Колебательное движение. Математический маятник

п.1. Механические колебания

Кроме прямолинейного и криволинейного движения, с которыми мы уже познакомились, существует еще один вид механического движения – колебательный.

Примеры колебательных движений:

• движение маятника в часах;
• колебание автомобиля на рессорах;
• покачивание деревьев на ветру;
• раскачивание качели;
• сокращения сердца и легких;
• движение крыльев насекомых и птиц.

п.2. Математический маятник

В положении равновесия тело (шарик) находится внизу. Отклонение от положения равновесия называют смещением тела, обозначают буквой x и измеряют в метрах (в СИ). Наибольшее смещение маятника от положения равновесия называют амплитудой колебаний, обозначают буквой A. В проекции на горизонтальную ось OX смещение изменяется в интервале \(-A\leq x\leq A\). В положении равновесия x=0. Если маятник после смещения в положение 1, прошел положение равновесия 2, отклонился в положение 3, опять прошел положение 2, и вернулся в положение 1, говорят, что маятник совершил полное колебание.

п.3. Параметры колебаний математического маятника

Период и частота колебаний – взаимно обратные величины
Период в СИ измеряют в секундах, частоту – в герцах: 1 Гц=1 c^-1
Формула для периода колебаний справедлива для небольших отклонений маятника (на угол порядка 15-20° от положения равновесия).

п.4. Задачи

Задача 1. Маятник совершил 3 полных колебания за 9 с. Найдите период и частоту его колебаний. Чему равна длина нити, на которой подвешен маятник (ответ дайте в см, с округлением до целых)?

Дано:
\(N=3\)
\(t=9\ c\)
__________________
\(T,\ f,\ L-?\)
Период колебаний: \(T=\frac tN\)
Частота колебаний: \(f=\frac 1T=\frac Nt\)
Длина нити: $$ T=2\pi\sqrt{\frac Lg}\Rightarrow \sqrt{\frac Lg}=\frac{T}{2\pi}\Rightarrow \frac Lg=\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2\Rightarrow L=g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 $$ Подставляем: \begin{gather*} T=\frac 93=3\ (c)\\ f=\frac 13\ (Гц)\\ L=9,8\cdot\left(\frac{3}{2\pi}\right)^2\approx 2,234\ (м)\approx 223\ (см) \end{gather*} Ответ: 3 с; 1/3 Гц; 223 см

Задача 2. Математический маятник колеблется с частотой 20?тиы кГц. Найдите период колебаний и число колебаний в минуту.

Дано:
\(f=20\ кГц=2\cdot 10^4\ Гц\)
\(t=1\ мин=60\ с\)
__________________
\(T,\ N-?\)
Период колебаний: \(T=\frac 1f\)
Частота колебаний за время \(t:\ N=ft\)
Подставляем: \begin{gather*} T=\frac{1}{2\cdot 10^4}=0,5\cdot 10^{-4}\ (c)=50\cdot 10^{-6}\ (c)=50\ (мкс)\\ N=2\cdot 10^4\cdot 60=1,2\cdot 10^6 \end{gather*} Ответ: 50 мкс; 1,2·10⁶

Задача 3. Расстояние от улья до цветочного поля 600 м. Пчела летит за нектаром со скоростью 8 м/с и машет крылышками с частотой 440 Гц. Возвращаясь в улей с нектаром, пчела летит со скоростью 5 м/с и машет крылышками с частотой 320 Гц. Найдите разность в количестве взмахов крылышками на пути туда и обратно.

Дано:
\(s=600\ м \)
\(v_1=8\ м/с\)
\(f_1=440\ Гц\)
\(v_2=5\ м/с\)
\(f_2=320\ Гц\)
__________________
\(\triangle N-?\)

Время полета из улья за нектаром \(t_1=\frac{s}{v_1}\)
Количество взмахов крылышками \(N_1=f_1 t_1=f_1\frac{s}{v_1}\)
Аналогично количество взмахов на пути назад \(N_2=f_2\frac{s}{v_2}\)
Найдем каждое из \(N\): \begin{gather*} N_1=440\cdot\frac{600}{8}=33000\\ N_2=320\cdot\frac{600}{5}=38400 \end{gather*} На пути обратно пчела с грузом делает больше взмахов. Искомая разность: $$ \triangle N=N_2-N_1=38400-33000=5400 $$ Ответ: 5400

Задача 4. Определите длину математического маятника с периодом колебаний 1с, если он находится: а) на Луне (\(g_л=1,6\ м/с^2\)); б) на Марсе (\(g_м=3,6\ м/с^2\)). Ответ запишите в см, с точностью до десятых.

Дано:
\(T=1\ с \)
\(g_л=1,6\ м/с^2 \)
\(g_м=3,6\ м/с^2\)
__________________
\(L_л,\ L_м-?\)

Длина нити: \begin{gather*} T=2\pi\sqrt{\frac Lg}\Rightarrow\sqrt{\frac Lg} =\frac{T}{2\pi}\Rightarrow\frac Lg=\left( \frac{T}{2\pi}\right)^2\Rightarrow L = g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 \end{gather*} На Луне: $$ L_л=1,6\cdot\left(\frac{1}{2\pi}\right)^2\approx 0,0405\ (м)\approx 4,1\ (см) $$ На Марсе: $$ L_м=3,6\cdot\left(\frac{1}{2\pi}\right)^2\approx 0,0912\ (м)\approx 9,1\ (см) $$ Ответ: 4,1 см; 9,1 см

п.5. Лабораторная работа №4. Исследование колебаний математического маятника

Цель работы
Исследовать, от каких величин зависит период колебаний математического маятника.

Теоретические сведения
При малых отклонениях (порядка 15-20° от вертикали) период колебаний математического маятника определяется формулой: $$ T=2\pi\sqrt{\frac Lg} $$ где \(L\) – длина маятника, \(g\) – ускорение свободного падения.
Для работы принять \(g\approx 9,80665\ м/с^2\).
При заданном периоде колебаний для длины маятника получаем: $$ L=g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 $$

Приборы и материалы
Два лабораторных грузика по 100 г, крепкая нить (1,5-2 м), линейка (30-50 см), штатив, секундомер.

Ход работы
1. Рассчитайте длину нитей, необходимых для создания маятников с периодами колебаний \(T_1=1 с;\ T_2=2 с\).
2. Закрепите один грузик на нити и подвесьте его на штативе так, чтобы длина подвеса была равна расчетной длине \(L_1\).
3. Отклоните грузик на небольшой угол, отпустите его и с помощью секундомера измерьте время, за которое маятник совершит 10 полных колебаний. Повторите опыт 5 раз. Проведите расчеты для определения периода колебаний \(T_{1\ эксп}\) по методике, изложенной в лабораторной работе №2 (см. §4 данного справочника).
4. Теперь подвесьте грузик так, чтобы длина подвеса была равна расчетной длине \(L_2\). Повторите серию из 5 экспериментов и определите \(T_{2\ эксп}\).
5. При длине подвеса \(L_2\) подвесьте к первому грузику второй. Повторите серию из 5 экспериментов и определите \(T '\). Сравните \(T '\) и \(T_{2\ эксп}\).
6. Сделайте выводы о проделанной работе.

Результаты измерений и вычислений

Расчет длины нитей \begin{gather*} L=g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2\\ T_1=1\ c,\ \ L_1=9,80665\cdot\left(\frac{1}{2\pi}\right)^2\approx 0,248\ (м)=24,8\ (см)\\ T_2=2\ c,\ \ L_1=9,80665\cdot\left(\frac{2}{2\pi}\right)^2\approx 0,9994\ (м)=99,4\ (см) \end{gather*}

Определение \(T_{1\ эксп}\)
Инструментальная погрешность секундомера \(d=\frac{\triangle}{2}=0,1\ c\)
Время 10 колебаний

\begin{gather*} t_{cp}=\frac{50}{5}=10\\ \triangle_{cp}=\frac 15=0,2 \end{gather*} Среднее абсолютное отклонение больше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ \triangle t=max\left\{d;\triangle_{cp}\right\}=max\left\{0,1;0,2\right\}=0,2\ \text{c} $$ Результат измерения времени 10 колебаний: \begin{gather*} t=t_0\pm\triangle t,\ \ t=(10,0\pm 0,2)\ c \end{gather*} Период колебаний в 10 раз меньше: $$ T_{1\ эксп}=\frac{1}{10}(t_0\pm\triangle t),\ \ T_{1\ эксп}=(1,00\pm 0,02)\ c $$ Относительная погрешность измерений: $$ \delta_T=\frac{\triangle T}{T_{1\ эксп}}\cdot 100\text{%}=\frac{0,02}{1}\cdot 100\text{%}=2,0\text{%} $$

Определение \(T_{2\ эксп}\)
Время 10 колебаний

\begin{gather*} t_{cp}=\frac{99,5}{5}=19,9\\ \triangle_{cp}=\frac 15=0,2 \end{gather*} Среднее абсолютное отклонение больше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ \triangle t=max\left\{d;\triangle_{cp}\right\}=max\left\{0,1;0,2\right\}=0,2\ \text{c} $$ Результат измерения времени 10 колебаний: \begin{gather*} t=t_0\pm\triangle t,\ \ t=(19,9\pm 0,2)\ c \end{gather*} Период колебаний в 10 раз меньше: $$ T_{2\ эксп}=\frac{1}{10}(t_0\pm\triangle t),\ \ T_{2\ эксп}=(1,99\pm 0,02)\ c $$ Относительная погрешность измерений: $$ \delta_T=\frac{\triangle T}{T_{2\ эксп}}\cdot 100\text{%}=\frac{0,02}{1,99}\cdot 100\text{%}\approx 1,0\text{%} $$

Определение \(T '\) (с двумя грузиками)
Время 10 колебаний

\begin{gather*} t_{cp}=\frac{99,8}{5}=19,96\\ \triangle_{cp}=\frac{1,24}{5}\approx 0,25 \end{gather*} Среднее абсолютное отклонение больше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ \triangle t=max\left\{d;\triangle_{cp}\right\}=max\left\{0,1;0,25\right\}=0,25\ \text{c} $$ Результат измерения времени 10 колебаний: \begin{gather*} t=t_0\pm\triangle t,\ \ t=(19,96\pm 0,25)\ c \end{gather*} Период колебаний в 10 раз меньше: $$ T'=\frac{1}{10}(t_0\pm\triangle t),\ \ T'=(1,996\pm 0,025)\ c $$ Относительная погрешность измерений: $$ \delta_T=\frac{\triangle T}{T'}\cdot 100\text{%}=\frac{0,025}{1,996}\cdot 100\text{%}\approx 1,3\text{%} $$

Полученные на опыте интервалы для \(T_{2\ эксп}\) и \(T'\) (одинаковая длина нити \(L_2\) и разные массы грузиков – 100 г и 200 г соответственно): \begin{gather*} 1,97\leq T_{2\ эксп}\leq 2,01\\ 1,971\leq T'\leq 2,021 \end{gather*} Таким образом, \(T_{2\ эксп}\approx T'\), т.е. период колебаний математического маятника не зависит от массы груза.

Выводы
На основании проделанной работы можно сделать следующие выводы.

В работе с помощью расчетной формулы были определены длины нитей подвеса для маятников с периодами колебаний \(T_1=1\ с;\ T_2=2\ с\).
Полученный на опыте период колебаний для подвеса с \(L_1=24,8\ см\) с грузиком 100 г равен $$ T_{1\ эксп}=(1,00\pm 0,02)\ c,\ \ \delta=2,0\text{%} $$ Полученный на опыте период колебаний для подвеса с \(L_2=99,4\ см\) с грузиком 100 г равен $$ T_{2\ эксп}=(1,99\pm 0,02)\ c,\ \ \delta=1,0\text{%} $$ Полученный на опыте период колебаний для подвеса с \(L_2=99,4\ см\) с грузиком 200 г равен $$ T'=(1,996\pm 0,025)\ c,\ \ \delta=1,3\text{%} $$ Формула \(T=2\pi\sqrt{\frac Lg}\) данными экспериментами подтверждена.
Период колебаний математического маятника зависит от длины подвеса и не зависит от массы грузика на подвесе.