Взаимно обратные функции

Функция, обратная данной

По определению (см. §34 справочника для 7 класса)

Пусть некоторое соответствие задано таблицей:

Множество значений X = {-4;-3;…;4} отображается в множество значений Y = {-2;-1,5;…;2}: $X \xrightarrow{f} Y$. При этом каждому значению x соответствует единственное значение y, т.е., данное соответствие f является функцией.

С другой стороны, мы можем рассмотреть обратное отображение $Y \xrightarrow{g} X$, заданное той же таблицей. При этом каждому значению y соответствует единственное значение x, т.е., обратное соответствие $g = f^{-1}$ также является функцией.

Например: аналитическое выражение для функции $X \xrightarrow{f} Y$, заданной таблицей $y = f(x) = \frac{x}{2}$. Обратное соответствие $Y \xrightarrow{g} X$ также является функцией x = g(y) = 2y.

Функция g - обратная функция к f.

В общем случае формулы функций записывают в виде y(x). При такой записи, функции $y = \frac{x}{2}$ и y=2x являются взаимно обратными.

Алгоритм вывода формулы функции, обратной данной

На входе: множества X и Y, для которых оба соответствия $X \xrightarrow{f} Y$ и $Y \xrightarrow{g} X$ являются функциями.

Шаг 1. В формуле для исходной функции заменить обозначения аргумента и значения: $x \rightarrow y$, $y \rightarrow x$.

Шаг 2. Из полученной формулы выразить y(x). Искомое выражение для обратной функции найдено.

Шаг 3. Учесть ограничения для области определения и области значений исходной и/или обратной функций.

Например:

1) Пусть исходная функция $y = \frac{x}{2}$

Шаг 1. Меняем аргумент и значение: $x = \frac{y}{2}$

Шаг 2. Находим y из полученной формулы: y = 2x - искомая обратная функция

Шаг 3. Ограничений на x и y нет

2) Пусть исходная функция y = -2x+3

Шаг 1. Меняем аргумент и значение: x = -2y+3

Шаг 2. Находим y из полученной формулы: $y = \frac{-x+3}{2}$ - искомая обратная функция

Шаг 3. Ограничений на x и y нет

3) Пусть исходная функция $y = \sqrt{x+1}$

Шаг 1. Меняем аргумент и значение: $x = \sqrt{y+1}$

Шаг 2. Находим y из полученной формулы: $y = x^2-1$ - искомая обратная функция

Шаг 3. На исходную функцию накладываются ограничения

на $x:x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$, на $y:y \ge 0$

Тогда исходная функция определяется на множествах $y \ge -1$, $x \ge 0$

4) Пусть исходная функция $y = 2x^2+1$

Шаг 1. Меняем аргумент и значение: $x = 2y^2+1$

Шаг 2. Находим y из полученной формулы: $y = \sqrt{\frac{x-1}{2}}$ - искомая обратная функция

Шаг 3. На обратную функцию накладываются ограничения

на $x:x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$, на $y:y \ge 0$

Тогда исходная функция определяется на множествах $y \ge 1$, $x \ge 0$

Исходная функция — парабола получает ограничения из-за обратной функции; только в этом случаи функции будут взаимно обратными.

Свойства взаимно обратных функций

Пусть f и g - взаимно обратные функции. Тогда:

1. Область определения функции f является областью значений функции g, а область значений функции f является областью определения функции g.

2. Функции f и g либо одновременно возрастающие, либо одновременно убывающие.

3. Если f - нечётная, то и g - нечётная.

4. Графики f и g симметричны относительно биссектрисы 1-й четверти y = x.

5. Справедливы тождества f(g(x) ) = x и g(f(x) ) = x.

Например:

Графики пар взаимно обратных функций, найденных выше:

Примеры

Пример 1. Задайте формулой функцию, обратную данной.

а) y = 5x-4

Меняем аргумент и значение: x = 5y-4

Получаем: $y = \frac{x+4}{5}$ - искомая обратная функция

б) y = -3x+2

Меняем аргумент и значение: x = -3y+2

Получаем: $y = \frac{-x+2}{3}$ - искомая обратная функция

в) y = 4x+1, где $-1 \le x \le 5$

Меняем аргумент и значение: x = 4y+1

Получаем: $y = \frac{x-1}{4}$

Требуем, чтобы: $-1 \le y \le 5 \Rightarrow -1 \le \frac{x-1}{4} \le 5 \Rightarrow -4 \le x-1 \le 20 \Rightarrow -3 \le x \le 21$

Итак, искомая обратная функция: $y = \frac{x-1}{4}$, где -3 $\le x \le 21$

г) $y=- \frac{1}{2} x+7$, где $2 \le x \le 9$

Меняем аргумент и значение: $x=-\frac{1}{2} y+7$

Получаем: y = 2(-x+7) = -2x+14

Требуем, чтобы: $2 \le y \le 9 \Rightarrow 2 \le -2x+14 \le 9 \Rightarrow -12 \le -2x \le -5 \Rightarrow$

$6 \ge x \ge 2,5 \Rightarrow 2,5 \le x \le 6$

$y = -2x+14,где 2,5 \le x \le 6$ - искомая обратная функция

Пример 2. Найдите функцию, обратную данной.

Постройте график исходной и обратной функции в одной системе координат.

а) $y=x^2,x \le 0$ Обратная функция $x = y^2 \Rightarrow y = \pm \sqrt{x}$ При этом $y \le 0$ Поэтому выбираем $y = - \sqrt{x}$ – искомая обратная функция
б) y = x-3, $-1 \le x \le 4$ Обратная функция $x = y-3 \Rightarrow y = x+3$ При этом $-1 \le y \le 4 \Rightarrow -1 \le x+3 \le 4$ $\Rightarrow -4 \le x \le 1$ y = x+3, $-4 \le x \le 1$ - искомая обратная функция
в) $y = \frac{1}{x+1} $ Обратная функция $x = \frac{1}{y+1} \Rightarrow y = \frac{1}{x} -1$
г) $y = 1+ \sqrt{x-3}$ Область определения: $x \ge 3$ Область значений: $y \ge 1$ Обратная функция: $x = 1+ \sqrt{y-3} \Rightarrow y = (x-1)^2+3$ Область определения: $x \ge 1$ Область значений: $y \ge 3$