Мощность

п.1. Определение мощности

При оценке эффективности работы обычно важна скорость её выполнения.

Например, лошадь и трактор вспашут одно и то же поле – совершат одну и ту же работу - за разное время; трактор справится в десятки раз быстрее лошади.

п.2. Единицы измерения мощности

В системе СИ (см. §2 данного справочника) работа измеряется в джоулях, время – в секундах. А для измерения мощности используется «ватт».

Для измерения мощности также используется множество внесистемных единиц, например: 1 ккал/ч – 1 килокалория в час (1 калория = 4,184 джоуля), 1 л.с. – 1 лошадиная сила (735,5 Вт), 1 эрг/с – 1 эрг в секунду (10-7 Вт) и др.

п.3. Связь мощности со скоростью при равномерном прямолинейном движении

При равномерном прямолинейном движении перемещение равно $$ s=vt $$

Если перемещение происходит в направлении действия силы, работа этой силы $$ A=Fs=F\cdot vt $$

Соответствующая мощность $$ N=\frac At=\frac{F\cdot vt}{t}=Fv $$

Эта формула дает возможность определить силу тяги при известной мощности двигателя и скорости движения.

Например, трактор с двигателем мощность 60 кВт двигается по шоссе со скоростью 20 м/с, а при работе в поле – со скоростью 6 м/с.

При движении по шоссе сила тяги двигателя $$ F_1=\frac Nv=\frac{60\cdot 10^3}{20}=3\cdot 10^3\ (\text{Н})=3\ (\text{кН}) $$

При работе в поле сила тяги двигателя $$ F_2=\frac Nv=\frac{60\cdot 10^3}{6}=10\cdot 10^3\ (\text{Н})=10\ (\text{кН}) $$

Это можно объяснить так: поскольку при равномерном движении сила тяги уравновешивает силу сопротивления движению, чем больше сила сопротивления, тем медленней будет двигаться машина с данной мощностью двигателя.

п.4. Задачи

Задача 1. Какую среднюю мощность развивает человек, поднимая ведро с водой массой 12 кг из колодца глубиной 20 м за 15 с?

Дано:
\(m=12\ \text{кг}\)
\(h=20\ \text{м}\)
\(t=15\ \text{с}\)
\(g\approx 10\ \text{м/с}^2\)
__________________
\(N-?\)

Сила, которую прикладывает человек, уравновешивает силу тяжести, действующую на ведро, и направлена вверх. Работа этой силы \begin{gather*} A=Fh=mgh. \end{gather*} Мощность за данное время \begin{gather*} N=\frac At=\frac{mgh}{t} \end{gather*} Получаем \begin{gather*} N=\frac{12\cdot 10\cdot 20}{15}=160\ (\text{Вт}) \end{gather*} Ответ: 160 Вт

Задача 2. Штангист поднимает штангу массой 200 кг на высоту 2 м за 0,4 с. Какую среднюю мощность при этом развивает спортсмен? Во сколько раз эта мощность превышает мощность подъема ведра из колодца в задаче 1?

Дано:
\(m=12\ \text{кг}\)
\(h=20\ \text{м}\)
\(t=15\ \text{с}\)
\(g\approx 10\ \text{м/с}^2\)
__________________
\(N-?\)

Аналогично с задачей 1, получаем \begin{gather*} N=\frac{mgh}{t}\\[6pt] N=\frac{200\cdot 10\cdot 2}{0,4}=100000\ (\text{Вт})=100\ (\text{кВт}) \end{gather*} По сравнению с мощностью подъема ведра из колодца $$ \frac{100000}{160}=625\ (\text{раз}) $$ Мощность штангиста больше в 625 раз.
Ответ: 100 кВт; в 625 раз больше

Задача 3. Сила тяги тепловоза равна 72 кН. Мощность двигателей 3 МВт. Сколько времени понадобится поезду, чтобы при равномерном движении преодолеть путь в 15 км? Ответ выразите в минутах.

Дано:
\(F=72\ \text{кН}=72\cdot 10^3\ \text{Н}\)
\(N=3\ \text{МВт}=3\cdot 10^6\ \text{Вт}\)
\(s=15\ \text{км}=15\cdot 10^3\ \text{м}\)
__________________
\(t-?\)

Путь при равномерном движении \begin{gather*} s=vt. \end{gather*} Работа силы тяги \begin{gather*} A=Fs=F\cdot vt=Nt \end{gather*} Мощность \begin{gather*} N=Fv. \end{gather*} Откуда скорость движения \begin{gather*} v=\frac NF. \end{gather*} Необходимое время \begin{gather*} t=\frac sv=s:\frac NF=s\cdot \frac FN \end{gather*} Получаем: \begin{gather*} t=15\cdot 10^3\cdot\frac{72\cdot 10^3}{3\cdot 10^6}=360\ (\text{с})=6\ (\text{мин}) \end{gather*} Ответ: 6 мин

Задача 4. Высота плотины гидроэлектростанции 12 м, мощность водяного потока 3 МВт. Найдите объем воды, падающий с плотины за 1 мин.

Дано:
\(h=12\ \text{м}\)
\(N=3\ \text{МВт}=3\cdot 10^6\ \text{Вт}\)
\(\rho=1000\ \text{кг/м}^3\)
\(t=1\ \text{мин}=60\ \text{с}\)
__________________
\(V-?\)

Вода при падении с высоты совершает работу за счет силы тяжести: \begin{gather*} A=mgh \end{gather*} С другой стороны \(A=Nt\). Получаем уравнение \begin{gather*} mgh=Nt\\[7pt] \rho Vgh=Nt \end{gather*} Объем воды, падающей за время \(t\) \begin{gather*} V=\frac{Nt}{\rho gh} \end{gather*} Получаем \begin{gather*} V=\frac{3\cdot 10^6\cdot 60}{10^3\cdot 10\cdot 12}=1500\ (\text{м})^3 \end{gather*} Ответ: 1500 м³

Задача 5*. Автомобиль-тягач с двигателем мощностью \(N_1=30\ \text{кВт}\) при буксировке груза на прицепе развивает скорость \(v_1=15\ \text{м/с}\). Другой автомобиль с двигателем мощностью \(N_2=20\ \text{кВт}\) при тех же условиях развивает скорость \(v_2=10\ \text{м/с}\).
С какой скоростью будут двигаться автомобили при буксировке того же груза, если их соединить тросом и они будут тянуть его одновременно?

Дано:
\(N_1=30\ \text{кВт}=3\cdot 10^4\ \text{Вт}\)
\(v_1=15\ \text{м/с}\)
\(N_2=20\ \text{кВт}=2\cdot 10^4\ \text{Вт}\)
\(v_2=10\ \text{м/с}\)
__________________
\(v-?\)

При движении с постоянной скоростью мощность \begin{gather*} N=Fv. \end{gather*} Откуда сила тяги \begin{gather*} F=\frac Nv. \end{gather*} При соединении автомобилей силы тяги будут складываться: \begin{gather*} F=F_1+F_2=\frac{N_1}{v_1}+\frac{N_2}{v_2} \end{gather*} Суммарная мощность $$ N=N_1+N_2=Fv. $$ Получаем \begin{gather*} F=\frac Nv=\frac{N_1+N_2}{v}=\frac{N_1}{v_1}+\frac{N_2}{v_2} \end{gather*} Скорость \begin{gather*} v=\frac{N_1+N_2}{\frac{N_1}{v_1}+\frac{N_2}{v_2}} \end{gather*} Получаем \begin{gather*} v=\frac{3\cdot 10^4+2\cdot 10^4}{\frac{3\cdot 10^4}{15}+\frac{2\cdot 10^4}{10}}=\frac{5\cdot 10^4}{4\cdot 10^3}=\frac{50}{4}=12,5\ (\text{м/с}) \end{gather*} Ответ: 12,5 м/с