Высказывания и предикаты. Кванторы
п.1. Высказывания
Например:
«Число 13 – нечётное» – высказывание, истинное
«2 + 2 = 5» – высказывание, ложное
«Мы живём в XXI веке» – высказывание, истинное
«Который час?» – не высказывание, т.к. вопросительное предложение
«Вася Пупкин – хороший человек» – не высказывание, т.к. неоднозначно. Но, если определить множество людей, которые оцениваются, и правила их оценки так, что предложение приобретёт однозначность, оно станет высказыванием.
Например:
A: натуральное число a делится на 2;
B: натуральное число a чётное.
Заметим, немного забегая наперёд, что в данном случае из А следует В, и из В следует А. Говорят, что эти высказывания эквивалентны: A ⇔ B.
п.2. Предикаты
Предикат P(x) является функцией, которая определена на некотором множестве значений {x}, и ставит ему в соответствие два значения {0; 1} – истина или ложь.
Например:
P(x): x – объект с четырьмя ногами
При x = слон – предикат становится истинным высказыванием, P("слон" )=1
При x = муравей – предикат становится ложным высказыванием, т.к. у муравья 6 ног, P(муравей)=0
При x = стол – предикат становится истинным высказыванием, P("стол" )=1
При x = человек – предикат становится ложным высказыванием, т.к. у человека 2 ноги, P(человек)=0
Предикат, который при любых значениях переменной, является истинным, называют тождественным предикатом или тождеством.
Например:
P(x):|x| ≥ 0 – выполняется при любом значении x, это тождественный предикат.
\(\mathrm{P(x)=1,\ \forall x\in \mathbb{R}}\)
Например:
P(x, y): x делится на y – двуместный предикат, который становится истинным высказыванием на парах значений переменных (15;5), (14;7), (16;4) и т.д.
P(a, b):(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 – является тождественным двуместным предикатом, т.к. выполняется для любых a и b.
п.3. Кванторы
Всеобщности
∀
«для любого…», «для всех…», «любой…»
Существования
∃
«существует…», «найдётся…»
Единственности и существования
∃!
«существует точно одно такое, что…», «существует и единственно…»
Например:
Существуют натуральные числа, которые делятся на 13
\(\mathrm{(\exists x\in \mathbb{N})x : 13}\)
Например x = 26
Существуют треугольники, у которых все углы равны
(∃ΔABC) ∠A = ∠B = ∠C
Например, равносторонний треугольник со стороной 1
Например:
Любое натуральное число делится на 5
\(\mathrm{(\forall x\in \mathbb{N})x : 5}\)
Например x = 6 на 5 не делится
У любого выпуклого четырехугольника диагонали перпендикулярны
(∀ABCD) AC ⊥ BD
Например, у прямоугольника со сторонами 3 и 4 угол между диагоналями ≈ 74° ≠ 90°
Например:
Разность квадратов двух любых выражений равна произведению суммы и разности
\(\mathrm{(\forall x,y)x^2-y^2=(x+y)(x-y)}\)
Сумма углов любого треугольника равна 180°.
(∀ABC) ∠A + ∠B + ∠C = 180°
Третий класс задач (теорема) – самый сложный, т.к. требует не просто одного примера, а доказательства в общем случае.
п.4. Примеры
Пример 1. Запишите по два высказывания (A – истинное, B – ложное), относящиеся к
а) физике
A: Плотность равна отношению массы тела к его объему.
B: КПД механизма может быть больше 1.
б) химии
A: Гидроксид натрия – сильное основание.
B: Сульфат натрия – нерастворимая соль.
в) географии
A: На Земле шесть материков.
B: На Земле три океана.
Пример 2. Запишите по два предиката, относящиеся к
а) физике
A(h): Потенциальная энергия прямо пропорциональна высоте h.
B(v): Сила лобового сопротивления прямо пропорциональна квадрату скорости v2.
б) химии
A(x,y): Между основанием x и кислотой y проходит реакция нейтрализации.
B(x): Металл x вытесняет водород из HCl.
в) географии
A(x,y,z): День x является днём y солнцестояния в z полушарии.
B(x,y): Река x впадает в море y.
Пример 3. С каким из кванторов предикат x2 + 4 = 12 станет истинным высказыванием?
Если запишем (∀x) x2 + 4 = 12 – это ложное высказывание, т.к., например, при x=0 оно не выполняется.
Если запишем (∃x) x2 + 4 = 12 – это истинное высказывание, т.к., например, при \(\mathrm{x=2\sqrt{2}}\), оно выполняется.
Если запишем (∃x!) x2 + 4 = 12 – это ложное высказывание, т.е. решений у данного уравнения не одно, а два: \(\mathrm{x_{1,2}=2\sqrt{2}}\)
Ответ: квантор существования ∃.
Пример 4. Найдите область истинности предиката: $$ P(x):\ \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x^2-11x+28\geq 0} & \\ \mathrm{x^2-11x+18\lt 0} & \end{array}\right. $$ Решаем систему: $$ \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{(x-4)(x-7)\geq 0} & \\ \mathrm{(x-2)(x-9)\lt 0} & \end{array}\right. $$ 
Область истинности предиката: x ∈ (2;4] ∪ [7;9)
P(x) = 1 приx ∈ (2;4] ∪ [7;9)
