Измерение длины, площади, объема и времени

п.1. Лабораторная работа №1. Измерение длины ребер, площади поверхности и объема прямоугольного параллелепипеда. Погрешность прямых и косвенных измерений

Цель работы
Научиться измерять длину с помощью линейки, определять площадь поверхности и объем прямоугольного параллелепипеда, находить абсолютные и относительные погрешности косвенных измерений.

Теоретические сведения

Прямоугольный параллелепипед – это многогранник с шестью гранями, каждая из которых является прямоугольником. Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения: длину, ширину и высоту.

Пусть
длина \(AD=BC=A_1 D_1=B_1 C_1=a\)
ширина \(AB=CD=A_1 B_1=C_1 D_1=b\)
высота \(AA_1=BB_1=CC_1=DD_1=c\)
Площади верхней и нижней грани равны \(S_1=ab\), площади передней и задней граней равны \(S_2=ac\), площади левой и правой граней равны \(S_3=bc\).

Пусть измерения проводятся ученической линейкой с ценой деления \(\triangle=1\ мм\).
Тогда инструментальная погрешность измерений равна половине цены деления: $$ d=\frac{\triangle}{2}=0,5\ мм $$ Абсолютная погрешность измерений при работе с линейкой равна инструментальной погрешности, поэтому для всех измерений: \(\triangle a=\triangle b=\triangle c=d=0,5\ мм\)
Относительные погрешности измерений (в долях, без процентов): $$ \delta_a=\frac{\triangle a}{a}=\frac da,\ \ \delta_b=\frac{\triangle b}{b}=\frac db,\ \ \delta_c=\frac{\triangle c}{c}=\frac dc $$ Выведем необходимые формулы.
Рассмотрим нижнюю грань. Её площадь \(S_1=ab\) является произведением двух длин.
Значит, относительная погрешность измерения площади равна сумме относительных погрешностей длин: $$ \delta_{S1}=\delta_a+\delta_b $$ Аналогично для остальных граней: $$ \delta_{S2}=\delta_a+\delta_c,\ \ \delta_{S3}=\delta_b+\delta_c $$ Абсолютная погрешность измерения площади нижней грани: $$ \triangle S_1=S_1\cdot\delta_{S1}=ab\cdot(\delta_a+\delta_b)=ab\cdot\left(\frac da+\frac db\right)=abd\cdot\left(\frac ab+\frac1b\right)=abd\cdot\frac{b+a}{ab}= d(a+b) $$ Аналогично для остальных граней: $$ \triangle S_2=S_2\cdot\delta_{S2}=d(a+c),\ \ \triangle S_3=S_3\cdot\delta_{S3}=d(b+c) $$ Абсолютная погрешность суммы измерений равна сумме абсолютных погрешностей. Получаем для площади поверхности: \begin{gather*} \triangle S_{пов}=2(\triangle S_1+\triangle S_2+\triangle S_3)=2(d(a+b)+d(a+c)+d(b+c))=\\ =2d(a+b+a+c+b+c)=4d(a+b+c) \end{gather*}

Найдем погрешность определения объема.
Объем равен произведению трех измерений, значит, относительная погрешность для объема равна сумме относительных погрешностей измерений: $$ \delta_v=\delta_a+\delta_b+\delta_c=\frac da+\frac db+\frac dc=d\left(\frac 1a+\frac 1b+\frac 1c\right)=d\cdot\frac{bc+ac+ab}{abc} $$ Абсолютная погрешность для объема: $$ \triangle V=v\cdot\delta_v=abc\cdot d\cdot\frac{bc+ac+ab}{abc} = d(bc+ac+ab)=d\cdot\frac{S_{пов}}{2} $$

Приборы и материалы
Ученическая линейка, книга (или деревянный брусок).

Ход работы
1. Ознакомьтесь с теоретической частью работы, выпишите необходимые формулы.
2. Измерьте длину, ширину и высоту книги (бруска), \(a,b,c\).
3. Найдите площадь поверхности \(S_{пов}\) и объем \(V\).
4. Найдите абсолютные погрешности \(\triangle S_{пов}\) и \(\triangle V\).
5. Найдите относительные погрешности в процентах: $$ \delta_{S_{пов}}=\frac{\triangle S_{пов}}{S_{пов}}\cdot 100\text{%},\ \ \delta_V=\frac{\triangle V}{V}\cdot 100\text{%} $$ 6. Дополнительное задание. Определите толщину одного листа книги, абсолютную и относительную погрешность этой величины.
7. Сделайте выводы о проделанной работе.

Результаты измерений и вычислений

Инструментальная погрешность линейки \(d=\frac{1\ мм}{2}=0,5\ мм\)
Результаты измерений:
a=218 мм
b=147 мм
c=32 мм
Площадь поверхности: \begin{gather*} S_{пов}=2(ab+ac+bc)=2(218\cdot 147+218\cdot 32+147\cdot 32)=\\ =2(32046+6976+4704)=87452\ (мм^2) \end{gather*} Объем: $$ V=abc=218\cdot 147\cdot 32=1025472\ (мм^2) $$ Абсолютная погрешность определения площади поверхности (округляем до двух значащих цифр с избытком): $$ \triangle S_{пов}=4d(a+b+c)=4\cdot 0,5\cdot (218+147+32)=2\cdot 397=794\ (мм^2)\approx 800\ (мм^2) $$ Полученную величину площади поверхности также округляем до сотен. Получаем: $$ S_{пов}=(87500\pm 800)\ (мм^2) $$ Абсолютная погрешность определения объема: $$ \triangle V=d\cdot\frac{S_{пов}}{2}=0,5\cdot\frac{87452}{2}=21863\ (мм^3)\approx 22000\ (мм^3) $$ Полученную величину объема также округляем до тысяч. Получаем: $$ V=(1025000\pm 22000)\ (мм^3) $$
Относительные погрешности (округляем до двух значащих цифр с избытком): \begin{gather*} \delta_{S_{пов}}=\frac{\triangle S_{пов}}{S_{пов}}\cdot 100\text{%}=\frac{800}{87500}\cdot 100\text{%} \approx 0,92\text{%}\\ \delta_v=\frac{\triangle V}{V}\cdot 100\text{%}=\frac{22000}{1025000}\cdot 100\text{%}\approx 2,2\text{%} \end{gather*} Измеряем толщину книги между обложками: \(h=23\ мм\)
Количество страниц в книге \(N=688\)
Количество листов в 2 раза меньше. Получаем толщину одного листа: $$ t=\frac{h}{N/2}=\frac{2h}{N}=\frac{2\cdot 23}{688}\approx 0,0669\ (мм)=66,9\ (мк) $$ Количество листов – величина точная, без погрешностей.
Абсолютная погрешность для толщины листа зависит только от \(\triangle h\): $$ \triangle t=\frac 2N\triangle h=\frac 2N d=\frac{2}{688}\cdot 0,5\approx 0,0015\ (мм)=1,5\ (мк) $$ Толщина листа: $$ t=(66,9\pm 1,5)\ мк $$ Относительная погрешность: $$ \delta_t=\frac{\triangle t}{t}\cdot 100\text{%}=\frac{1,5}{66,9}\cdot 100\text{%}\approx 2,3\text{%} $$

Выводы
На основании проделанной работы можно сделать следующие выводы.

Измерения проводились с помощью линейки с инструментальной погрешностью \(d=0,5\ мм\).
Получена площадь поверхности книги $$ S_{пов}=(87500\pm 800)\ мм^2,\ \ \delta_{S_{пов}}\approx 0,92\text{%} $$ Объем книги: $$ V=(1025000\pm 22000)\ мм^3,\ \ \delta_V\approx 2,2\text{%} $$ Определяя толщину листа, мы использовали способ рядов и увеличили абсолютную точность измерений от 0,5 мм до 1,5 мк. Толщина листа: $$ t=(66,9\pm 1,5)\ мк,\ \ \delta_t\approx 2,3\text{%} $$ С наибольшей точностью определена площадь поверхности, т.к. для нее относительная погрешность меньше всех.
С наименьшей относительной точностью определена толщина листа, зато абсолютная точность для этой величины очень высока – 1,5 микрона.

п.2. Лабораторная работа №2. Измерение времени с помощью секундомера. Погрешность серии прямых измерений

Цель работы
Научиться измерять время с помощью секундомера, определять абсолютную и относительную погрешность величины, полученной в серии прямых измерений.

Теоретические сведения

При отклонении математического маятника на малые углы (до 20°) период его колебаний \(T\) остается постоянной величиной. В действительности колебания постепенно затухают, но при достаточно длинной нити и тяжелом грузике, затухания происходят медленно.

Приборы и материалы
Секундомер, штатив, грузик на длинной нитке (не менее 50 см).

Ход работы
1. Закрепите нитку с грузиком в лапке штатива, как показано на рисунке.

2. Определите цену деления секундомера.
3. Отклоните грузик на небольшой угол, отпустите его и с помощью секундомера измерьте время, за которое маятник совершит 10 полных колебаний.
4. Повторите опыт 5 раз.
5. С помощью алгоритма определения истинного значения и абсолютной погрешности в серии измерений (см. §3 данного справочника) найдите точное значение и абсолютную погрешность времени 10 колебаний.
6. Найдите точное значение и абсолютную погрешность периода колебаний \(T\), рассчитайте относительную погрешность результата измерений.
7. Сделайте выводы о проделанной работе.

Результаты измерений и вычислений

Определение цены деления секундомера

Два ближайших пронумерованных деления на основной шкале: \begin{gather*} a=5\ с\\ b=10\ с \end{gather*} Между ними находится 4 средних деления, а между каждыми средними делениями еще 4 мелких. Итого: 4+4·5=24 деления. Цена деления: \begin{gather*} \triangle=\frac{b-a}{n+1}\\ \triangle=\frac{10-5}{24+1}=\frac15=0,2\ c \end{gather*}

Инструментальная погрешность секундомера равна половине цены деления: \(d=\frac{\triangle}{2}=0,1\ c\)

Измерения времени 10 колебаний

Найдем среднее время для 10 колебаний: \begin{gather*} t_0=\frac{15,3+14,9+15,2+15,5+15,1}{5}=\frac{76,0}{5}=15,2\ (c) \end{gather*} Принимаем среднее время за истинное значение измеряемой величины.
Найдем абсолютные отклонения каждого измерения от \(t_0\): $$ \triangle_1=|15,3-15,2|=0,1;\ \ \triangle_2=|14,9-15,2|=0,3\ \text{и т.д.} $$ Среднее абсолютное отклонение: $$ \triangle_{cp}=\frac{0,1+0,3+0+0,3+0,1}{5}=\frac{0,8}{5}=0,16\ (c) $$ Среднее абсолютное отклонение больше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ \triangle t=max\left\{d;\triangle_{cp}\right\}=max\left\{0,1;0,16\right\}=0,16\ \text{c} $$ Результат измерения времени 10 колебаний: \begin{gather*} t=t_0\pm\triangle t,\ \ t=(15,20\pm 0,16)\ c \end{gather*} Период колебаний в 10 раз меньше: $$ T=\frac{1}{10}(t_0\pm\triangle t),\ \ T=(1,520\pm 0,016)\ c $$ Относительная погрешность измерений: $$ \delta_T=\frac{\triangle T}{T_0}\cdot 100\text{%}=\frac{0,016}{1,520}\cdot 100\text{%}\approx 1,1\text{%} $$

Выводы
На основании проделанной работы можно сделать следующие выводы.

Измерения проводились с помощью секундомера, для которого была определена цена деления \(\triangle=0,2\ с\) и соответствующая инструментальная погрешность \(d=\frac{\triangle}{2}=0,1\ с\).
В данном случае абсолютная погрешность может быть заметно больше инструментальной, и поэтому для ее определения потребовалась серия экспериментов.
Полученный в серии из 5 экспериментов результат измерения времени 10 колебаний: $$ t=(15,20\pm 0,16)\ c $$ Искомый период колебаний маятника: $$ T=(1,520\pm 0,016)\ c,\ \ \delta_T=1,1\text{%} $$