Момент силы. Условия равновесия рычага

п.1. Устройство и виды рычагов

Рычаг – это твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной опоры. Рычаг состоит из перекладины и опоры. Точка опоры делит перекладину рычага на два плеча рычага. Назначение рычага – получить выигрыш в силе или расстоянии. Если к плечу рычага достаточно приложить меньшую силу, то переместить конец рычага придётся на бóльшее расстояние: выигрыш в силе оборачивается проигрышем в расстоянии. И наоборот, если удаётся сократить перемещение конца рычага, придётся приложить бóльшую силу: выигрыш в расстоянии оборачивается проигрышем в силе.

В зависимости от взаимного расположения точки опоры и нагрузки различают три вида рычагов.

Рычаг 1-го рода Опора располагается между точками приложения сил Даёт выигрыш в силе	Рычаг 2-го рода Точки приложения сил располагаются по одну сторону от опоры, нагрузка приложена между точкой опоры и точкой приложения силы Даёт выигрыш в силе
Рычаг 3-го рода Точки приложения сил располагаются по одну сторону от опоры, усилие приложено между точкой опоры и нагрузкой. Проигрыш в силе – выигрыш в расстоянии

п.2. Момент силы

Чтобы найти плечо силы, нужно из точки опоры провести перпендикуляр на линию действия силы.

На рисунке \(l_1\) – плечо силы \(F_1,\ l_2\) - плечо силы \(F_2\).

Силы вращают рычаг вокруг точки опоры – по часовой или против часовой стрелки.

Ось вращения проходит через точку опоры перпендикулярно плоскости вращения.

На рисунке сила \(F_1\) вращает рычаг против часовой стрелки, а сила \(F_2\) - по часовой стрелке.

Момент силы определяется не для всего тела, а для некоторой его точки, удалённой от центра (оси) вращения. Эта величина имеет смысл только для вращающихся тел.

п.3. Правило моментов для двух сил

$$ F_1l_1=F_2l_2 $$

п.4. Правило моментов для нескольких сил

Например:

Силы \(F_1,\ F_2,\ F_3\) вращают рычаг против часовой стрелки, а сила \(F_4\) - по часовой стрелке. Поэтому: $$ F_1l_1+F_2l_2+F_3l_3=F_4l_4 $$

п.5. Применение рычагов в быту и технике

Рычаги первого рода

Весы Предмет, вес которого нужно измерить, — это нагрузка, а гиря создает усилие. Они равны, так как находятся на одном расстоянии от точки опоры.	Рычажные весы Точка опоры смещена относительно центра. Грузило передвигается по основанию, пока не уравновесит взвешиваемый объект.
Гвоздодёр Усилие ручки увеличивается плечом и вытаскивает гвоздь. Нагрузкой здесь является сопротивление гвоздя.	Ручная тележка Небольшое усилие, прикладываемое к ручкам тележки, позволяет поднимать тяжелый груз.
Плоскогубцы Составной рычаг, пара простых рычагов, соединенных в точке опоры. Нагрузка — сопротивление предмета захвату инструментом.	Ножницы Составной рычаг первого рода, развивают мощное режущее действие очень близко к месту крепления. Нагрузка — сопротивление материала лезвиям.

Рычаги второго рода

Тачка Небольшое усилие, приложенное к ручкам тачки, поднимает тяжелый груз, расположенный ближе к колесу.

Открывалка Давление на ручку преодолевает сопротивление крышки бутылки.

Щипцы для орехов Составной рычаг второго рода. Нагрузка — сопротивление скорлупы.

Рычаги третьего рода

Молоток Точка опоры — плечевой сустав (рука — продолжение рукоятки), а нагрузка — сопротивление дерева. Во время удара по гвоздю головка молотка двигается быстрее, чем рука с рукояткой.	Удочка Одна рука прикладывает усилие для движения удочки, вторая становится точкой опоры. Нагрузка — это вес рыбы, который поднимается на большую высоту легким движением руки.
Пинцет Составной рычаг третьего рода. На кончиках пинцета усилие меньше, чем со стороны пальцев, так что можно захватывать хрупкие предметы. Нагрузка — сопротивление предмета.

п.6. Задачи

Задача 1. Для каждого положения тела укажите плечо силы.

При необходимости достраиваем линию действия силы и опускаем на неё перпендикуляр из точки опоры. Этот перпендикуляр и есть искомое плечо.

Задача 2. Грузы уравновешены на рычаге. Отношение плеч рычага 1:5. Масса большего груза 2,5 кг. Найдите массу меньшего груза.

Дано:
\(\frac{l_1}{l_2}=\frac 15\)
\(m_1=2,5\ \text{кг}\)
__________________
\(m_2-?\)


По правилу моментов \begin{gather*} F_1l_1=F_2l_2 \end{gather*} На обоих концах рычага действуют силы тяжести: $$ F_1=m_1g,\ \ F_2=m_2g $$ Получаем: \begin{gather*} m_1gl_1=m_2gl_2\\[7pt] m_2=\frac{m_1l_1}{l_2} \end{gather*} Подставляем: $$ m_2=2,5\cdot \frac 15=0,5\ (\text{кг}) $$ Ответ: 0,5 кг

Задача 3. На концах рычага действуют силы 15 Н и 60 Н, направленные вниз. Рычаг находится в равновесии. Расстояние между точками приложения сил 1 м. Где расположена точка опоры?

Дано:
\(F_1=15\ \text{Н}\)
\(F_2=60\ \text{Н}\)
\(l_1+l_2=1\ \text{м}\)
__________________
\(l_1,\ l_2-?\)


По правилу моментов \begin{gather*} F_1l_1=F_2l_2. \end{gather*} Получаем систему уравнений \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{l l} 15l_1=60l_2 \\ l_1+l_2=1 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l l} l_1=4l_2 \\ l_1+l_2=1 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l l} l_1=4l_2 \\ 4l_2+l_2=1 \end{array} \right. \Rightarrow \\[7pt] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l l} l_1=4l_2 \\ 5l_2=1 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l l} l_1=0,8 \\ l_2=0,2 \end{array} \right. \end{gather*} Ответ: 0,8 м от точки приложения первой силы и 0,2 м от точки приложения второй силы.

Задача 4*. К балке, расположенной на двух опорах А и В подвешен груз массой 500 кг. Расстояние от точки подвеса груза к одному из концов балки в 4 раза больше, чем к другому. С какой силой балка давит на каждую из опор? Примите \(g\approx 10\ \text{м/с}^2\). Ответ запишите в килоньютонах.

Дано:
\(m=500\ \text{кг}\)
\(g\approx 10\ \text{м/с}^2\)
\(OB=4OA\)
__________________
\(F_A,\ F_B-?\)


Сила тяжести \(F_{\text{т}}=mg\), направленная вниз, уравновешивается силами реакции опор \(F_A\) и \(F_B\), направленными вверх. \begin{gather*} F_A+F_B=mg \end{gather*} По правилу моментов при равновесии \begin{gather*} F_A\cdot OA=F_B\cdot OB=F_B\cdot 4OA\Rightarrow F_A=4F_B \\[7pt] F_A+F_B=5F_B=mg\Rightarrow F_B=\frac{mg}{5} \end{gather*} Получаем: \begin{gather*} F_B=\frac{500\cdot 10}{5}=1000\ \text{Н}=1\ \text{кН},\ \ F_A=4\cdot 100=4000\ \text{Н}=4\ \text{кН} \end{gather*} Ответ: 4 кН и 1 кН

п.7. Лабораторная работа №9. Проверка условия равновесия рычага

Цель работы
Исследовать условия равновесия рычага под действием двух параллельных сил.

Теоретические сведения

Рычаг – это твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной опоры.

В работе используется рычаг 1-го рода, в котором опора располагается между точками приложения сил.

Плечо силы – это кратчайшее расстояние между точкой опоры и прямой, вдоль которой сила действует на рычаг. Чтобы найти плечо силы, нужно из точки опоры провести перпендикуляр на линию действия силы.

Момент силы – это произведение силы, вращающей тело, на её плечо: \(M=Fl\).

Правило моментов для двух сил
Рычаг находится в равновесии под действием двух сил, если момент силы, вращающей его по ходу часовой стрелки, равен моменту силы, вращающей его против хода часовой стрелки.

\begin{gather*} M_1=M_2\\[7pt] F_1l_1=F_2l_2 \end{gather*}

В работе используется лабораторный рычаг с отверстиями диаметром 4 мм, находящимися на расстоянии 5 см друг от друга. Отверстий нечетное количество; центральное отверстие (центр тяжести) используется для подвеса рычага на штативе в положении равновесия. Абсолютную погрешность определения плеча на данном рычаге принимаем равной половине диаметра отверстия $$ \Delta l=\frac D2=2\ \text{мм} $$

Для измерения веса груза используется динамометр с ценой деления $$ d=0,1\ \text{Н}. $$

Абсолютная погрешность определения веса $$ \Delta_F=\frac d2=0,05\ \text{Н}. $$

Относительные погрешности измерений: $$ \delta_l=\frac{\Delta_l}{l},\ \ \delta_F=\frac{\Delta_F}{F},\ \ \delta_M=\delta_l+\delta_F $$

Абсолютная погрешность определения момента силы $$ \Delta_M=M\cdot \delta_M $$

Погрешности определения отношений сил и плечей: \begin{gather*} r_F=\frac{F_1}{F_2},\ \ \delta_{rF}=\frac{\Delta_F}{F_1}+\frac{\Delta_F}{F_2},\ \ \Delta_{rF}=\frac{F_1}{F_2}\cdot \delta_{rF}\\[7pt] r_l=\frac{l_2}{l_1},\ \ \delta_{rF}=\delta_{rl}\frac{\Delta_l}{l_1}+\frac{\Delta_l}{l_2},\ \ \Delta_{rl}=\frac{l_2}{l_1}\cdot \delta_{rl} \end{gather*}

Приборы и материалы
Лабораторный рычаг, штатив, стержень, динамометр, набор грузов.

Ход работы

1. Закрепите стержень в штативе, наденьте на него рычаг. Если стержень проходит через центральное отверстие рычага, он находится в равновесии.
2. Подвесьте три груза на динамометре, запишите их вес \(F_1\).
3. Подвесьте грузы слева от оси вращения рычага на расстоянии 5 см.
4. С помощью динамометра определите, какую силу нужно приложить на расстоянии 15 см справа от оси вращения, чтобы удерживать рычаг в равновесии.
5. Как направлены в этом случае силы, действующие на рычаг? Запишите длину плеч этих сил.
6. Найдите моменты сил \(M_1\) и \(M_2\), их относительные и абсолютные погрешности.
7. Вычислите отношение сил \(\frac{F_1}{F_2}\) и плеч \(\frac{l_2}{l_1}\) для этого случая, погрешности их определения.
8. Сделайте выводы.

Результаты измерений и вычислений

Погрешности прямых измерений: $$ \Delta_l=2\ \text{мм}=0,2\ \text{см},\ \ \Delta_F=0,05\ \text{Н} $$ Найдем моменты сил и погрешности вычислений: \begin{gather*} M_1=F_1\cdot l_1=2,9\cdot 5=14,5\ (\text{Н}\cdot \text{м})\\[7pt] \delta_{M1}=\frac{\Delta_l}{l_1}+\frac{\Delta_F}{F_1}=\frac{0,2}{5}+\frac{0,05}{2,9}\approx 0,04+0,017=0,057=5,7\text{%} \\[7pt] \Delta_{M1}=M_1\cdot \delta_{M1}=14,5\cdot 0,057\approx 0,8\ (\text{Н}\cdot \text{м})\\[7pt] M_1=(14,5\pm 0,8)\ \text{Н}\cdot \text{м}\\[7pt] \\[7pt] M_2=F_2\cdot l_2=1,0\cdot 15=15,0\ (\text{Н}\cdot \text{м})\\[7pt] \delta_{M2}=\frac{\Delta_l}{l_2}+\frac{\Delta_F}{F_2}=\frac{0,2}{15}+\frac{0,05}{1,0}\approx 0,013+0,05=0,063=6,3 \text{%} \\[7pt] \Delta_{M2}=M_2\cdot \delta_{M2}=15,0\cdot 0,063\approx 0,9\ (\text{Н}\cdot \text{м})\\[7pt] M_2=(15,0\pm 0,9)\ \text{Н}\cdot \text{м} \end{gather*} Таким образом, с учетом вычисленных погрешностей: $$ M_1=M_2 $$

Погрешность вычислений для \(\frac{F_1}{F_2}\) \begin{gather*} \delta_{rF}=\frac{\Delta_F}{F_1}+\frac{\Delta_F}{F_2}=\frac{0,05}{2,9}+\frac{0,05}{1,0}\approx 0,017+0,05=0,067=6,7\text{%}\\[7pt] \Delta_{rF}=\frac{F_1}{F_2}\cdot \delta_{rF}=2,9\cdot 0,067\approx 0,2\\[7pt] \frac{F_1}{F_2}=2,9\pm 0,2 \end{gather*}

Погрешность вычислений для \(\frac{l_2}{l_1}\) \begin{gather*} \delta_{rl}=\frac{\Delta_l}{l_1}+\frac{\Delta_l}{l_2}=\frac{0,2}{5}+\frac{0,2}{15}\approx 0,04+0,013=0,053=5,3\text{%}\\[7pt] \Delta_{rl}=\frac{l_2}{l_1}\cdot \delta_{rl}=3,0\cdot 0,053\approx 0,2\\[7pt] \frac{l_2}{l_1}=3,0\pm 0,2 \end{gather*} Таким образом, с учетом вычисленных погрешностей: $$ \frac{F_2}{F_2}=\frac{l_2}{l_1} $$

Выводы
На основании проделанной работы можно сделать следующие выводы.

Моменты сил, приложенных слева и справа от оси вращения рычага, равны $$ M_1=(14,5\pm 0,8)\ \text{Н}\cdot \text{м},\ \ M_2=(15,0\pm 0,9)\ \text{Н}\cdot \text{м} $$ Таким образом, с учетом вычисленных погрешностей, \(M_1=M_2\) - правило моментов выполняется.

Отношения сил и плечей равны \begin{gather*} \frac{F_1}{F_2}=2,9\pm 0,2,\ \ \frac{l_2}{l_1}=3,0\pm 0,2 \end{gather*}

Таким образом, с учетом вычисленных погрешностей \(\frac{F_1}{F_2}=\frac{l_2}{l_1}\) - правило отношений выполняется.

Эксперименты подтвердили условие равновесия рычага.