Уравнение с двумя переменными и его график. Уравнение окружности
п.1. Понятие уравнения с двумя переменными
Мы уже знакомы со многими функциями и умеем их записывать в виде формул:
y = 2x + 5 – прямая, y = 5x2 + 2x – 1 – парабола, \(\mathrm{y=\frac1x}\) – гипербола.
Если записать такое выражение: x2(x + y) = 1 – y – в нём тоже есть две переменные x и y, и постоянная 1.
В общем случае их принято записывать в виде F(x; y) = 0.
Для наших примеров:
F(x; y) = 2x – y + 5 = 0 – прямая
F(x; y) = 5x2 + 2x – y – 1 = 0 – парабола
F(x; y) = \(\mathrm{\frac1x}\) – y = 0 – гипербола
F(x; y)=x2(x + y) + y – 1 = 0 – некоторая кривая (график - ниже).
п.2. Обобщенные правила преобразования графика уравнения
Пусть F(x; y) = 0 – исходный график некоторой функции
Преобразование
Результат
F(–x; y) = 0
Симметричное отображение относительно оси OY
F(x; –y) = 0
Симметричное отображение относительно оси OX
F(–x; –y) = 0
Центральная симметрия относительно начала координат
F(x – a; y) = 0
a > 0
Параллельный перенос графика на a единиц вправо
F(x + a; y) = 0
a > 0
Параллельный перенос графика на a единиц влево
F(x; y – b) = 0
b > 0
Параллельный перенос графика на b единиц вниз
F(x; y + b) = 0
b > 0
Параллельный перенос графика на b единиц вверх
F(ax; y) = 0
a > 1
Сжатие графика к оси OY в a раз
F(ax; y) = 0
0 < a < 1
Растяжение графика от оси OY в $\frac{1}{a}$ раз
F(x; by) = 0
b > 1
Сжатие графика к оси OX в b раз
F(x; by) = 0
0 < b < 1
Растяжение графика от оси OX в \(\mathrm{\frac{1}{b}}\) раз
F(|x|; y) = 0
Зеркальное отображение в левой полуплоскости части графика \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{F(x;y)=0} & \\ \mathrm{x\gt y} & \end{array}\right. , \end{gather*}расположенного в правой полуплоскости.
F(x; |y|) = 0
Зеркальное отображение в нижней полуплоскости части графика \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{F(x;y)=0} & \\ \mathrm{y\gt y} & \end{array}\right. , \end{gather*}расположенного в верхней полуплоскости.
п.3. Уравнение окружности
Например:
Окружность с центром в точке O(2; 1) и радиусом R = 3 задаётся уравнением: $$ \mathrm{(x-2)^2+(y-1)^2=9} $$
п.4. Примеры
Пример 1. Постройте график уравнения:
а) 2x + 7y – 14 = 0
Выразим y из уравнения: \( \mathrm{y=\frac{-2x+14}{7}=-\frac{2}{x} + 2 } \) – это прямая
x
y
0
2
7
0
б) xy + 4 = 0
Выразим y из уравнения: \( \mathrm{y=\frac{-4}{x}} \) – это гипербола
в) ( x+ 2)2 + y2 = 4
Это – уравнение окружности с центром O(–2; 0), радиусом \( \mathrm{R=\sqrt{4}=2} \)
г) x2 + 5y – 2 = 0
Выразим y из уравнения: \( \mathrm{y=\frac{-x^2+2}{5}} \) – это парабола
Пример 2*. Постройте график уравнения:
а) 2|x| + 5y = 10
\( \mathrm{y=\frac{-2|x|+10}{5}=-\frac25|x|+2} \)
Строим график для \( \mathrm{x\gt 0: y=-\frac25 x+2} \), а затем отражаем его относительно оси OY в левую полуплоскость.
б) 3x + |y| = 6
|y| = –3x + 6
Строим график для y > 0: y = –3x + 6, а затем отражаем его относительно оси OX в нижнюю полуплоскость.
в) |x| + |y| = 2
|y| = –|x| + 2
Строим график для x > 0, y > 0: y = –x + 2, а затем отражаем его относительно осей OX и OY.
г) |x – 1| + |y – 2| = 4
Получим тот же ромб (квадрат), что и в (в), но его центр будет перенесен из начала координат в точку O(1; 2).
д) \(\mathrm{\frac{|x-1|}{2}+2|y-2|=4}\)
Ромб по x растянется в 2 раза по диагонали, а по y – сожмётся в 2 раза по диагонали.
Пример 3. Постройте график уравнения:
а) x2 + y2 + 4x – 6y + 4 = 0
Выделим полные квадраты:
(x2 + 4x + 4) + (y2 – 6y + 9) – 9 = 0
(x + 2)2 + (y – 3)2 = 32 – уравнение окружности с центром (–2; 3), радиусом 3.
б) \(\mathrm{x^2+y^2-x+8y+15\frac14=0}\)
Выделим полные квадраты:
\(\mathrm{\left(x^2-x+\frac14\right)+(y^2+8y+16)-1=0}\)
\(\mathrm{\left(x-\frac12\right)^2+(y+4)^2=1}\) – уравнение окружности с центром \(\mathrm{\left(\frac12;\ -4\right)}\), радиусом 1
