Давление твердых тел

п.1. Опора

По определению, вес тела – это сила, с которой тело действует на подвес или опору (см. §22 данного справочника). В свою очередь, в подвесе или опоре возникают силы реакции, которые по своей природе являются силами упругости и уравновешивают нагрузку.

Практически все тела вокруг нас на что-то «опираются»: опорой для фундамента дома служит грунт, опорой для стен – фундамент, опорой для плит перекрытий – стены, опорой для настила пола – плита перекрытия, опорой для стола – пол, опорой для компьютера – стол, ну, и опорой для пыли – компьютер.

Не обязательно сила, действующая на опору, будет силой тяжести, направленной вертикально вниз. Ветер оказывает на здания и сооружения в основном горизонтальное воздействие. А используемые в различных механизмах распорки могут действовать на опоры за счет сил упругости не только горизонтально, но и под любыми другими углами, если необходимо.

п.2. Сила давления и давление

На рисунке девушка опирается на пол и стену в трёх различных точках; поэтому моделируем её действие на опоры с помощью трёх сил давления, каждая из которых направлена перпендикулярно опоре. Если девушка снимет обувь на каблуках и примет ту же позу, силы давления останутся такими же. Однако, опыт подсказывает, что от каблуков на стенах и на полу могут остаться вмятины и трещины, а от босых ног – вряд ли. Значит, результат действия силы давления на опору может быть разным, в зависимости от площади соприкосновения. Эти различия настолько важны, что для их описания в физике вводится специальная величина – давление.

Давление – скалярная величина, имеющая только числовое значение.

А сила давления – векторная величина, имеющая не только числовое значение, но и направление – перпендикулярно поверхности, на которую она действует.

Чем больше площадь опоры, тем меньшим будет давление при той же приложенной силе. Благодаря этому, можно передвигаться по рыхлой поверхности снега на лыжах.

Чем меньше площадь опоры, тем большим будет давление при той же приложенной силе. Поэтому, тонким, но крепким ножом можно даже железо резать.

п.3. Единицы измерения давления

В системе СИ (см. §2 данного справочника) сила измеряется в ньютонах, площадь – в квадратных метрах. А для измерения давления используется «паскаль».

На практике могут использоваться и другие внесистемные единицы, например:
1 атм – атмосфера;
1 мм рт.ст. – миллиметр ртутного столба;
1 кгс – килограмм-сила и т.д.

п.4. Задачи

Задача 1. Площадь ступни человека 180 см². Какое давление создает человек массой 70 кг, если он стоит на обеих ногах?

Дано:
\(S=180\ \text{см}^2=0,018\ \text{м}^2\)
\(m=70\ \text{кг}\)
\(g\approx 10\ \text{м/с}^2\)
__________________
\(p-?\)

Сила давления, с которой человек давит на опору, равна силе тяжести: \(F=mg\)
Давление равно отношению силы тяжести к удвоенной площади стопы (человек стоит на двух ногах): $$ p=\frac{P}{2S}=\frac{mg}{2S} $$ Получаем: $$ p=\frac{70\cdot 10}{2\cdot 0,018}\approx 19444\ (\text{Па})\approx 19,4\ (\text{кПа}) $$ Ответ: ≈19,4 кПа

Задача 2. Площадь стопы слона 700 см². Стоя на четырех ногах, он создает давление 107 кПа. Какова масса слона (в тоннах)?

Дано:
\(S=700\ \text{см}^2=0,07\ \text{м}^2\)
\(p=107\ \text{кПа}=1,07\cdot 10^5\ \text{Па}\)
\(g\approx 10\ \text{м/с}^2\)
__________________
\(m-?\)

Сила давления, с которой слон давит на опору, равна силе тяжести: \(F=mg\)
Давление, если слон стоит на четырех ногах: $$ p=\frac{F}{4S}=\frac{mg}{4S} $$ Откуда масса слона: $$ m=\frac{4pS}{g} $$ Получаем: $$ m=\frac{4\cdot 10,7\cdot 10^5\cdot 0,07}{10}=2996\ (\text{кг})\approx 3\ (\text{т}) $$ Ответ: ≈3 т

Задача 3. Масса охотника со снаряжением 120 кг. Рассчитайте для него ширину лыж длиной 1,6 м, если снег не проваливается при давлении до 5 кПа. Учтите, что опора может быть на одну лыжу. Ответ запишите в сантиметрах.

Дано:
\(m=120\ \text{кг}\)
\(g\approx 10\ \text{м/с}^2\)
\(a=1,6\ \text{м}\)
\(p=5\ \text{кПа}=5\cdot 10^3\ \text{Па}\)
__________________
\(b-?\)

Считаем поверхность лыжи прямоугольной. Площадь поверхности одной лыжи \(S=ab\)
Сила давления равна силе тяжести: \(F=mg\)
Давление охотника на снег на одной лыже $$ p=\frac{F}{S}=\frac{mg}{ab} $$ Откуда ширина лыжи $$ b=\frac{mg}{ap} $$ Получаем: $$ b=\frac{120\cdot 10}{1,6\cdot 5\cdot 10^3}=0,15\ (\text{м})=15\ (\text{см}) $$ Ответ: 15 см

Задача 4. Лист стекла, лежащий на полу, оказывает на него давление 200 Па. Какова толщина листа, если плотность стекла 2500 кг/м³? Ответ укажите в миллиметрах.

Дано:
\(p=200\ \text{Па}\)
\(\rho=2500\ \text{кг/м}^3\)
\(g\approx 10\ \text{м/с}^2\)
__________________
\(h-?\)

Пусть лист имеет длину \(a\) и ширину \(b\). Тогда его площадь \(S=ab\), объем \(V=abh\).
Масса листа \(m=\rho V=\rho\cdot abh\)
Давление листа на пол $$ \rho=\frac{mg}{S}=\frac{\rho\cdot abh\cdot g}{ab}=\rho hg $$ Откуда толщина листа $$ h=\frac{p}{\rho g} $$ Получаем: $$ h=\frac{200}{250\cdot 10}=8\cdot 10^{-3}\ (\text{м})=8\ (\text{мм}) $$ Ответ: 8 мм

Задача 5*. На столе стоят два куба из одного и того же материала. Длина ребра одного куба в 2 раза больше, чем длина ребра другого. Какой куб оказывает большее давление на стол и во сколько раз?

Пусть ребро меньшего куба равно \(a\). Тогда у большего куба оно равно \(2a\).
Площадь грани меньшего куба \(S_1=a^2\), объем \(V_1=a^3\).
Масса меньшего куба \(m_1=\rho V_1=\rho a^3\).
Давление меньшего куба на опору $$ p_1=\frac{m_1g}{S_1}=\frac{\rho a^3g}{a^2}=\rho ag $$ Аналогично, для большего куба \begin{gather*} S_2=(2a)^2=4a^2,\ \ V_2=(2a)^3=8a^3,\ \ m_2=\rho V_2=8\rho a^3\\[7px] p_2=\frac{m_2g}{S_2}=\frac{8\rho a^3g}{4a^2}=2\rho ag \end{gather*} Получаем: $$ \frac{p_2}{p_1}=2 $$ Давление большего куба больше в 2 раза.
Ответ: больший куб; в 2 раза

Задача 6*. Полый медный куб с длиной ребра 10 см оказывает на стол давление 5 кПа. Найдите объем полости, если плотность меди равна 8900 кг/м³. Ответ запишите в кубических сантиметрах.

Дано:
\(a=10\ \text{см}=0,1\ \text{м}\)
\(g\approx 10\ \text{м/с}^2\)
\(p=5\ \text{кПа}=5\cdot 10^3\ \text{Па}\)
\(\rho=8900\ \text{кг/м}^3\)
__________________
\(V_0-?\)

Объем куба \(V=a^3\). Этот объем является суммой объема полости и объема вещества: $$ V=V_0+V_m $$ Объем вещества: $$ V_m=\frac{m}{\rho} $$ Давление куба на опору: $$ p=\frac{mg}{S}=\frac{mg}{a^2}\Rightarrow m=\frac{pa^2}{g} $$ Получаем: \begin{gather*} V_0=V-V_m=a^3-frac{m}{\rho}=a^3-\frac{pa^2}{\rho g}\\[7pt] V_0=a^2\left(a-\frac{p}{\rho g}\right) \end{gather*} Подставляем: $$ V_0=0,1^2\left(0,1-\frac{5\cdot 10^3}{8900\cdot 10}\right)\approx 4,38\cdot 10^{-4}\ (\text{м}^3)=438\ (\text{см}^3) $$ Ответ: 438 см³

Задача 7*. Говорят, что йоги практикуют своеобразный «отдых» на доске, утыканной гвоздями. Рассчитайте, сколько гвоздей понадобится йогу, чтобы безопасно лечь на доску, если острие каждого гвоздя имеет площадь 0,1 мм², масса йога 70 кг, а кожа человека способна выдерживать давление до 3 МПа. Ответ округлите с избытком до целых.

Дано:
\(s_0=1\ \text{мм}^2=10^{-6}\ \text{м}^2\)
\(m=70\ \text{кг}\)
\(p=3\cdot 10^6\ \text{Па}\)
\(g\approx 10\ \text{м/с}^2\)
__________________
\(N-?\)

Общая площадь \(N\) гвоздей \(S=N_{S0}\)
Давление гвоздей на кожу $$ p\frac FS=\frac{mg}{N_{S0}} $$ Откуда необходимое количество гвоздей $$ N=\frac{mg}{p_{S0}} $$ Получаем: \begin{gather*} N=\frac{70\cdot 10}{3\cdot 10^6\cdot 10^{-6}}\approx 233,3\approx 234 \end{gather*} Ответ: 234 гвоздя