Механическая энергия и ее виды

п.1. Два вида механической энергии

Механическое состояние тела характеризуется его координатой в некоторой системе отсчета и скоростью.

Соответственно, энергия, связанная с изменением координаты – падением мяча, подъемом груза, сжатием газа – называется потенциальной энергией. А энергия, связанная с изменением скорости – ускорением, торможением, изменение направления движения – называется кинетической энергией тела.

Потенциальной энергией обладает груз, поднятый над поверхностью Земли. При падении, действующая на груз сила тяжести совершит работу.

Потенциальной энергией также обладает растянутая или сжатая пружина. При возвращении в недеформированное состояние, действующая на пружину сила упругости совершит работу.

Примеры тел, обладающих потенциальной энергией

Падающее тело	Сжатая пружина	Натянутая тетива лука

Кинетической энергией обладает любое движущееся тело.

Чем больше скорость тела, тем больше его кинетическая энергия.

Примеры движения тел, обладающих кинетической энергией

Автомобиль едет	Рыба плывет	Самолет летит

п.2. Единицы измерения энергии

Когда тело совершает работу, его энергия уменьшается на величину, численно равную совершенной работе. Поэтому единица измерения энергии в СИ совпадает с единицей измерения работы.

Существует также множество внесистемных единиц для измерения энергии, например: эрг (1 эрг=10^-7 Дж), калория (1 кал=4,1868 Дж), киловатт-час (1 кВт·ч=3,6·10⁵ Дж), электрон-вольт (1 эВ=1,6·10^-19 Дж) и др.

п.3. Теорема о кинетической энергии

Как известно, при равноускоренном движении перемещение s можно выразить формулой $$ s=\frac{v^2_2-v^2_1}{2a} $$ (см. Задача 3 §11 данного справочника).

Тогда работа силы, направление которой совпадает с направлением перемещения, равна $$ A=Fs=ma\cdot \frac{v^2_2-v^2_1}{2a}=\frac{mv^2_2}{2}-\frac{mv^2_1}{2} $$

Введем величину $$ E_k=\frac{mv^2}{2} $$ как выражение для кинетической энергии.

Тогда $$ A=\frac{mv^2_2}{2}-\frac{mv^2_1}{2}=E_{k2}-E_{k1}=\Delta E_k $$

Теорема о кинетической энергии носит общий характер в механике и справедлива:

1) при действии нескольких сил на тело (тогда рассматривается работа равнодействующей всех сил);

2) при действии переменной силы;

3) при действии силы, не совпадающей по направлению с перемещением;

4) для любых по своей природе сил – упругости, трения, тяжести и т.п.

п.4. Понятие консервативных сил

Потенциальная энергия определяется взаимных положением тел (например, высотой над поверхностью Земли). Понятие потенциальной энергии можно ввести только для так называемых консервативных сил.

Работа консервативной силы по перемещению тела из точки K в точку M по любому из трех путей одинакова, т.к. не зависит от пути, а зависит только от координат K и M.

Если под действием консервативной силы тело начинает движение из точки K, перемещается по замкнутой траектории и возвращается в точку K, работа по перемещению тела равна 0

Свойством консервативности обладает сила тяжести и сила упругости. Для них можно ввести понятие потенциальной энергии.

Сила трения не обладает свойством консервативности – она является диссипативной силой (см. дальше §38 данного справочника). Работа силы трения зависит от пройденного пути. Поэтому для силы трения нельзя ввести понятие потенциальной энергии.

п.5. Потенциальная энергия и работа в поле силы тяжести

Потенциальная энергия зависит от выбора системы отсчета и точки отсчета (для определения высоты \(h\)). Физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а её изменение. Если тело падает с высоты \(h_1\) на высоту \(h_2\ (h_1\gt h_2)\), сила тяжести совершает работу: $$ A=mg\Delta h=mg(h_1-h_2)=-mg(h_2-h_1)=-(E_{p2}-E_{p1}) $$ Работа силы тяжести при падении тела с высоты \(h\) на нулевой уровень \((h_1=h,\ h_2=0):\ A=mgh\). Работа положительна, т.к. направление силы тяжести (вниз) и перемещения (вниз) совпадают. Работа силы тяжести при подъеме тела с нулевого уровня на высоту \(h\ (h_1=0,\ h_2=h):\ A=-mgh\). Работа отрицательна, т.к. направление силы тяжести (вниз) и перемещения (вверх) противоположны.

п.6. Потенциальная энергия упруго деформированного тела и работа силы упругости

Потенциальная энергия зависит от выбора системы отсчета и точки отсчета (для определения деформации \(x\)). Физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а её изменение. Если из начального состояния с деформацией \(x_1\), пружина переходит в состояние с деформацией \(x_2\), работа силы упругости по изменению деформации: $$ A_\text{упр}=-(E_{p2}-E_{p1})=-\left(\frac{kx^2_2}{2}-\frac{kx^2_1}{2}\right) $$ Работа по возвращению пружины в недеформированное состояние: $$ A_\text{упр}=-\frac{kx^2}{2} $$

п.7. Задачи

Задача 1. Как изменится кинетическая энергия автомобиля при увеличении его скорости в три раза?

Дано:
\(v_2=3v_1\)
__________________
\(\frac{E_{k2}}{E_{k_1}}-?\)

Кинетическая энергия \begin{gather*} E_k=\frac{mv^2}{2} \end{gather*} Отношение кинетических энергий \begin{gather*} \frac{E_{k2}}{E_{k_1}}=\frac{mv^2_2}{2}:\frac{mv^2_1}{2}=\frac{mv^2_2}{2}\cdot \frac{2}{mv^2_1}=\frac{v^2_2}{v^2_1}=\left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2 \end{gather*} Получаем \begin{gather*} \frac{E_{k2}}{E_{k_1}}=3^2=9 \end{gather*} Ответ: увеличится в 9 раз

Задача 2. Как изменится потенциальная энергия человека массой 80 кг при подъеме на воздушном шаре на высоту 300 м? Чему равна работа силы тяжести при подъеме?

Дано:
\(h=300\ \text{м}\)
\(m=80\ \text{кг}\)
\(g\approx 10\ \text{м/с}^2\)
__________________
\(\Delta E_p-?,\ A-?\)

Потенциальная энергия на поверхности Земли: \begin{gather*} E_{p1}=0 \end{gather*} Потенциальная энергия на высоте \(h\): $$ E_{p2}=mgh $$ Изменение потенциальной энергии: \begin{gather*} \Delta E_p=E_{p2}-E_{p1}=mgh-0=mgh \end{gather*} Работа силы тяжести: \begin{gather*} A=-\Delta E_p=-mgh \end{gather*} Получаем: \begin{gather*} \Delta E_p=80\cdot 10\cdot 300=240000\ (\text{Дж})=240\ (\text{кДж})\\[7pt] A=-\Delta E_p=-240\ (\text{кДж}) \end{gather*} Ответ: 240 кДж; -240 кДж

Задача 3. Автомобиль массой 1700 кг разгоняется из состояния покоя до скорости 108 км/ч за 6 с. Чему равна полезная мощность двигателя автомобиля, которая затрачивается на увеличение кинетической энергии? Ответ выразите в ваттах, киловаттах и лошадиных силах.

Дано:
\(m=1700\ \text{кг}\)
\(v_0=0\ \text{м/с}\)
\(v=108\frac{\text{км}}{\text{ч}}=\frac{108\cdot 1000}{3600}\frac{\text{м}}{\text{с}}=30\ \text{м/с}\)
\(t=6\ \text{с}\)
\(1\ \text{л.с.}=735,5\ \text{Вт}\)
__________________
\(N-?\)

Работа силы тяги равна разности кинетических энергий автомобиля: \begin{gather*} A=E_k-E_{k0}=\frac{mv^2}{2}-\frac{mv^2_0}{2}=\frac{mv^2}{2}-0=\frac{mv^2}{2} \end{gather*} Мощность двигателя \begin{gather*} N=\frac At=\frac{mv^2}{2t} \end{gather*} Получаем \begin{gather*} N=\frac{1700\cdot 30^2}{2\cdot 6}=127500\ (\text{Вт})=127,5\ (\text{кВт})\\[6pt] 127500\ \text{Вт}\ =\frac{127500}{735,5}\ \text{л.с.} \approx 173\ \text{л.с.} \end{gather*} Ответ: 127500 Вт = 127,5 кВт ≈ 173 л.с.

Задача 4. Пуля массой 10 г, движущаяся со скоростью 500 м/с, пробила деревянный щит толщиной 2 см и вылетела со скоростью 300 м/с. Чему равна работа силы сопротивления движению пули в щите и модуль среднего значения силы сопротивления?

Дано:
\(m=10\ \text{г}=0,01\ \text{кг}\ \)
\(v_1=500\ \text{м/с}\)
\(v_2=300\ \text{м/с}\)
\(s=2=0,02\)
\(t=1\ \text{см}=60\ \text{м}\)
__________________
\(A-?,\ F_\text{ср}\)

Работа силы сопротивления равна разности кинетических энергий пули: \begin{gather*} A=\frac{mv^2_2}{2}-\frac{mv^2_1}{2}=\frac m2(v^2_2-v^2_1)=\frac m2(v_2-v_1)(v_2+v_1) \end{gather*} С другой стороны, работа равна произведению силы на перемещение: \begin{gather*} A=F_\text{ср}s\Rightarrow F_\text{ср}=\frac As \end{gather*} Получаем \begin{gather*} A=\frac{0,01}{2}(300-500)(300+500)=-800\ (\text{Дж}) \end{gather*} Работа отрицательна, т.к. тормозящая сила сопротивления направлена противоположно перемещению. В результате кинетическая энергия уменьшается. \begin{gather*} F_\text{ср}=\frac{-800}{0,02}=-40000\ (\text{Н})=-40\ (\text{кН})\\[6pt] |F_\text{ср}|=40\ \text{кН} \end{gather*} Ответ: -800 Дж; 40 кН

Задача 5. Медный и алюминиевый шары одинакового объема подняли на одинаковую высоту. Для какого шара изменение потенциальной энергии больше и во сколько раз?

Дано:
\(\rho_1=8930\ \text{кг/м}^3\)
\(\rho_2=2700\ \text{кг/м}^3\)
\(V_1=V_2=V\)
\(h_1=h_2=h\)
__________________
\(\frac{\Delta E_{p1}}{\Delta E_{p2}}-?\)

Потенциальная энергия тела на высоте \(h\): \begin{gather*} E_p=mgh=\rho Vgh \end{gather*} Потенциальная энергия на нулевом уровне: \begin{gather*} E_{p0}=0 \end{gather*} Изменение потенциальной энергии при подъеме: \begin{gather*} \Delta E_p=E_p-E_{p0}=\rho Vgh-0=\rho Vgh \end{gather*} Отношение изменений потенциальных энергий для шаров: $$ \frac{\Delta E_{p1}}{\Delta E_{p2}}=\frac{\rho_1 Vgh}{\rho_2 Vgh}=\frac{\rho_1}{\rho_2} $$ Изменение потенциальной энергии больше для более плотного медного шара. \begin{gather*} \frac{\Delta E_{p1}}{\Delta E_{p2}}=\frac{8930}{2700}\approx 3,3\ (\text{раз}) \end{gather*} Ответ: больше для медного шара в 3,3 раза

Задача 6. Чему равна потенциальная энергия растянутой пружины, если она растянута на 4 см и для удержания её в этом состоянии необходимо прикладывать силу 60 Н?

Дано:
\(x=4\ \text{см}=0,04\ \text{м}\)
\(F=60\ \text{Н}\)
__________________
\(E_p-?\)

По закону Гука (см. §21 данного справочника) сила упругости, возникающая в растянутой пружине, равна: \(F_\text{упр}=kx\), где \(k\) - жесткость пружины, \(x\) - величина деформации.
Сила, удерживающая пружину в растянутом состоянии, должна уравновешивать силу упругости, т.е. быть равной ей по величине \(F=F_\text{упр}=kx\). По направлению эти силы противоположны: удерживающая сила растягивает пружину, сила упругости стремится вернуть её в исходное состояние.
Следовательно, жесткость пружины: \begin{gather*} k=\frac Fx. \end{gather*} Потенциальная энергия растянутой пружины: \begin{gather*} E_p=\frac{kx^2}{2}=\frac Fx\cdot \frac{x^2}{2}\\[6pt] E_p=\frac{Fx}{2} \end{gather*} Получаем: \begin{gather*} E_p=\frac{60\cdot 0,04}{2}=1,2\ (\text{Дж}) \end{gather*} Ответ: 1,2 Дж

Задача 7*. Какую работу необходимо совершить, чтобы поднять на цепи из колодца глубиной 30 м ведро с водой? Масса цепи 8 кг, масса ведра с водой 10 кг. Размерами ведра можно пренебречь.

Дано:
\(h=30\ \text{м}\)
\(m=8\ \text{кг}\)
\(M=10\ \text{кг}\)
\(g\approx 10\ \text{м/с}^2\)
__________________
\(A-?\)

Установим нулевой уровень \(h=0\) на дне колодца.
При подъеме на высоту \(h\) ведро массу не меняет и приобретает потенциальную энергию \begin{gather*} E_{p1}=Mgh \end{gather*} Работа силы тяжести при подъеме ведра \(A'_\text{в}=-\Delta E_p=-Mgh\). Работа силы тяжести отрицательна, т.к. направление силы тяжести (вниз) противоположно перемещению (вверх).
Работа сторонних сил (силы тяги) по преодолению силы тяжести \(A_\text{в}=-A'_\text{в}=Mgh\). Работа положительна, т.к. сила тяги направлена вверх.
С цепью немного сложней, т.к. масса цепи меняется при подъеме: в начале подъема она максимальна и равна \(m=8\ \text{кг}\), в конце подъема – минимальна и равна \(m_0=0\ \text{кг}\).
При равномерном подъеме средняя масса \begin{gather*} m_\text{ср}=\frac{m+m_0}{2}=\frac m2=4\ \text{кг}. \end{gather*} Тогда работа силы тяги по подъему цепи $$ A_\text{ц}=m_\text{ср}gh=\frac m2 gh. $$ Получаем: \begin{gather*} A=A_\text{в}+A_\text{ц}=Mgh+\frac m2 gh\\[6pt] A=\left(M+\frac m2\right)gh \end{gather*} Подставляем \begin{gather*} A=\left(10+\frac 82\right)\cdot 10\cdot 30=4200\ (\text{Дж})=4,2\ (\text{кДж}) \end{gather*} Ответ: 4,2 кДж