Простые механизмы. "Золотое правило" механики

п.1. Виды простых механизмов

По традиции, сложившейся ещё со времен Возрождения, к простым механизмам относятся:

• наклонная плоскость и её разновидности – клин и винт;
• рычаг и его разновидности – блок и ворот;
• колесо;
• поршень.

Примеры физических систем в механике

Наклонная плоскость - плоская поверхность, установленная под углом к горизонтали.Позволяет поднимать груз вверх, прикладывая меньшую силу \(F\lt F_\text{тяж}\)	Клин – устройство в виде призмы, боковые поверхности которой находятся под острым углом.Действие силы \(f\) на основание призмы приводит к возникновению двух составляющих \(F\gt f\) перпендикулярных рабочим поверхностям.	Винт – деталь цилиндрической или конической формы с резьбой (наклонной плоскостью).Выигрыш в силе при закручивании винта равен отношению длины окружности к шагу резьбы.
Рычаг – балка, вращающаяся вокруг точки опоры.Выигрыш в силе равен отношению плеч рычага. $$ \frac{F_2}{F_1}=\frac{l_1}{l_2} $$	Блок – колесо с желобом по окружности, вращающееся вокруг своей оси.Неподвижный блок меняет направление силы. Подвижный блок дает выигрыш в силе в 2 раза.	Ворот – горизонтальный цилиндр с рукояткой на конце.Выигрыш в силе равен отношению радиуса хода рукоятки к радиусу барабана.
Колесо – свободно вращающийся или закрепленный на оси диск, позволяющий телу катиться, а не скользить.Трение качения существенно меньше трения скольжения.		Поршень – деталь машин и механизмов, служащая для преобразования энергии сжатого газа или жидкости в энергию поступательного движения.

п.2. Принцип действия рычага

Подробно рычаги и условия равновесия были рассмотрены в §26 данного справочника.

Там же было получено правило моментов $$ F_1L_1=F_2L_2. $$

Если \(F_2\) – это нагрузка, а \(F_1\) - приложенная сила, то выигрыш в силе: $$ i=\frac{F_2}{F_1}=\frac{L_1}{L_2} $$

В этом разделе мы рассмотрим принцип работы рычага с точки зрения закона сохранения энергии.

Пусть действие приложенной силы \(F_1\) приводит к перемещению \(h_1\) левого плеча вниз.

Работа приложенной силы равна \(A_1=F_1h_1\).

Тогда правое плечо при этом переместится вверх на расстояние \(h_2\).

Работа нагрузки \(A_2=-F_2h_2\). Работа нагрузки отрицательна, т.к. направления вектора нагрузки \(F_2\) и вектора перемещения \(h_2\) противоположны. Для замкнутой системы выполняется закон сохранения энергии, а значит, сумма работ должна быть равна нулю: $$ A_1+A_2=F_1h_1-F_2h_2=0 $$

Получаем, что \(F_1h_1=F_2h_2\).

Равнобедренный треугольник с основанием \(h_1\) и боковыми сторонами \(L_1\) слева подобен равнобедренному треугольнику с основанием \(h_2\) и боковыми сторонами \(L_2\) справа (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). Следовательно, выигрыш в силе: $$ i=\frac{F_2}{F_1}=\frac{h_1}{h_2}=\frac{L_1}{L_2} $$

Что соответствует результату, полученному ранее.

п.3. «Золотое правило» механики

Выигрыш в силе для рычага $$ i=\frac{F_2}{F_1}=\frac{h_1}{h_2} $$ показывает, что перемещение \(h_1\) левого плеча с приложенной силой \(F_1\) обязательно должно быть в разы больше перемещения \(h_2\) правого плеча с нагрузкой.

Архимеду приписывают следующую фразу: «Дайте мне точку опоры, и я переверну Землю». Попробуем для начала хотя бы сдвинуть Землю на 1 микрон с орбиты, \(h_2=1\ \text{мкм}=10^{-6}\ \text{м}\). Это послужит хорошей иллюстрацией «золотого ПРАВИЛО» механики.

Допустим, мы нашли «точку опоры» и можем приложить к рычагу силу, равную собственному весу \(F_1=720\ \text{Н}\). Сила, удерживающая Землю на орбите вокруг Солнца равна \(F_2=3,6\cdot 10^{22}\ \text{Н}\). Получаем, что нам нужно со своей стороны переместить рычаг на $$ h_1\frac{F_2}{F_1}h_2=\frac{3,6\cdot 10^{22}}{720}\cdot 10^{-6}=5\cdot 10^{13}\ (\text{м})=5\cdot 10^{10}\ (\text{км}) $$ т.е. 50 миллиардов километров.

Расстояние от Солнца до Земли – 1 астрономическая единица – это «всего лишь» 150 миллионов километров:\(1\ \text{а.е.}\approx 1,5\cdot 10^{11}\ \text{(м)}\).

Радиус всей Солнечной системы – около 100 астрономических единиц, т.е. около \(1,5\cdot 10^{13}\ \text{м}\). Тогда \(5\cdot 10^{13}\ \text{м}\) - это чуть больше полутора диаметров Солнечных систем.

Значит, если на одной стороне рычага мы сдвигаем Землю на 1 микрон, то на другой стороне – прикладывая весь свой вес – должны преодолеть расстояние в полторы Солнечных системы. Вот что такое – «проигрыш в расстоянии».

п.4. Блоки и полиспасты

Блок — это колесо с желобом, по которому пропущена веревка или трос.

В технике используют неподвижные и подвижные блоки.

Неподвижный блок Ось неподвижного блока закреплена и при подъёме грузов неподвижна. Неподвижный блок – равноплечий рычаг с точкой вращения \(O\). Получаем тождество $$ FR=FR $$ где \(R\) - радиус блока. Выигрыша в силе нет. Неподвижный блок позволяет менять направление действия силы, но выигрыша в силе не даёт. Зато нет и проигрыша в расстоянии: на какое расстояние опустится веревка справа, на такое же расстояние поднимется груз слева.

Подвижный блок Ось подвижного блока поднимается или опускается вместе с грузом. По правилу моментов для рычага с точкой вращения \(O\) получаем тождество: $$ F\cdot OA=\frac F2\cdot OB \Leftrightarrow F\cdot R=\frac F2\cdot 2R $$ Откуда следует двойной выигрыш в силе. Подвижный блок даёт выигрыш в силе в 2 раза. При этом получаем двойной проигрыш в расстоянии: чтобы поднять груз на высоту \(h\), нужно вытравить канат справа на длину \(2h\).

В реальных ситуациях выигрыш в силе при использовании подвижного блока получается меньшим, т.к. часть работы уходит на подъем самой веревки и блока (они тоже имеют вес) и преодоление трения.

На практике используют комбинации из неподвижных и подвижных блоков – полиспасты.

Они позволяют получить выигрыш в силе и менять её направление.

Чем больше в полиспасте подвижных блоков, тем большим будет выигрыш в силе.

Характеристики полиспастов представлены в таблице.

п.5. «Золотое правило» механики для гидравлического пресса

Подробней о гидравлическом прессе – см. §30 данного справочника.

Когда малый поршень под действием силы \(F_1\), опускается вниз на расстояние \(h_1\), он вытесняет некоторый объём жидкости. На столько же увеличивается объём жидкости под большим поршнем, который при этом поднимается на высоту \(h_2\). При опускании малого поршня слева сила \(F_1\) совершает работу \(A_1=F_1h_1\), где \(h_1\) - длина хода. При этом из левого сосуда в правый вытесняется объем воды $$ V=S_1h_1=S_2h_2 $$

В правом сосуде при подъёме поршня совершается работа $$ A_2=F_2h_2. $$

Давление на одном уровне в обоих сообщающихся сосудах равно $$ p=\frac{F_1}{S_1}=\frac{F_2}{S_2}. $$

Получаем: $$ \left. \begin{array}{r} p=\frac{F_1}{S_1}=\frac{F_2}{S_2}\Rightarrow \frac{S_2}{S_1}=\frac{F_2}{F_1}\\ V=S_1h_1=S_2h_2\Rightarrow \frac{S_2}{S_1}=\frac{h_1}{h_2} \end{array} \right\} \Rightarrow \frac{F_2}{F_1}=\frac{h_1}{h_2}\Rightarrow F_1h_1=F_2h_2\Rightarrow A_1=A_2 $$

Работы малого и большого поршня равны.

Таким образом, «золотое правило» для гидравлического пресса также выполняется.

Гидравлический пресс не дает выигрыша в работе.

Выигрыш в силе равен проигрышу в расстоянии: $$ i=\frac{F_2}{F_1}=\frac{h_1}{h_2} $$

п.6. «Золотое правило» механики для наклонной плоскости

Если груз поднимать равномерно вертикально вверх на высоту \(h\) (из точки C в точку B), необходимо прикладывать силу, равную весу \(P\). При этом работа по подъему груза равна произведению веса на высоту: $$ A_{CB}=Ph $$

Если груз поднимать равномерно по наклонной плоскости вверх на высоту \(h\) (из точки A в точку B), работа по подъему груза равна произведению приложенной силы на длину: $$ A_{AB}=FL $$

В любом случае тело, оказавшись в точке B, приобретает потенциальную энергию \begin{gather*} E_p=mgh,\\[7pt] \Delta E_p=E_p-E_{p0}=mgh-0=mgh \end{gather*}

Работа внешних сил при этом $$ A_{CB}=A_{AB}=\Delta E_p $$

Получаем \begin{gather*} Ph=FL\\[7pt] i=\frac PF=\frac Lh \end{gather*}

Наклонная плоскость не дает выигрыша в работе.

Выигрыш в силе компенсируется проигрышем в расстоянии.

Выигрыш в силе равен отношению длины наклонной плоскости к высоте.

Например, из пяти наклонных плоскостей, представленных на рисунке, наибольший выигрыш в силе даст плоскость 5, т.к. у нее отношение \(\frac Lh\) максимально (угол наклона минимален).

В реальности, если учесть силу трения, этот выигрыш уменьшается, т.к. с уменьшением угла наклона сила трения растет.

п.7. Задачи

Задача 1. Груз весом 200 Н равномерно поднимают по наклонной плоскости на высоту 5 м, прикладывая силу 100 Н. Найдите длину наклонной плоскости. Трением можно пренебречь.

Дано:
\(P=200\ \text{Н}\)
\(h=5\ \text{м}\)
\(F=100\ \text{Н}\)
__________________
\(L-?\)


Работы при подъеме тела вверх и при перемещении вдоль наклонной плоскости равны: \(A=Ph=FL\). Получаем \begin{gather*} L=\frac PF h \end{gather*} Подставляем \begin{gather*} L=\frac{200}{100}\cdot 5=10\ (\text{м}) \end{gather*} Ответ: 10 м

Задача 2. При штамповке детали больший поршень гидравлического пресса поднялся на 1 см, а меньший поршень опустился на 20 см. Какая сила действовала на деталь, если на малый поршень действовала сила 500 Н.

Дано:
\(h_1=20\ \text{см}=0,2\ \text{м}\)
\(h_2=1\ \text{см}=0,01\ \text{м}\)
\(F_1=500\ \text{Н}\)
__________________
\(F_2-?\)

Работы по перемещению поршней равны: \begin{gather*} A=F_1h_1=F_2h_2 \end{gather*} Сила, действующая на деталь \begin{gather*} F_2=\frac{h_1}{h_2}F_1,\\[6pt] F_2=\frac{0,2}{0,01}\cdot 500=10000\ (\text{Н})=10\ (\text{кН}) \end{gather*} Ответ: 10 кН

Задача 3. К концам рычага длиной 1 м подвешены грузы массой 8 кг и 12 кг. На каком расстоянии от середины рычага должна быть точка опоры, чтобы рычаг находился в равновесии? Ответ запишите в сантиметрах.

Дано:
\(m_1=8\ \text{кг}\)
\(m_2=12\ \text{кг}\)
\(d=1\ \text{м}\)
__________________
\(x-?\)


Плечо для груза 1: \begin{gather*} L_1=\frac d2+x \end{gather*} Плечо для груза 2: \begin{gather*} L_2=\frac d2-x \end{gather*} Условие равновесия: \begin{gather*} F_1L_1=F_2L_2\\[6pt] F_1\left(\frac d2+x\right)=F_2\left(\frac d2-x\right)\\[6pt] (F_1+F_2)x=(F_2-F_1)\frac d2 \end{gather*} Учитывая, что \(F_1=m_1g\) и \(F_2=m_2g\): \begin{gather*} x=\left(\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\right)\frac d2 \end{gather*} Получаем \begin{gather*} x=\left(\frac{12-8}{8+12}\right)\cdot \frac 12=\frac 15\cdot \frac 12=0,1\ (\text{м})=10\ (\text{см}) \end{gather*} Ответ: 10 см

Задача 4. Если груз лежит на левой чашке неравноплечих весов, его уравновешивают гири массой \(m_1=2\ \text{кг}\) на правой чашке. Если же груз положить на правую чашку, его уравновесит только одна гиря массой \(m_2=0,5\ \text{кг}\) на левой чашке. Какова масса \(m\) груза? Во сколько раз одно плечо весов длиннее другого?

Пусть длина правого плеча \(L_1\), левого плеча – \(L_2\).
По условию задачи \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l} mL_1=m_1L_2\\ m_2L_1=mL_2 \end{array} \right. \end{gather*} Разделим верхнее равенство на нижнее \begin{gather*} \frac{mL_1}{m_2L_1}=\frac{m_1L_2}{mL_2}\Rightarrow \frac{m}{m_2}=\frac{m_1}{m}\Rightarrow m^2=m_1m_2 \end{gather*} Масса груза \begin{gather*} m=\sqrt{m_1m_2}\\[7pt] m=\sqrt{2\cdot 0,5}=1\ \text{кг} \end{gather*} Отношение плечей \begin{gather*} \frac{L_1}{L_2}=\frac{m_1}{m}=\frac 21=2 \end{gather*} Левое плечо длиннее правого в 2 раза.
Ответ: 1 кг; левое плечо длиннее правого в 2 раза

Задача 5*. Прямолинейный кусок проволоки массой \(m=40\ \text{г}\) подвешен за середину. Левую половину куска согнули, как показано на рисунке. Какой массы груз надо подвесить в точке A, чтобы восстановить равновесие.

Пусть длина всей проволоки \(L\).
Тогда расстояние от центра тяжести проволоки слева до точки подвеса \(OK=L/4\), а расстояние от центра тяжести проволоки справа до точки подвеса \(OE=L/2\).
Груз массой \(M\) подвешен на расстоянии \(OA=L/2\).
Из ПРАВИЛА моментов получаем: \begin{gather*} Mg\cdot\frac L2+\frac{mg}{2}\cdot \frac L4=\frac{mg}{2}\cdot \frac L2 \end{gather*} Справа в равенстве – моменты, поворачивающие проволоку вокруг точки подвеса O против часовой стрелки, слева – по часовой стрелке.
Сокращаем на \(gL\) \begin{gather*} \frac M2+\frac m8=\frac m4\Rightarrow \frac m4-\frac m8=\frac m8\Rightarrow M=\frac m4\\[6pt] M=\frac{40}{4}=10\ (\text{г}) \end{gather*} Ответ: 10 г

Задача 6*. Балка массой 1200 кг и длиной 3 м лежит на опорах, равноудаленных от ее концов. Расстояние между опорами 2 м.
Какую силу, перпендикулярную балке и направленную вертикально вверх нужно приложить, чтобы приподнять балку за один из её краёв?


Дано:
\(M=1200\ \text{кг}\)
\(CD=3\ \text{м}\)
\(AB=2\ \text{м}\)
\(g\approx 10\ \text{м/с}^2\)
__________________
\(F-?\)

По условию \begin{gather*} AC=BD=\frac 12(CD-AB)=\frac 12(3-2)=0,5\ \text{м} \end{gather*} Если приподнять балку за левый край с силой \(F\), то останется только одна опора \(B\). Балка превращается в рычаг с осью вращения, проходящей через точку \(B\). Точка \(K\) - центр тяжести отрезка балки \(CB\).
Точка \(E\) - центр тяжести отрезка балки \(BD\).
По правилу моментов \begin{gather*} F\cdot CB+m_2g\cdot BE=m_1g\cdot KB \end{gather*} Слева – моменты, поворачивающие балку вокруг точки \(B\) по часовой стрелке, справа – против часовой стрелки.
Искомая сила: \begin{gather*} F=\frac{m_1g\cdot KB-m_2g\cdot BE}{CB} \end{gather*} Плечи сил: \begin{gather*} CB=CD-BD=3-0,5=2,5\ \text{м}\\[6pt] KB=\frac 12 CB=1,25\ \text{м}\\[6pt] BE=\frac 12 BD=0,25\ \text{м} \end{gather*} Распределение масс: \begin{gather*} m_1+m_2=M\\[6pt] \frac{m_1}{m_2}=\frac{CB}{BD}=\frac{2,5}{0,5}=5\Rightarrow 1+5=6\ \text{частей}\\[6pt] m_1=\frac 56 M=\frac 56\cdot 1200=1000\ \text{кг},\\[6pt] m_2=\frac 16 M=\frac 16\cdot 1200=200\ \text{кг} \end{gather*} Подставляем: \begin{gather*} F=\frac{1000\cdot 10\cdot 1,25-200\cdot 10\cdot 0,25}{2,5}=\frac{12500-500}{2,5}=4800\ (\text{Н})=4,8\ (\text{кН}) \end{gather*} Ответ: 4,8 кН