Погрешности измерений, представление результатов эксперимента
п.1. Шкала измерительного прибора
Примеры шкал различных приборов:
 Манометр – прибор для измерения давления, круговая шкала |
 Вольтметр – прибор для измерения напряжения, дуговая шкала |
 Индикатор громкости звука, линейная шкала |
п.2. Цена деления
Шаг 1. Найти два ближайшие пронумерованные крупные деления шкалы. Пусть первое значение равно a, второе равно b, b > a.
Шаг 2. Посчитать количество мелких делений шкалы между ними. Пусть это количество равно n.
Шаг 3. Разделить разницу значений крупных делений шкалы на количество отрезков, которые образуются мелкими делениями: $$ \triangle=\frac{b-a}{n+1} $$ Найденное значение \(\triangle\) и есть цена деления данного прибора.
Пример определения цены деления:
 |
Определим цену деления основной шкалы секундомера. Два ближайших пронумерованных деления на основной шкале: b = 10 c Цена деления: \begin{gather*} \triangle=\frac{b-a}{n+1}\\ \triangle=\frac{10-5}{24+1}=\frac15=0,2\ c \end{gather*} |
п.3. Виды измерений
Прямое измерение
Физическую величину измеряют с помощью прибора
Измерение длины бруска линейкой
Косвенное измерение
Физическую величину рассчитывают по формуле, куда подставляют значения величин, полученных с помощью прямых измерений
Определение площади столешницы при измеренной длине и ширине
п.4. Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность
Инструментальная погрешность
Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)
Погрешность метода
Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.
Погрешность теории (модели)
Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.
Погрешность оператора
Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.
На практике абсолютную и относительную погрешности округляют до двух значащих цифр с избытком, т.е. всегда в сторону увеличения.
Примеры значащих цифр:
0,403 – три значащих цифры, величина определена с точностью до тысячных.
40,3 – три значащих цифры, величина определена с точностью до десятых.
40,300 – пять значащих цифр, величина определена с точностью до тысячных.
В простейших измерениях инструментальная погрешность прибора является основной.
В таких случаях физическую величину измеряют один раз, полученное значение берут в качестве истинного, а абсолютную погрешность считают равной инструментальной погрешности прибора.
Примеры измерений с абсолютной погрешностью равной инструментальной:
- определение длины с помощью линейки или мерной ленты;
- определение объема с помощью мензурки.
Пример получения результатов прямых измерений с помощью линейки:
 |
Измерим длину бруска линейкой, у которой пронумерованы сантиметры и есть только одно деление между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: \begin{gather*} \triangle=\frac{b-a}{n+1}= \frac{1\ \text{см}}{1+1}=0,5\ \text{см} \end{gather*} Инструментальная погрешность: \begin{gather*} d=\frac{\triangle}{2}=\frac{0,5}{2}=0,25\ \text{см} \end{gather*} Истинное значение: \(L_0=4\ \text{см}\) Результат измерений: $$ L=L_0\pm d=(4,00\pm 0,25)\ \text{см} $$ Относительная погрешность: $$ \delta=\frac{0,25}{4,00}\cdot 100\text{%}=6,25\text{%}\approx 6,3\text{%} $$ |
 |
Теперь возьмем линейку с n=9 мелкими делениями между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: \begin{gather*} \triangle=\frac{b-a}{n+1}= \frac{1\ \text{см}}{9+1}=0,1\ \text{см} \end{gather*} Инструментальная погрешность: \begin{gather*} d=\frac{\triangle}{2}=\frac{0,1}{2}=0,05\ \text{см} \end{gather*} Истинное значение: \(L_0=4,15\ \text{см}\) Результат измерений: $$ L=L_0\pm d=(4,15\pm 0,05)\ \text{см} $$ Относительная погрешность: $$ \delta=\frac{0,05}{4,15}\cdot 100\text{%}\approx 1,2\text{%} $$ |
Второе измерение точнее, т.к. его относительная погрешность меньше.
п.5. Абсолютная погрешность серии измерений
Измерение длины с помощью линейки (или объема с помощью мензурки) являются теми редкими случаями, когда для определения истинного значения достаточно одного измерения, а абсолютная погрешность сразу берется равной инструментальной погрешности, т.е. половине цены деления линейки (или мензурки).
Гораздо чаще погрешность метода или погрешность оператора оказываются заметно больше инструментальной погрешности. В таких случаях значение измеренной физической величины каждый раз немного меняется, и для оценки истинного значения и абсолютной погрешности нужна серия измерений и вычисление средних значений.
Шаг 1. Проводим серию из \(N\) измерений, в каждом из которых получаем значение величины \(x_1,x_2,…,x_N\)
Шаг 2. Истинное значение величины принимаем равным среднему арифметическому всех измерений: $$ x_0=x_{cp}=\frac{x_1+x_2+...+x_N}{N} $$ Шаг 3. Находим абсолютные отклонения от истинного значения для каждого измерения: $$ \triangle_1=|x_0-x_1|,\ \ \triangle_2=|x_0-x_2|,\ \ ...,\ \ \triangle_N=|x_0-x_N| $$ Шаг 4. Находим среднее арифметическое всех абсолютных отклонений: $$ \triangle_{cp}=\frac{\triangle_1+\triangle_2+...+\triangle_N}{N} $$ Шаг 5. Сравниваем полученную величину \(\triangle_{cp}\) c инструментальной погрешностью прибора d (половина цены деления). Большую из этих двух величин принимаем за абсолютную погрешность: $$ \triangle x=max\left\{\triangle_{cp}; d\right\} $$ Шаг 6. Записываем результат серии измерений: \(x=x_0\pm\triangle x\).
Пример расчета истинного значения и погрешности для серии прямых измерений:
Пусть при измерении массы шарика с помощью рычажных весов мы получили в трех опытах следующие значения: 99,8 г; 101,2 г; 100,3 г.
Инструментальная погрешность весов d = 0,05 г.
Найдем истинное значение массы и абсолютную погрешность.
Составим расчетную таблицу:
| № опыта | 1 | 2 | 3 | Сумма |
| Масса, г | 99,8 | 101,2 | 100,3 | 301,3 |
| Абсолютное отклонение, г | 0,6 | 0,8 | 0,1 | 1,5 |
Сначала находим среднее значение всех измерений: \begin{gather*} m_0=\frac{99,8+101,2+100,3}{3}=\frac{301,3}{3}\approx 100,4\ \text{г} \end{gather*} Это среднее значение принимаем за истинное значение массы.
Затем считаем абсолютное отклонение каждого опыта как модуль разности \(m_0\) и измерения. \begin{gather*} \triangle_1=|100,4-99,8|=0,6\\ \triangle_2=|100,4-101,2|=0,8\\ \triangle_3=|100,4-100,3|=0,1 \end{gather*} Находим среднее абсолютное отклонение: \begin{gather*} \triangle_{cp}=\frac{0,6+0,8+0,1}{3}=\frac{1,5}{3}=0,5\ \text{(г)} \end{gather*} Мы видим, что полученное значение \(\triangle_{cp}\) больше инструментальной погрешности d.
Поэтому абсолютная погрешность измерения массы: \begin{gather*} \triangle m=max\left\{\triangle_{cp}; d\right\}=max\left\{0,5; 0,05\right\}\ \text{(г)} \end{gather*} Записываем результат: \begin{gather*} m=m_0\pm\triangle m\\ m=(100,4\pm 0,5)\ \text{(г)} \end{gather*} Относительная погрешность (с двумя значащими цифрами): \begin{gather*} \delta_m=\frac{0,5}{100,4}\cdot 100\text{%}\approx 0,050\text{%} \end{gather*}
п.6. Представление результатов эксперимента
Как найти результат прямого измерения, мы рассмотрели выше.
Результат косвенного измерения зависит от действий, которые производятся при подстановке в формулу величин, полученных с помощью прямых измерений.
Если \(a=a_0+\triangle a\) и \(b=b_0+\triangle b\) – результаты двух прямых измерений, то
- абсолютная погрешность их суммы равна сумме абсолютных погрешностей
- абсолютная погрешность их разности также равна сумме абсолютных погрешностей
Если \(a=a_0+\triangle a\) и \(b=b_0+\triangle b\) – результаты двух прямых измерений, с относительными погрешностями \(\delta_a=\frac{\triangle a}{a_0}\cdot 100\text{%}\) и \(\delta_b=\frac{\triangle b}{b_0}\cdot 100\text{%}\) соответственно, то:
- относительная погрешность их произведения равна сумме относительных погрешностей
- относительная погрешность их частного также равна сумме относительных погрешностей
Если \(a=a_0+\triangle a\) результат прямого измерения, с относительной погрешностью \(\delta_a=\frac{\triangle a}{a_0}\cdot 100\text{%}\), то:
- относительная погрешность квадрата \(a^2\) равна удвоенной относительной погрешности
- относительная погрешность куба \(a^3\) равна утроенной относительной погрешности
- относительная погрешность произвольной натуральной степени \(a^n\) равна
Вывод этих формул достаточно сложен, но если интересно, его можно найти в Главе 7 справочника по алгебре для 8 класса.
п.7. Задачи
Задача 1. Определите цену деления и объем налитой жидкости для каждой из мензурок. В каком случае измерение наиболее точно; наименее точно? 
Составим таблицу для расчета цены деления:
| № мензурки | a, мл | b, мл | n | \(\triangle=\frac{b-a}{n+1}\), мл |
| 1 | 20 | 40 | 4 | \(\frac{40-20}{4+1}=4\) |
| 2 | 100 | 200 | 4 | \(\frac{200-100}{4+1}=20\) |
| 3 | 15 | 30 | 4 | \(\frac{30-15}{4+1}=3\) |
| 4 | 200 | 400 | 4 | \(\frac{400-200}{4+1}=40\) |
Инструментальная точность мензурки равна половине цены деления.
Принимаем инструментальную точность за абсолютную погрешность и измеренное значение объема за истинное.
Составим таблицу для расчета относительной погрешности (оставляем две значащих цифры и округляем с избытком):
| № мензурки | Объем \(V_0\), мл | Абсолютная погрешность \(\triangle V=\frac{\triangle}{2}\), мл |
Относительная погрешность \(\delta_V=\frac{\triangle V}{V_0}\cdot 100\text{%}\) |
| 1 | 68 | 2 | 3,0% |
| 2 | 280 | 10 | 3,6% |
| 3 | 27 | 1,5 | 5,6% |
| 4 | 480 | 20 | 4,2% |
Наиболее точное измерение в 1-й мензурке, наименее точное – в 3-й мензурке.
Ответ:
Цена деления 4; 20; 3; 40 мл
Объем 68; 280; 27; 480 мл
Самое точное – 1-я мензурка; самое неточное – 3-я мензурка
Задача 2. В двух научных работах указаны два значения измерений одной и той же величины: $$ x_1=(4,0\pm 0,1)\ \text{м},\ \ x_2=(4,0\pm 0,03)\ \text{м} $$ Какое из этих измерений точней и почему?
Мерой точности является относительная погрешность измерений. Получаем: \begin{gather*} \delta_1=\frac{0,1}{4,0}\cdot 100\text{%}=2,5\text{%}\\ \delta_2=\frac{0,03}{4,0}\cdot 100\text{%}=0,75\text{%} \end{gather*} Относительная погрешность второго измерения меньше. Значит, второе измерение точней.
Ответ: \(\delta_2\lt \delta_1\), второе измерение точней.
Задача 3. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями 54 км/ч и 72 км/ч.
Цена деления спидометра первой машины 10 км/ч, второй машины – 1 км/ч.
Найдите скорость их сближения, абсолютную и относительную погрешность этой величины.
Абсолютная погрешность скорости каждой машины равна инструментальной, т.е. половине деления спидометра: $$ \triangle v_1=\frac{10}{2}=5\ (\text{км/ч}),\ \ \triangle v_2=\frac{1}{2}=0,5\ (\text{км/ч}) $$ Показания каждого из спидометров: $$ v_1=(54\pm 5)\ \text{км/ч},\ \ v_2=(72\pm 0,5)\ \text{км/ч} $$ Скорость сближения равна сумме скоростей: $$ v_0=v_{10}+v_{20},\ \ v_0=54+72=125\ \text{км/ч} $$ Для суммы абсолютная погрешность равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. $$ \triangle v=\triangle v_1+\triangle v_2,\ \ \triangle v=5+0,5=5,5\ \text{км/ч} $$ Скорость сближения с учетом погрешности равна: $$ v=(126,0\pm 5,5)\ \text{км/ч} $$ Относительная погрешность: $$ \delta_v=\frac{5,5}{126,0}\cdot 100\text{%}\approx 4,4\text{%} $$ Ответ: \(v=(126,0\pm 5,5)\ \text{км/ч},\ \ \delta_v\approx 4,4\text{%}\)
Задача 4. Измеренная длина столешницы равна 90,2 см, ширина 60,1 см. Измерения проводились с помощью линейки с ценой деления 0,1 см. Найдите площадь столешницы, абсолютную и относительную погрешность этой величины.
Инструментальная погрешность линейки \(d=\frac{0,1}{2}=0,05\ \text{см}\)
Результаты прямых измерений длины и ширины: $$ a=(90,20\pm 0,05)\ \text{см},\ \ b=(60,10\pm 0,05)\ \text{см} $$ Относительные погрешности (не забываем про правила округления): \begin{gather*} \delta_1=\frac{0,05}{90,20}\cdot 100\text{%}\approx 0,0554\text{%}\approx \uparrow 0,056\text{%}\\ \delta_2=\frac{0,05}{60,10}\cdot 100\text{%}\approx 0,0832\text{%}\approx \uparrow 0,084\text{%} \end{gather*} Площадь столешницы: $$ S=ab,\ \ S=90,2\cdot 60,1 = 5421,01\ \text{см}^2 $$ Для произведения относительная погрешность равна сумме относительных погрешностей слагаемых: $$ \delta_S=\delta_a+\delta_b=0,056\text{%}+0,084\text{%}=0,140\text{%}=0,14\text{%} $$ Абсолютная погрешность: \begin{gather*} \triangle S=S\cdot \delta_S=5421,01\cdot 0,0014=7,59\approx 7,6\ \text{см}^2\\ S=(5421,0\pm 7,6)\ \text{см}^2 \end{gather*} Ответ: \(S=(5421,0\pm 7,6)\ \text{см}^2,\ \ \delta_S\approx 0,14\text{%}\)
