Атмосферное давление и его измерение

п.1. Опыт Торричелли

История открытия атмосферного давления тесно связана с объяснением действия насосов.

Простейшие насосы были известны еще со времен Аристотеля, который утверждал, что вода поднимается за поршнем потому, что «природа не терпит пустоты». Однако при сооружении фонтанов во Флоренции в 1638 г. оказалось, что вода поднимается чуть выше 10 м в трубе высотой 12 м и останавливается, сколько бы её ни качали, не заполняя оставшуюся в трубе «пустоту».

Галилео Галилей, к которому обратись за помощью, предложил разобраться с этой проблемой своему ученику – Эванджелиста Торричелли. После серии опытов Торричелли пришел к выводу: вес водяного столба в трубе насоса поддерживается давлением воздуха, действующего на свободную поверхность воды в резервуаре.

Поскольку речь шла о столбе жидкости, возникла замечательная идея: плотность ртути в 13,6 раз больше плотности воды, следовательно, ртутный столб таким же весом будет в 13,6 раз короче и можно перейти от громоздких опытов на стройплощадке к лабораторным исследованиям.

Для опыта понадобились: 1) стеклянная трубка длиной 1 м, запаянная с одного конца; 2) колба с ртутью; 3) широкая чашка. Описание опыта Торричелли: Наливаем ртуть в трубку до уровня 85-90 см. Немного ртути наливаем в чашку (высота над дном чашки 2-3 см). Зажимаем пальцем конец трубки, опускаем конец в чашку, под ртуть. Отпускаем палец. Немного ртути вытекает из трубки в чашку. Столб оставшейся ртути равен примерно 760 мм над уровнем ртути в чашке.

Заметим, что такое неосторожное обращение с опаснейшим веществом вызывает сегодня недоумение. Однако техника безопасности при работе с ртутью была в те времена не на высоте. Вероятно, именно из-за этих опытов Торричелли прожил всего 39 лет.

На основании полученных результатов Торричелли пришел к следующему выводу:
Давление столба ртути уравновешивает атмосферное давление на поверхность ртути в чашке: \(p_\text{ртути}=p_\text{атм}\). Поэтому, измеряя высоту ртутного столба, мы узнаем атмосферное давление.

«Мы живем на дне воздушного океана». Эванджелиста Торричелли (1608-1647), итальянский математик и физик

Идеи о том, что планету окружает атмосфера, воздух имеет вес и оказывает давление на поверхность Земли, были достаточно смелыми, и понадобилось некоторое время, чтобы их приняли современники.

п.2. Эксперименты Отто фон Герике

В 1654 году Отто фон Герике провел в Магдебурге масштабный эксперимент для демонстрации силы давления воздуха и изобретенного им воздушного насоса.

Вот как сам Герике описывал этот опыт:

«Я заказал два медных полушария диаметром в три четверти магдебургского локтя. К одному полушарию приделали кран, через который можно было выкачивать воздух с помощью воздушного насоса. К полушариям прикрепили кольца и продели в них канаты, привязанные к упряжи лошадей. Я велел соединить полушария, чтобы образовался шар, и вложить между полушариями кожаное кольцо, пропитанное смесью воска со скипидаром, - оно не пропускало воздух внутрь полушарий.

Когда воздух из полушарий выкачали, давление наружного воздуха прижало их друг к другу так сильно, что 16 лошадей не могли разнять их. Но стоило поворотом крана открыть доступ воздуху внутрь полушарий – и их можно было разнять руками».

Опыт с магдебургскими полушариями стал убедительным доказательством существования, как атмосферы, так и вакуума – безвоздушной «пустоты» внутри полушарий.

В 1657 году Герике построил водяной барометр, с помощью которого в 1660 году предсказал надвигающуюся бурю за 2 часа до её появления. В 1663 году изобрел электростатический генератор, изучал свойства электричества, описал отталкивание одноименно заряженных предметов. Будучи сторонником гелиоцентрической системы, занимался также астрономией.

Герике был выдающимся ученым, инженером, мыслителем и общественным деятелем своей эпохи. Как ученый, он особо подчеркивал важность эксперимента для формирования научного знания.

«Философы, которые держатся исключительно за свои умозрения и аргументы, оставляя в стороне опыт, никогда не могут прийти к достоверным и справедливым выводам относительно явлений внешнего мира, и мы видим немало примеров, что человеческий разум, когда он не обращает внимания на результаты, добытые опытом, оказывается от истины дальше, чем Земля от Солнца». Отто фон Герике (1602-1686), немецкий физик, инженер и философ

п.3. Как взвесить воздух в школьной лаборатории?

Опыты Торричелли и Герике являются доказательством того, что воздух имеет вес.

В школьной лаборатории, используя несложное оборудование, можно также взвесить воздух. Для этого понадобятся:

1) прочная стеклянная колба; 2) пробка с трубкой и зажимом; 3) насос; 4) весы

Закроем колбу пробкой, уравновесим её на весах гирями

Насосом откачаем воздух из колбы

Вновь взвесим колбу. Равновесие нарушилось.

Вывод: Отклонение стрелки весов равно массе откачанного воздуха.

п.4. Измерение атмосферного давления с помощью барометров

Еще в XVII веке, измеряя атмосферное давление по высоте ртутного или водного столба, исследователи заметили, что оно не остается постоянным: перед хорошей погодой давление растет, а перед ненастьем – падает. Значит, по изменению атмосферного давления можно достаточно уверенно предсказывать погоду. В эпоху освоения новых океанов и континентов такое умение было бесценным для моряков и путешественников.

Так появились барометры – приборы для измерения атмосферного давления.

Жидкостные барометры

Самые простые барометры – жидкостные, в которых давление измеряется высотой столба жидкости: $$ p_\text{атм}=\rho gh $$ Ртутный барометр с трубкой длиной 1 м и миллиметровой шкалой был предложен Торричелли. Носить такой прибор с собой затруднительно из-за его размеров, к тому же ртуть ядовита, а вероятность вытекания высока. Водные барометры в различных городах строили Герике, Паскаль и многие другие ученые; основным элементом этих приборов была труба длиной 11-12 м. Это были капитальные сооружения, пользоваться которыми можно было только на месте постройки.

Барометры-анероиды

Первый барометр-анероид («анероид» означает «безводный») был сконструирован французским инженером Люсьеном Види в 1844 г. Основная часть анероида – это цилиндрическая металлическая коробка 1 с концентрически-гофрированными (для большей подвижности центра) основаниями, внутри которой создано разрежение (сильфон). При повышении атмосферного давления коробка сжимается и тянет прикреплённую к ней пружину 2 (мембрану), а при понижении давления коробка раздувается, толкая пружину. Перемещение конца пружины через систему рычагов 3 передаётся на стрелку 4, перемещающуюся по шкале. Шкала анероида обычно проградуирована в мм рт.ст. и гектопаскалях. По сравнению с жидкостными барометрами, анероиды стали существенно меньшими по размерам, удобными и безопасными.

Электронные барометры

В наше время широко применяются электронные барометры. В них может быть вмонтирована традиционная гофрированная коробка с дальнейшей обработкой деформаций с помощью микропроцессора. Выпускаются также электронные барометры без коробки с электронным датчиком давления. Модуль измерения атмосферного давления на основе датчика BMP-280 от BOSCH (цена менее $2) Результаты измерений выводятся на экран прибора в мм рт.ст. или в гектопаскалях (показания красным цветом на приборе, представленном на рисунке – 1013,9 гПа). Как правило, электронные барометры исполняются в одном корпусе с другими измерительными приборами (времени, температуры, влажности, освещенности) для создания мини-станций слежения за погодой. Показания таких мини-станций можно получать удаленно на мобильный телефон.

п.5. Атмосферное давление на различных высотах

Воздух имеет массу, следовательно, он имеет вес и оказывает давление на поверхность под ним. Плотность воздуха очень сильно зависит от его температуры и влажности, а также от высоты над уровнем моря.

Как известно, расстояние между молекулами газа в несколько раз больше размера молекул, поэтому газы хорошо сжимаются (см. §16 данного справочника). В результате слои атмосферы у поверхности Земли, сжатые всеми слоями, расположенными выше, имеют большую плотность. Чем больше плотность газа, тем чаще молекулы сталкиваются между собой и различными поверхностями, т.е. тем большее давление газ создаёт.
Получается, что давление атмосферы наибольшее у поверхности Земли и постепенно уменьшается с высотой.

Атмосферное давление на различных высотах над уровнем моря

У поверхности Земли на уровне моря плотность сухого воздуха при 15°С равна 1,2250 кг/м³.

Масса одного кубометра такого воздуха \(m=1,2250\ \text{кг}\), а его вес \(P=mg\approx 12\ \text{Н}\).

Давление столба воздуха высотой 1 м: \(p\approx 12\ \text{Па}\).

Давление столба воздуха высотой 1 км без учета изменения плотности: \(p_1\approx 12\ \text{кПа}\).

Давление столба воздуха всей атмосферы, измеренное на поверхности Земли: $$ p_\text{атм}=101,3\ \text{кПа} $$

Можем оценить высоту этого столба, не учитывая изменение давления с высотой $$ h=\frac{p_\text{атм}}{\rho g}=\frac{101\ 300}{1,2250\cdot 9,8}\approx 8400\ (\text{м})=8,4\ (\text{км}) $$

Если мы поднимемся на 1 км вверх, давление уменьшится на $$ p_1\approx 12\ \text{кПа}\approx 90\ \text{мм рт.ст.} $$

Эта величина неточная, но она может использоваться для быстрой оценки уменьшения давления с ростом высоты.

С другой стороны, зная более точную зависимость давления от высоты, можно построить прибор, который будет измерять давление, а показывать высоту. Такие приборы называют высотомерами (альтиметрами). Их используют в авиации, космонавтике и для высокогорных экспедиций.

п.6. Задачи

Задача 1. Скольким паскалям равно атмосферное давление в 730 мм рт.ст.? Выразите это давление в гектопаскалях. Какую погоду можно прогнозировать при таком давлении: ясную или пасмурную?

Дано:
\(h=730\ \text{мм}=0,73\ \text{м}\)
\(\rho=13600\ \text{кг/м}^3\)
\(g=9,8\ \text{м/с}^2\)
__________________
\(p-?\)

\begin{gather*} p=\rho gh,\\[7pt] p=13600\cdot 9,8\cdot 0,73=97294,4\ (\text{Па})\approx\ (\text{гПа}) \end{gather*} Это – пониженное давление. Можно прогнозировать пасмурную погоду.
Ответ: 973 гПа; прогноз – пасмурная погода

Задача 2. В эксперименте Отто фон Герике использовались медные полушария диаметром 35 см. Определите, сколько лошадей могут разорвать эти полушария, если один конец закрепить неподвижно на стене, а лошади будут тянуть другой конец с силой тяги \(800\ \text{Н}\) каждая. Площадь поверхности шара радиусом \(R\) рассчитывается по формуле \(S=4\pi R^2\). Давление атмосферы примите равным 760 мм рт.ст. Давление внутри шаров примите равным двум третям атмосферного (удавалось выкачать треть воздуха).
Сколько лошадей понадобится, если лошади будут тянуть с обеих сторон?

Дано:
\(D=35\ \text{см}=0,35\ \text{м}\)
\(F_0=800\ \text{Н}\)
\(p=760\ \text{мм рт.ст.}=101300\ \text{Па}\)
\(p_\text{вн}=\frac 23 p\)
__________________
\(N-?,\ N'-?\)

Площадь поверхности шара через диаметр $$ S=4\pi R^2=4\pi\cdot\left(\frac D2\right)^2=\pi D^2 $$ Сила давления на шар, составленный из полушарий $$ F=(p-p_\text{вн})S=\left(p-\frac 23 p\right)S=\frac 13p\cdot \pi D^2 $$ Если один конец закреплен, то понадобится \(N=\frac{F}{F_0}\) лошадей $$ N=\frac{p\cdot \pi D^2}{3F_0} $$ Получаем $$ N=\frac{101300\cdot \pi\cdot 0,35^2}{3\cdot 800}\approx 16 $$ Если лошади будут тянуть в оба конца, то их понадобится в 2 раза больше $$ N'=2N=32 $$ Таким образом, используя по 8 лошадей с каждой стороны, даже при несовершенных насосах и изоляции швов в XVII веке, Герике ничем не рисковал.
Ответ: 16; 32

Задача 3. Определите глубину шахты, если на ее дне барометр показывает давление 109 кПа, а на поверхности Земли – 104 кПа. Примите плотность воздуха равной 1,3 кг/м³, g≈10 м/с².

Дано:
\(p=109\cdot 10^3\ \text{Па}\)
\(p_0=104\cdot 10^3\ \text{Па}\)
\(\rho=1,3\ \text{кг/м}^3\)
\(g\approx 10\ \text{м/с}^2\)
__________________
\(h-?\)

Давление на дне равно сумме давления на поверхности и давления столба воздуха $$ p=p_0+\rho gh $$ Высота столба воздуха \begin{gather*} h=\frac{p-p_0}{\rho g} \end{gather*} Получаем: $$ h=\frac{(109-104)\cdot 10^3}{1,3\cdot 10}\approx 385\ (\text{м}) $$ Ответ: 385 м

Задача 4. Какова высота небоскреба, если у его входа барометр показывает 760 мм рт.ст., а на крыше – 740 мм рт.ст. Примите плотность воздуха равной 1,29 кг/м³.

Дано:
\(h_1=760\ \text{мм}=0,76\ \text{м}\)
\(h_2=740\ \text{мм}=0,74\ \text{м}\)
\(\rho_\text{рт}=13600\ \text{кг/м}^3\)
\(\rho=1,29\ \text{кг/м}^3\)
__________________
\(H-?\)

Давление на входе $$ p_1=\rho_\text{рт}gh_1, $$ давление на крыше $$ p_2=\rho_\text{рт}gh_2. $$ Давление на входе равно сумме давления на крыше и давления столба воздуха высотой \(H\). $$ p_1=p_2+\rho gH $$ Высота небоскреба \begin{gather*} H=\frac{p_1-p_2}{\rho g}=\frac{\rho_\text{рт}gh_1-\rho_\text{рт}gh_2}{\rho g}\\[7pt] H=\frac{\rho_\text{рт}}{\rho}(h_1-h_2) \end{gather*} Получаем $$ H=\frac{13600}{1,29}(0,76-0,74)\approx 211\ (\text{м}) $$ Ответ: 211 м

Задача 5*. В трубке, запаянной с верхнего конца, удерживается столбик ртути высотой 20 см. Атмосферное давление – 760 мм рт.ст. Каково давление воздуха в верхней части трубки? Выразите ответ в мм рт.ст. и гектопаскалях.
Примите g=9,8 м/c²



Дано:
\(h=20\ \text{см}=0,2\ \text{м}\)
\(h_0=760\ \text{мм}=76\ \text{см}\)
\(\rho=13600\ \text{кг/м}^3\)
\(g=9,8\ \text{м/с}^2\)
__________________
\(p-?\)

Если бы в верхней части не было воздуха, то высота столбика ртути определялась бы атмосферным давлением и равнялась бы 760 мм = 76 см.
В данном случае давление атмосферы уравновешивается суммой давления столбика ртути и давления воздуха вверху $$ p_\text{атм}=\rho gh+p $$ Давление воздуха вверху $$ p=p_\text{атм}-\rho gh=\rho gh_0-\rho gh=\rho g(h_0-h) $$ В миллиметрах ртутного столба $$ p=h_0-h=760-200=560\ \text{мм рт.ст.} $$ В гектопаскалях $$ p=13600\cdot 9,8\cdot 0,56=74636,8\ (\text{Па})\approx 746\ (\text{гПа}) $$ Ответ: 560 мм рт.ст.; 746 гПа