54\ \text{Н}\).
Чему будет равна сила тяжести, действующая на это тело на высоте, равной двум радиусам Земли?
Дано:
\(F=54\ \text{Н}\)
\(h=2R_\oplus \)
__________________
\(F_h-?\)
Сила тяжести на поверхности Земли \begin{gather*} F=G\frac{M_\oplus m}{R_\oplus^2} \end{gather*} Сила тяжести на высоте \(h\) \begin{gather*} F_h=G\frac{M_\oplus m}{(R_\oplus +h)^2}=G\frac{M_\oplus m}{(R_\oplus+2R_\oplus)^2}=G\frac{M_\oplus m}{9R^2_\oplus} \end{gather*} Отношение сил: \begin{gather*} \frac{F}{F_h}=G\frac{M_\oplus m}{R_\oplus^2}:G\frac{M_\oplus m}{9R^2_\oplus}=9,\ \ F_h=\frac{F}{9}\\[6pt] F_h=\frac{54}{9}=6\ (\text{Н}) \end{gather*} Ответ: 6 Н
Задача 4*. Чему равны первая и вторая космические скорости вблизи поверхности Луны? Сравните их со значениями первой и второй космических скоростей у поверхности Земли.
Радиус Луны \(R=1740\ \text{км}\), масса Луны \(M=7,36\cdot 10^{22}\ \text{кг}\).
Дано:
\(R=1740\ \text{км}=1,74\cdot 10^6\ \text{м}\)
\(M=7,36\cdot 10^{22}\ \text{кг}\)
__________________
\(v_1,\ v_2-?\)
\(\frac{v_{\text{1З}}}{v_{\text{1Л}}},\ \frac{v_{\text{2З}}}{v_{\text{2Л}}}-?\)
Первая и вторая космические скорости $$ v_1=\sqrt{\frac{GM}{R}},\ v_2=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=\sqrt{2}v_1 $$ Получаем: \begin{gather*} v_1=\sqrt{\frac{6,67\cdot 10^{-11}\cdot 7,36\cdot 10^{22}}{1,74\cdot 10^6}}\approx \sqrt{2,82\cdot 10^6}\approx\\[6pt] \approx 1,68\cdot 10^3\frac{\text{м}}{\text{с}}=1,68\frac{\text{км}}{\text{с}}\\[6pt] v_2=\sqrt{2}\cdot 1,68\approx 2,37\frac{\text{км}}{\text{с}} \end{gather*} Сравним со скоростями для Земли: \begin{gather*} \frac{v_{\text{1З}}}{v_{\text{1Л}}}=\frac{7,92}{1,68}\approx 4,7\ \text{раз},\ \ \frac{v_{\text{2З}}}{v_{\text{2Л}}}=\frac{\sqrt{2}v_{\text{1З}}}{\sqrt{2}v_{\text{1Л}}}=\frac{v_{\text{1З}}}{v_{\text{1Л}}}\approx 4,7\ \text{раз} \end{gather*} Космические скорости для Луны в 4,7 раз меньше земных.
Ответ: 1,68 км/с; 2,37 км/с; в 4,7 раз меньше
Задача 5*. Рассчитайте радиус геостационарной орбиты спутника и высоту такого спутника над Землей. Масса Земли \(M_\oplus=5,97\cdot 10^{24}\ \text{кг}\), радиус Земли \(R_\oplus =6400\ \text{км}\).
Ответ запишите в км.
Дано:
\(M_\oplus=5,97\cdot 10^{24}\ \text{кг}\)
\(T=24\ \text{ч}=8,64\cdot 10^4\ \text{с}\)
\(R_\oplus =6400\ \text{км}=6,4\cdot 10^6\ \text{м}\)
__________________
\(R,\ h-?\)
На геостационарной орбите спутник «зависает» над Землей, его линейная скорость равна отношению длины окружности орбиты к периоду вращения (сутки): \begin{gather*} v=\frac{2\pi R}{T}=\sqrt{\frac{GM_\oplus}{R}}\Rightarrow \frac{4\pi ^2R^2}{T^2}=\frac{GM_\oplus}{R}\Rightarrow R^3=\frac{GM_\oplus T^2}{4\pi ^2}\\[6pt] R=\sqrt[{3}]{\frac{GMT^2}{4\pi ^2}} \end{gather*} Получаем: \begin{gather*} R=\sqrt[{3}]{\frac{6,67\cdot 10^{-11}\cdot 5,97\cdot 10^{24}\cdot (8,64\cdot 10^4)^2}{4\pi ^2}}\approx \sqrt[{3}]{75,3\cdot 10^{-11+24+8}}\approx\\[6pt] \approx 4,22\cdot 10^7\ (\text{м})=42200\ (\text{км})\\[6pt] h=R-R_\oplus=42200-6400=35800\ (\text{км}) \end{gather*} Ответ: 42200 км; 35800 км
