Механическая работа

п.1. Зависимость механической работы от величины приложенной силы

Приложенная к телу сила приводит его в движение и сообщает ему ускорение. В результате действия силы тело перемещается. В таком случае говорят, что сила совершила работу по перемещению тела.

Допустим, мы перемещаем груз (одну коробку) на расстояние \(s_1=10\ \text{м}\) по горизонтальной плоскости, действуя на него силой \(F_1=100\ \text{Н}\).

Пусть масса груза увеличилась вдвое (мы положили вторую коробку сверху на первую). Теперь для перемещения необходима сила \(F_2=200\ \text{Н}\). При перемещении на то же расстояние \(s_2=s_1=10\ \text{м}\) мы совершим в два раза большую работу. По существу, во втором случае мы перемещаем за один раз две коробки, что равносильно перемещению по одной коробке за два раза.

Следовательно, чем больше приложенная сила, тем большую работу она совершает: работа прямо пропорциональна величине приложенной силы.

п.2. Зависимость механической работы от величины перемещения

Теперь рассмотрим зависимость работы от величины перемещения.

Пусть вначале мы перемещаем груз (одну коробку) на расстояние \(s_1=5\ \text{м}\) по горизонтальной плоскости, действуя на него силой \(F_1=100\ \text{Н}\).

А затем перемещаем тот же груз с той же силой на расстояние \(s_2=10\ \text{м}\).

Во втором случае мы совершим вдвое большую работу.

Чем больше величина перемещения под действием силы, тем большую работу совершает эта сила: работа прямо пропорциональна перемещению в направлении действующей силы.

Уточнение про перемещение в направлении действующей силы очень важно.

И сила и перемещение являются векторными величинами: направление для их описания так же существенно, как и величина.

Работа является величиной скалярной. От взаимного направления силы и перемещения зависит не только величина, но и знак работы: она может быть положительной, равной нулю или отрицательной.

п.3. Определение механической работы

В этом курсе мы ограничимся тремя случаями взаимной ориентации векторов силы и перемещения:

• Если направления векторов силы и перемещения совпадают, то работа положительна и равна произведению модуля силы на модуль перемещения: $$ A=Fs,\ \ \overrightarrow{F}\uparrow\uparrow\overrightarrow{s} $$
• Если направления векторов силы и перемещения противоположны, то работа отрицательна и равна произведению модуля силы на модуль перемещения, взятому со знаком «минус»: $$ A=-Fs,\ \ \overrightarrow{F}\uparrow\downarrow\overrightarrow{s} $$
• Если направления векторов силы и перемещения перпендикулярны, то работа равна 0. $$ A=0,\ \ \overrightarrow{F}\perp\overrightarrow{s} $$

Остальные случаи взаимной ориентации векторов будут рассмотрены в курсе физики для 9 класса.

Пример определения работы для трех базовых случаев взаимного расположения векторов силы и перемещения

Рассмотрим перемещение деревянного бруска по поверхности стола.

Брусок перемещается в направлении приложенной силы тяги \(\overrightarrow{F}\). Направления перемещения и силы тяги совпадают, эта сила совершает положительную работу: $$ A_\text{тяги}=Fs,\ \ \overrightarrow{F}\uparrow\uparrow\overrightarrow{s} $$

Сила трения направлена противоположно перемещению; она совершает отрицательную работу: $$ A_\text{тр}=-Fs,\ \ \overrightarrow{F}_\text{тр}\uparrow\downarrow\overrightarrow{s} $$

Сила тяжести направлена перпендикулярно перемещению; её работа равна нулю: $$ A_\text{тяж}=0,\ \ m\overrightarrow{g}\perp\overrightarrow{s} $$

п.4. Единицы измерения механической работы

В системе СИ (см. §2 данного справочника) сила измеряется в ньютонах, перемещение – в метрах. А для измерения работы используется «джоуль».

п.5. Задачи

Задача 1. Груз весом 50 Н равномерно подняли, совершив работу 400 Дж.
На какую высоту подняли груз?

Дано:
\(P=r0\ \text{Н}\)
\(A=400\ \text{Дж}\)
__________________
\(h-?\)


Груз перемещается равномерно, следовательно, равнодействующая веса и силы тяги равна нулю \begin{gather*} \overrightarrow{P}+\overrightarrow{F}=0 \Rightarrow \overrightarrow{F}=-\overrightarrow{P} \end{gather*} Cила тяги равна весу по величине и противоположна по направлению. \begin{gather*} F=P \end{gather*} Сила тяги и перемещение направлены в одну сторону – вверх. Работа силы тяги \begin{gather*} A=Fh \end{gather*} Высота равна \begin{gather*} h=\frac AF=\frac AP \end{gather*} Получаем \begin{gather*} h=\frac{400}{50}=8\ (\text{м}) \end{gather*} Ответ: 8 м

Задача 2. С плотины гидроэлектростанции каждую секунду падает 1800 м³ воды. Какую работу совершает каждую секунду действующая на эту воду сила тяжести, если высота плотины 25 м?

Дано:
\(V=1800\ \text{м}^3\)
\(h=25\ \text{м}\)
\(\rho=1000\ \text{кг/м}^3\)
\(g\approx 10\ \text{м/с}^2\)
__________________
\(A-?\)

Масса падающей воды \begin{gather*} m=\rho V. \end{gather*} Сила тяжести $$ F=mg=\rho Vg. $$ Работа силы тяжести \begin{gather*} A=Fh=\rho V gh. \end{gather*} Получаем: $$ A=1000\cdot 1800\cdot 10\cdot 25=450\cdot 10^6\ (\text{Дж})=450\ (\text{МДж}) $$ Ответ: 450 МДж

Задача 3. Подъемный кран в течение 50 секунд равномерно поднимал груз массой 2 т, совершив при этом работу 360 кДж. С какой скоростью двигался груз?

Дано:
\(t=50\ \text{с}\)
\(m=2\ \text{т}=2000\ \text{кг}\)
\(A=360\ \text{кДж}=3,6\cdot 10^5\ \text{Дж}\)
\(g\approx 10\ \text{м/с}^2\)
__________________
\(v-?\)

Груз перемещается равномерно, следовательно, равнодействующая веса и силы тяги равна нулю \begin{gather*} \overrightarrow{P}+\overrightarrow{F}=0 \Rightarrow \overrightarrow{F}=-\overrightarrow{P} \end{gather*} Cила тяги равна весу по величине и противоположна по направлению: \begin{gather*} F=P=mg \end{gather*} Сила тяги и перемещение направлены в одну сторону – вверх. Работа силы тяги: \begin{gather*} A=Fh \end{gather*} Высота равна: \begin{gather*} h=\frac AF=\frac AP=\frac{A}{mg} \end{gather*} Подъем происходит равномерно, скорость подъема: \begin{gather*} v=\frac ht=\frac{A}{mgt} \end{gather*} Получаем: \begin{gather*} v=\frac{3,6\cdot 10^5}{2\cdot 10^3\cdot 10\cdot 50}=0,36\ (\text{м/с}) \end{gather*} Ответ: 0,36 м/с

Задача 4*. Со дна озера на поверхность воды подняли камень объемом 8 дм³.
Глубина озера 10 м. Определите плотность камня, если при его подъеме лебедка совершила работу 1200 Дж. Сопротивлением воды при подъеме можно пренебречь.

Дано:
\(V=8\ \text{дм}^3=8\cdot 10^{-3}\ \text{м}^3\)
\(h=10\ \text{м}\)
\(\rho_\text{в}=1000\ \text{кг/м}^3\)
\(A=1200\ \text{Дж}\)
__________________
\(\rho_\text{к}-?\)


На камень действуют три силы: сила тяги \(\overrightarrow{F}\) сила Архимеда \(\overrightarrow{F}_a\), сила тяжести \(m\overrightarrow{g}\).
Сила тяги и сила Архимеда в сумме уравновешивают силу тяжести: \begin{gather*} F+F_a=mg \end{gather*} Сила Архимеда: \begin{gather*} F_a=\rho_\text{в}Vg \end{gather*} Работа силы тяги \begin{gather*} A=Fh \end{gather*} Сила тяги: \begin{gather*} F=\frac Ah \end{gather*} Масса камня \begin{gather*} m=\rho_{\text{к}}V \end{gather*} Подставляем: \begin{gather*} \frac Ah+\rho_{\text{в}}Vg=\rho_{\text{к}}Vg \end{gather*} Плотность камня: \begin{gather*} \rho_{\text{к}}=\frac{A}{hVg}+\rho_{\text{в}} \end{gather*} Подставляем: \begin{gather*} \rho_{\text{к}}=\frac{1200}{10\cdot 8\cdot 10^{-3}\cdot 10}+1000=2500\ \text{кг/м}^3 \end{gather*} Ответ: 2500 кг/м³

Задача 5. Лошадь везет сани массой 250 кг с постоянной скоростью 2 м/с.
Найдите коэффициент трения между полозьями и дорогой, если за 1 ч работа по перемещению саней составила 3,3 МДж?

Дано:
\(m=250\ \text{кг}\)
\(v=2\ \text{м/с}\)
\(t=1\ \text{ч}=3600\ \text{с}\)
\(A=3,6\cdot 10^6\ \text{Дж}\)
__________________
\(\mu-?\)


На сани действуют четыре силы: по вертикали – сила тяжести \(mg\) и сила реакции опоры \(N\), по горизонтали – сила тяги \(F\) и сила трения \(F_\text{тр}\), причем \begin{gather*} N=mg,\ \ F=F_\text{тр} \end{gather*} Работа силы тяги \begin{gather*} A=Fs=F\cdot vt\Rightarrow F=\frac{A}{vt} \end{gather*} Сила трения \begin{gather*} F_\text{тр}=\mu N=\mu mg \end{gather*} Получаем \begin{gather*} \frac{A}{Vt}=\mu mg\Rightarrow \mu=\frac{A}{vt\cdot mg} \end{gather*} Подставляем \begin{gather*} \mu=\frac{3,6\cdot 10^6}{2\cdot 3600\cdot 250\cdot 10}=0,2 \end{gather*} Ответ: 0,2

Задача 6*. Какую работу совершает сила давления газов при выталкивании ядра из пушки, если длина ствола 1,6 м, радиус ядра 10 см, а среднее давление в стволе во время выстрела в 2000 раз превышает атмосферное давление? Ответ округлите до десятых долей мегаджоуля.

Дано:
\(s=1,6\ \text{м}\)
\(R=10\ \text{см}=0,1\ \text{м}\)
\(p=2000p_0\)
\(p_0=101300\ \text{Па}\)
__________________
\(A-?\)


Сила давления газов равна \begin{gather*} F=pS, \end{gather*} где \(S\) - площадь поперечного сечения ядра \(S=\pi R^2\).
Работа газов \begin{gather*} A=Fs=p\cdot \pi R^2\cdot s \end{gather*} Получаем \begin{gather*} A=2000\cdot 101300\cdot \pi\cdot 0,1^2\cdot 1,6\approx 10183786\ \text{Дж}\approx 10,2\ \text{МДж} \end{gather*} Ответ: ≈10,2 МДж