КПД простых механизмов

п.1. Полезная работа и затраченная работа

Примеры полной и полезной работы

	При использовании системы блоков: полезная работа равна работе по подъему ведра яблок на высоту \(h\); затраченная работа равна произведению приложенной силы на длину вытравленной веревки. Затраченная работа, кроме полезной, включает в себя работу по подъему подвижного блока и веревки (которые имеют вес) и работу по преодолению сил трения.
	При использовании наклонной плоскости: полезная работа равна работе по подъему бочки на высоту \(h\); затраченная работа равна произведению приложенной силы на длину наклонной плоскости. Затраченная работа, кроме полезной, включает в себя работу по преодолению сил трения.

Затраченная работа равна сумме:

• полезной работы;
• работы против силы трения в различных частях механизма;
• работы по перемещению различных составных элементов механизма.

Поэтому всегда \(A_\text{полезная}\lt A_\text{затраченная}\)

п.2. КПД механизма

Поскольку в реальных механизмах всегда \(A_\text{п}\lt A_\text{з}\), $$ \frac{A_\text{п}}{A_\text{з}}\lt 1. $$

Следовательно КПД реальных механизмов \(\eta\lt 100\text{%}\).

Только в идеальном механизме, в котором нет потерь на трение, и все составные элементы не имеют веса, \(A_\text{п}=A_\text{з}\) и \(\eta=100\text{%}\).

КПД никогда не может быть выше \(100\text{%}\).

КПД реальных механизмов можно увеличить за счет снижения трение в подвижных узлах и уменьшения веса всех составных элементов конструкции.

Для этого нужны новые смазочные вещества и лёгкие, но прочные конструкционные материалы.

п.3. Задачи

Задача 1. По наклонной плоскости поднимают груз массой 50 кг, прикладывая к нему силу 250 Н, направленную вдоль плоскости. Чему равен КПД плоскости, если её длина 10 м, а высота 3 м?

Дано:
\(m=50\ \text{кг}\)
\(g\approx 10\ \text{м/с}^2\)
\(F=250\ \text{Н}\)
\(L=10\ \text{м}\)
\(h=3\ \text{м}\)
__________________
\(\eta-?\)

Полезная работа по подъему груза \begin{gather*} A_\text{п}=mgh. \end{gather*} Затраченная работа на перемещение груза вдоль наклонной плоскости \begin{gather*} A_\text{з}=FL. \end{gather*} КПД плоскости: \begin{gather*} \eta=\frac{A_\text{п}}{A_\text{з}}\cdot 100\text{%}=\frac{mgh}{FL}\cdot 100\text{%} \end{gather*} Получаем: \begin{gather*} \eta=\frac{50\cdot 10\cdot 3}{250\cdot 10}\cdot 100\text{%}=60\text{%} \end{gather*} Ответ: 60%

Задача 2. С помощью подвижного блока поднимают груз массой 200 кг, прикладывая силу 1200 Н. Чему равен КПД блока?

Дано:
\(m=200\ \text{кг}\)
\(g\approx 10\ \text{м/с}^2\)
\(F=1200\ \text{Н}\)
__________________
\(\eta-?\)

Полезная работа по подъему груза на высоту \(h\): \begin{gather*} A_\text{п}=mgh. \end{gather*} Подвижный блок дает выигрыш в силе в 2 раза и проигрыш в расстоянии. Т.е. при работе нужно вытянуть трос длиной \(2h\). Затраченная работа: \begin{gather*} A_\text{з}=F\cdot 2h. \end{gather*} КПД блока \begin{gather*} \eta=\frac{A_\text{п}}{A_\text{з}}\cdot 100\text{%}=\frac{mgh}{2Fh}\cdot 100\text{%}=\frac{mg}{2F}\cdot 100\text{%} \end{gather*} Получаем: \begin{gather*} \eta=\frac{200\cdot 10}{2\cdot 1200}\cdot 100\text{%}\approx 83,3\text{%} \end{gather*} Ответ: 83,3%

Задача 3. Груз массой 245 кг с помощью рычага равномерно подняли на высоту 6 см. При этом к длинному плечу рычага была приложена сила 500 Н, а точка приложения силы опустилась на 30 см. Найдите КПД рычага.

Дано:
\(m=245\ \text{кг}\)
\(g\approx 10\ \text{м/с}^2\)
\(h_2=6\ \text{см}=0,6\ \text{м}\)
\(F_1=500\ \text{Н}\)
\(h_1=30\ \text{см}=0,3\ \text{м}\)
__________________
\(\eta-?\)

Полезная работа по подъему груза на высоту \(h_2\): \begin{gather*} A_\text{п}=mgh_2. \end{gather*} Затраченная работа по опусканию длинного плеча рычага: \begin{gather*} A_\text{з}=F_1h_1. \end{gather*} КПД рычага \begin{gather*} \eta=\frac{A_\text{п}}{A_\text{з}}\cdot 100\text{%}=\frac{mgh_2}{F_1h_1}\cdot 100\text{%} \end{gather*} Получаем: \begin{gather*} \eta=\frac{245\cdot 10\cdot 0,06}{500\cdot 0,3}\cdot 100\text{%}=\frac{147}{150}\cdot 100\text{%}=98\text{%} \end{gather*} Ответ: 98%

Задача 4. Чему равен КПД гидравлической машины, если для равномерного подъема груза массой 1,2 т к меньшему поршню прикладывают силу 160 Н? Площади поршней равны 5 см² и 500 см².

Дано:
\(m=1,2\ \text{т}=1200\ \text{кг}\)
\(g\approx 10\ \text{м/с}^2\)
\(F_1=160\ \text{Н}\)
\(S_1=5\ \text{см}^2=5\cdot 10^{-4}\ \text{м}^2\)
\(S_2=500\ \text{см}^2=5\cdot 10^{-2}\ \text{м}^2\)
__________________
\(\eta-?\)

При опускании малого поршня на высоту \(h_1\) из малого в большой цилиндр вытекает объем жидкости равный $$ V=S_1h_1=S_2h_2\Rightarrow \frac{h_2}{h_1}=\frac{S_1}{S_2} $$ Полезная работа по подъему груза на высоту \(h_2\): \begin{gather*} A_\text{п}=mgh_2. \end{gather*} Затраченная работа по опусканию поршня малого цилиндра: \begin{gather*} A_\text{з}=F_1h_1. \end{gather*} КПД гидравлической машины \begin{gather*} \eta=\frac{A_\text{п}}{A_\text{з}}\cdot 100\text{%}=\frac{mgh_2}{F_1h_1}\cdot 100\text{%}=\frac{mgS_1}{F_1S_2}\cdot 100\text{%} \end{gather*} Получаем: \begin{gather*} \eta=\frac{1200\cdot 10\cdot 5\cdot 10^{-4}}{160\cdot 5\cdot 10^{-2}}\cdot 100\text{%}=\frac{600}{800}\cdot 100\text{%}=75\text{%} \end{gather*} Ответ: 75%

Задача 5*. Груз массой 12 кг поднимают с помощью подвижного блока массой 3 кг. Чему равен КПД блока?

Дано:
\(M=12\ \text{кг}\)
\(m=3\ \text{кг}\)
__________________
\(\eta-?\)

Полезная работа по подъему груза на высоту \(h\): \begin{gather*} A_\text{п}=Mgh. \end{gather*} Подвижный блок дает выигрыш в силе в 2 раза. Поэтому достаточно приложить силу, равную половине суммы весов груза и блока: \begin{gather*} F=\frac 12(M+m)g \end{gather*} При этом будет проигрыш в расстоянии. Потребуется вытянуть трос длиной \(2h\). Затраченная работа, приложенная к тросу: \begin{gather*} A_\text{з}=F\cdot 2h=\frac 12(M+m)g\cdot 2h=(M+m)gh. \end{gather*} КПД подвижного блока \begin{gather*} \eta=\frac{A_\text{п}}{A_\text{з}}\cdot 100\text{%}=\frac{Mgh}{(M+m)gh}\cdot 100\text{%}=\frac{M}{M+m}\cdot 100\text{%} \end{gather*} Получаем: \begin{gather*} \eta=\frac{12}{12+3}\cdot 100\text{%}=80\text{%} \end{gather*} Ответ: 80%

Задача 6. Сколько воды можно поднять из колодца глубиной 36 м за 1 ч, если мощность электродвигателя равна 5 кВт, КПД всей установки равно 70%?
Дано:
\(N=5\ \text{кВт}=5\cdot 10^3\ \text{Вт}\)
\(\eta=70\text{%}=0,7\)
\(h=36\ \text{м}\)
\(t=1\ \text{ч}=3600\ \text{с}\)
\(g\approx 10\ \text{м/с}^2\)
__________________
\(m-?\)

Полезная работа по подъему груза на высоту \(h\): \begin{gather*} A_\text{п}=Mgh. \end{gather*} Затраченная работа электродвигателя: \begin{gather*} A_\text{з}=Nt. \end{gather*} КПД установки \begin{gather*} \eta=\frac{A_\text{п}}{A_\text{з}}=\frac{mgh}{Nt} \end{gather*} Масса воды \begin{gather*} m=\frac{\eta Nt}{gh} \end{gather*} Получаем: \begin{gather*} m=\frac{0,7\cdot 5\cdot 10^3\cdot 3600}{10\cdot 36}=35\cdot 10^3\ (\text{кг})=35\ \text{т} \end{gather*} Ответ: 35 т

Задача 7*. КПД подвижного блока при подъеме первого груза равен 80%, а при подъеме второго груза – 90%. Масса какого груза больше и во сколько раз? Трением в блоке можно пренебречь.
Дано:
\(\eta_1=80\text{%}=0,8\)
\(\eta_2=90\text{%}=0,9\)
__________________
\(\frac{M_2}{M_1}-?\)

КПД подвижного блока массой \(m\), с помощью которого поднимают груз массой \(M\) \begin{gather*} \eta=\frac{M}{M+m} \end{gather*} (см. Задачу 5 выше). Масса груза \begin{gather*} \eta(M+m)=M\Rightarrow \eta m=(1-\eta)M\Rightarrow M=\frac{\eta}{1-\eta}m \end{gather*} Получаем: \begin{gather*} M_1=\frac{0,8}{1-0,8}m=4m,\\[6pt] M_2=\frac{0,9}{1-0,9}m=9m \end{gather*} Масса второго груза больше.
Отношение масс \begin{gather*} \frac{M_2}{M_1}=\frac{9m}{4m}=2,25\ (\text{раз}) \end{gather*} Ответ: масса второго груза больше в 2,25 раз

п.4. Лабораторная работа №13. Определение КПД наклонной плоскости

Цель работы
Научиться проводить измерения и рассчитывать КПД простого механизма на примере наклонной плоскости. Исследовать зависимость КПД наклонной плоскости от высоты.

Теоретические сведения

Работа по подъему тела весом \(P\) вертикально на высоту \(h\) (из точки C в точку B): $$ A_\text{CB}=Ph $$

Работа по перемещению того же тела силой \(F\), направленной вдоль наклонной плоскости длиной \(L\) (из точки A в точку B): $$ A_\text{AB}=FL $$

В обоих случаях тело перемещается с нулевого уровня AC, где \(h_0=0\), на уровень с высотой \(h\) в точку B. Работа сторонних сил в этом случае равна изменению потенциальной энергии тела: $$ A=A_\text{CB}=A_\text{AB}=\Delta E_p $$

Получаем уравнение для идеальной наклонной плоскости (без трения): $$ Ph=FL $$

При наличии трения получаем неравенство: $$ Ph\lt FL $$

Полезная и затраченная работа для наклонной плоскости: $$ A_\text{п}=Ph,\ \ A_\text{з}=FL $$

КПД наклонной плоскости: $$ \eta=\frac{A_\text{п}}{A_\text{з}}\cdot 100\text{%}=\frac{Ph}{FL}\cdot 100\text{%} $$

Затраченная работа равна сумме полезной работы и работы по преодолению силы трения: $$ A_\text{з}=A_\text{п}+F_\text{тр}L $$

Откуда сила трения равна: $$ F_\text{тр}=\frac{A_\text{з}-A_\text{п}}{L}=\frac{FL-Ph}{L}=F-P\frac hL $$

Вес \(P\) и сила \(F\) определяются в работе с помощью динамометра с ценой деления \(d=0,1\ \text{Н}\).

Абсолютная погрешность прямых измерений $$ \Delta_F=\Delta_P=\frac d2=0,05\ \text{Н}. $$

Сила \(F\) определяется в серии из пяти опытов с вычислением средних величин.

Высота наклонной плоскости \(h\) и длина наклонной плоскости \(L\) определяются с помощью мерной ленты с ценой деления \(d=5\ \text{мм}\). Абсолютная погрешность \(\Delta_L=2,5\ \text{мм}\).

Относительные погрешности измерений вычисляются как обычно.

Относительная погрешность расчета КПД: $$ \delta_\eta=\delta_F+\delta_P+\delta_h+\delta_L $$

Абсолютная погрешность расчета КПД: $$ \Delta_\eta=\eta\cdot \delta_\eta $$

Приборы и материалы
Доска длиной от 70 см, штатив с муфтой и лапкой, брусок массой не менее 300 г, мерная лента, динамометр.

Ход работы
1. Измерьте мерной лентой длину доски \(L\).
2. Определите вес бруска \(P\) с помощью динамометра.
3. Соберите наклонную плоскость: закрепите один конец доски в лапке штатива на высоте около \(h=\frac L3.\)
4. Положите брусок на наклонную плоскость, прикрепите к нему динамометр и равномерно тяните по наклонной плоскости. Следите, чтобы динамометр располагался параллельно наклонной плоскости. Запишите измеренное значение \(F\). Повторите измерение \(F\) в серии из пяти опытов.
5. Соберите новую наклонную плоскость: закрепите один конец доски в лапке штатива на высоте около \(h=\frac L4\). Перейдите на шаг 4 и повторите серию опытов для определения \(F\).
6. Рассчитайте КПД для двух исследованных наклонных плоскостей. Найдите относительные и абсолютные погрешности расчетов КПД.
7. Для каждой из наклонных плоскостей укажите величину полезной и затраченной работы, найдите силу трения.
8. Сделайте выводы о зависимости силы трения и КПД от высоты наклонной плоскости.

Результаты измерений и вычислений

Длина наклонной плоскости (доски) \begin{gather*} L=80\ \text{см}=800\ \text{мм},\\[7pt] \Delta_L=2,5\ \text{мм},\\[6pt] \delta_L=\frac{\Delta_L}{L}=\frac{2,5}{800}\approx 0,0031=0,31\text{%} \end{gather*}

Вес бруска \begin{gather*} P=4,4\ \text{Н},\\[7pt] \Delta_P=0,05\ \text{Н},\\[6pt] \delta_P=\frac{\Delta_P}{P}=\frac{0,05}{4,4}\approx 0,0011=1,1\text{%} \end{gather*}

1. Наклонная плоскость высотой \(h=27\ \text{см}\)

Высота наклонной плоскости \begin{gather*} h=27\ \text{см}=270\ \text{мм},\\[7pt] \Delta_h=2,5\ \text{мм},\\[6pt] \delta_h=\frac{\Delta_h}{h}=\frac{2,5}{270}\approx 0,0093=0,93\text{%} \end{gather*}

Определение силы тяги \(F\) в серии опытов

\begin{gather*} F_\text{ср}=\frac{\sum F_i}{5}=\frac{14,2}{5}=2,84\ (\text{Н}),\\[6pt] \Delta_{F\text{ср}}=\frac{\sum \Delta_{Fi}}{5}=\frac{0,44}{5}\approx 0,09\ (\text{Н}),\\[6pt] F=(2,84\pm 0,09)\ \text{Н},\\[7pt] \delta_F=\frac{0,09}{2,84}\approx 0,032=3,2\text{%} \end{gather*}

Полезная работа: $$ A_\text{П}=Ph=4,4\cdot 0,27=1,188\ (\text{Дж}) $$

Затраченная работа: $$ A_\text{З}=FL=2,84\cdot 0,8=2,272\ (\text{Дж}) $$

Сила трения: $$ F_\text{тр}=F-P\frac hL=2,84-4,4\cdot \frac{0,27}{0,8}\approx 1,36\ (\text{Н}) $$

КПД наклонной плоскости: $$ \eta=\frac{A_\text{П}}{A_\text{З}}=\frac{1,188}{2,272}\approx 0,523=52,3\text{%} $$

Погрешности расчета КПД: $$ \delta_\eta=\delta_F+\delta_P+\delta_h+\delta_L=0,032+0,011+0,0093+0,0031=0,0554\approx 0,056=5,6\text{%} $$

При расчете \(\delta_\eta\) использовали округление с избытком. $$ \Delta_\eta=0,523\cdot 0,056\approx 0,029=2,9\text{%} $$

Окончательно получаем: $$ \eta=(52,3\pm 2,9)\text{%},\ \ \delta_\eta=5,6\text{%} $$

2. Наклонная плоскость высотой \(h=20\ \text{см}\)

Высота наклонной плоскости \begin{gather*} h=20\ \text{см}=200\ \text{мм},\\[7pt] \Delta_h=2,5\ \text{мм},\\[6pt] \delta_h=\frac{\Delta_h}{h}=\frac{2,5}{200}\approx 0,013=1,3\text{%} \end{gather*}

Определение силы тяги \(F\) в серии опытов

\begin{gather*} F_\text{ср}=\frac{\sum F_i}{5}=\frac{12,6}{5}=2,52\ (\text{Н}),\\[6pt] \Delta_{F\text{ср}}=\frac{\sum \Delta_{Fi}}{5}=\frac{0,32}{5}\approx 0,06\ (\text{Н}),\\[6pt] F=(2,52\pm 0,06)\ \text{Н},\\[7pt] \delta_F=\frac{0,06}{2,52}\approx 0,024=2,4\text{%} \end{gather*}

Полезная работа: $$ A_\text{П}=Ph=4,4\cdot 0,2=0,88\ (\text{Дж}) $$

Затраченная работа: $$ A_\text{З}=FL=2,52\cdot 0,8=2,016\ (\text{Дж}) $$

Сила трения: $$ F_\text{тр}=F-P\frac hL=2,52-4,4\cdot \frac{0,2}{0,8}\approx 1,42\ (\text{Н}) $$

КПД наклонной плоскости: $$ \eta=\frac{A_\text{П}}{A_\text{З}}=\frac{0,88}{2,016}\approx 0,437=43,7\text{%} $$

Погрешности расчета КПД: $$ \delta_\eta=\delta_F+\delta_P+\delta_h+\delta_L=0,024+0,011+0,013+0,0031=0,0511\approx 0,052=5,2\text{%} $$

При расчете \(\delta_\eta\) использовали округление с избытком. $$ \Delta_\eta=0,437\cdot 0,052\approx 0,023=2,3\text{%} $$

Окончательно получаем: $$ \eta=(43,7\pm 2,3)\text{%},\ \ \delta_\eta=5,2\text{%} $$

Выводы
На основании полученных результатов можно сделать следующие выводы.

В работе проводился расчет КПД наклонной плоскости постоянной длины, но разной высоты.

Для высоты около \(h=\frac L3\):

• полезная и затраченная работы: \(A_\text{П}=1,188\ (\text{Дж}),\ A_\text{З}=2,272\ (\text{Дж})\)
• сила трения: \(F_\text{тр}=1,36\ (\text{Н})\)
• КПД: \(\eta=(52,3\pm 2,9)\text{%},\ \delta_\eta=5,6\text{%}\)

Для высоты около \(h=\frac L4\):

• полезная и затраченная работы: \(A_\text{П}=0,88\ (\text{Дж}),\ A_\text{З}=2,016\ (\text{Дж})\)
• сила трения: \(F_\text{тр}=1,42\ (\text{Н})\)
• КПД: \(\eta=(43,7\pm 2,3)\text{%},\ \delta_\eta=5,2\text{%}\)

Таким образом, с уменьшением высоты:

• сила трения растет;
• КПД наклонной плоскости падает.

Все задачи, поставленные перед исследованием, успешно выполнены.