Степень с рациональным показателем
Определение степени с рациональным показателем
Если $a \gt 0$ и $r = \frac{m}{n}$ $\in \Bbb Q$ - рациональная дробь, то
$$ a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$$
Например:
$ 7^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{7^2} = \sqrt[3]{49} $
$5^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{5}$
$3^{0,75} = 3^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{3^3} = \sqrt[4]{27}$
Свойства степени с рациональным показателем
Для любых действительных положительных a > 0, b > 0 и любых рациональных r и q справедливы следующие тождества:
$$a^r \cdot a^q = a^{r+q}$$
$$ a^r:a^q = a^{r-q}$$
$$(a^r )^q = a^{rq}$$
$$(ab)^r = a^r b^r$$
$$(\frac{a}{b})^r = \frac{a^r}{b^r} $$
Примеры
Пример 1. Вычислите:
$а) \left(3 \frac{3}{8})^{\frac{2}{3}}\right) = \left(\frac{27}{8}\right)^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{\frac{27}{8}}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} = 2 \frac{1}{4}$
$б) \left( 5 \frac{1}{16} \right)^{-0,75} = \left( \frac{81}{16}\right)^{-0,75} = \left( \frac{16}{81}\right)^{0,75} = \left( \frac{2^4}{3^4} \right)^{0,75} = \left( \frac{2}{3}\right)^{4 \cdot 0,75} = \left( \frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$
$в) \Biggl( -2 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right)^{-3} \Biggr)^{\frac{3}{2}} = (-2 \cdot (-2)^3 )^{\frac{3}{2}} = 2^{4 \cdot \frac{3}{2}} = 2^6 = 64$
$г) 32^{0,2} + 0,001^{-\frac{2}{3}} = (2^5)^{0,2}+(10^{-3})^{-\frac{2}{3}} = 2^{5 \cdot 0,2}+ 10^{(-3) \cdot (\frac{2}{3})} = 2^1+10^2 = 102$
Пример 2. Расположите в порядке возрастания:
$а) 0,1^{\frac{1}{2}}; \quad 0,1^{\frac{1}{5}}; \quad 0,1^{\frac{1}{3}}; \quad 0,1$
Из графика, построенного в §4 данного справочника, мы получили, что
при $0 \lt x \lt 1$ выполняется неравенсто $\sqrt{x} \lt \sqrt[3]{x} \lt \sqrt[4]{x} \lt \sqrt[5]{x}$
Поэтому
$$0,1 \lt 0,1^{\frac{1}{2}} \lt 0,1^{\frac{1}{3}} \lt 0,1^{\frac{1}{5}}$$
$б) 1,2^{\frac{1}{3}}; 1,2^{\frac{1}{4}}; 1,2^{\frac{1}{7}}; 1,2$
Из графика, построенного в §4 данного справочника, мы получили, что
при $x \gt 1$ выполняется неравенсто $ \sqrt[5]{x} \lt \sqrt[4]{x} \lt \sqrt[3]{x} \lt \sqrt{x}$
Поэтому
$$ 1,2^{\frac{1}{7}} \lt 1,2^{\frac{1}{4}} \lt 1,2^{\frac{1}{3}} \lt 1,2 $$
Пример 3. Упростите выражение:
а) $$ \frac{x+x^{0,8}}{x^{0,8}+x^{0,6}} = \frac{ x^{0,2} (x^{0,8}+x^{0,6})}{x^{0,8}+x^{0,6}} = x^{0,2} = \sqrt[5]{x}$$
б) $$ \frac{a^{1,5}-b^{1,5}}{ab^{0,5}-a^{0,5} b} = \frac{(a^{0,5} )^3-(b^{0,5} )^3}{a^{0,5} b^{0,5} (a^{0,5}-b^{0,5} )} = \frac{(a^{0,5}-b^{0,5} )(a+a^{0,5} b^{0,5}+b)}{a^{0,5} b^{0,5} (a^{0,5}-b^{0,5})} = $$
$$ = \frac{a+a^{0,5} b^{0,5}+b}{a^{0,5} b^{0,5}} = \left(\frac{a}{b}\right)^{0,5}+1+\left( \frac{b}{a}\right)^{0,5} = \sqrt{\frac{a}{b}} +1+ \sqrt{\frac{b}{a}} $$
в) $$ \frac{x+y}{x-x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{2}{3}}} = \frac{\left( x^{\frac{1}{3}} \right)^3+ \left( y^{\frac{1}{3}} \right)^3}{x-x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{2}{3}}} = \frac{ \left( x^{\frac{1}{3}} +y^{\frac{1}{3}}\right) \left( x^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}+y^{\frac{2}{3}} \right)}{x^{\frac{1}{3}} \left(x^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}+y^{\frac{2}{3}}\right)} = $$
$$ = \frac{x^{\frac{1}{3}} +y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 1+ \sqrt[3]{\frac{y}{x}} $$
г*) $$ 16^{\frac{1}{3}} (1+\sqrt{5})^{\frac{1}{3}} (6-2\sqrt{5})^{\frac{1}{6}} = (2^4 )^{\frac{1}{3}} (\sqrt{5}+1)^{\frac{1}{3}} \Biggl((\sqrt{5}-1)^2 \Biggr)^{\frac{1}{6}} =2^{\frac{4}{3}} \Biggl( (\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1) \Biggr)^ {\frac{1}{3}} =$$
$$ = 2^{\frac{4}{3}} \cdot (5-1)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{4}{3}} \cdot 4^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{4}{3}+\frac{2}{3}} = 2^2 = 4 $$
д*) $$ \frac{a^{0,5}-9a^{0,25}+14}{b^{0,5}+7b^{0,25}+12} : \left(\frac{b^{0,5}-9}{a^{0,5}-49}\right)^{-1}: \left(\frac{a^{0,25}-2}{b^{0,25}+4}\right) = $$
$$ = \frac{(a^{0,25}-2)(a^{0,25}-7)}{(b^{0,25}+3)(b^{0,25}+4)} ∶ \left(\frac{a^{0,5}-49}{b^{0,5}-9}\right) \cdot \left(\frac{b^{0,25}+4}{a^{0,25}-2}\right) = $$
$$ = \frac{(a^{0,25}-2)(a^{0,25}-7)}{(b^{0,25}+3)(b^{0,25}+4)} \cdot \frac{(b^{0,25}+3)(b^{0,25}-3)}{(a^{0,25}+7)(a^{0,25}-7)} \cdot \left(\frac{b^{0,25}+4}{a^{0,25}-2}\right) = $$
$$ = \frac{b^{0,25}-3}{a^{0,25}+7} = \frac{\sqrt[4]{b}-3}{\sqrt[4]{a}+7} $$
Пример 4*. Докажите, что:
$а) 0,6^{0,6}+0,7^{0,7}+0,8^{0,8}+0,9^{0,9} \lt \sqrt[3]{64}$
$0,6 \lt 1 \Rightarrow 0,6^{0,6} \lt 1^{0,6} = 1 $
Аналогично, все остальные слагаемые слева меньше 1.
Справа:$ \sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{4^3} = 4$
Получаем:
$$ 0,6^{0,6} \lt 1; 0,7^{0,7} \lt 1; 0,8^{0,8} \lt 1; 0,9^{0,9} \lt 1 $$
$$ 0,6^{0,6} + 0,7^{0,7}+ 0,8^{0,8}+0,9^{0,9} \lt 4 $$
Что и требовалось доказать.
$ б) 0,6^{-0,6}+0,7^{-0,7}+0,8^{-0,8}+0,9^{-0,9} \gt \sqrt[4]{255} $
$$ 0,6^{-0,6}+0,7^{-0,7}+0,8^{-0,8}+0,9^{-0,9} = \left(\frac{1}{0,6}\right) ^{0,6}+ \left(\frac{1}{0,7}\right)^{0,7}+\left(\frac{1}{0,8}\right)^{0,8}+\left(\frac{1}{0,9}\right)^{0,9} $$
$$ \frac{1}{0,6} \gt 1 \Rightarrow \left(\frac{1}{0,6}\right)^{0,6} \gt 1^{0,6} = 1 $$
Аналогично, все остальные слагаемые слева больше 1.
Справа: $\sqrt[4]{255} \lt \sqrt[4]{256} = 4$
Получаем:
$$ \left(\frac{1}{0,6}\right) ^{0,6}+ \left(\frac{1}{0,7}\right)^{0,7}+\left(\frac{1}{0,8}\right)^{0,8}+\left(\frac{1}{0,9}\right)^{0,9} \gt 4 \gt \sqrt[4]{255} $$
$$ 0,6^{-0,6}+0,7^{-0,7}+0,8^{-0,8}+0,9^{-0,9} \gt \sqrt[4]{255}$$
Что и требовалось доказать.
Пример 5*. Вычислите:
$$ \Biggl( (46+6 \cdot 5^{0,5} )^{\frac{1}{6}}-(1+3 \cdot 5^{0,5} )^{\frac{1}{3}} \Biggr) \cdot \sqrt[15]{158+ \sqrt[11]{7}} $$
Заметим, что: $(1+3 \sqrt{5})^2 = 1+6 \sqrt{5} +(3\sqrt{5})^2 = 1+6\sqrt{5} +45 = 46+6\sqrt{5}$
Подставляем:
$$ \Biggl(((1+3 \cdot 5^{0,5} )^2 )^{\frac{1}{6}}-(1+3 \cdot 5^{0,5} )^{\frac{1}{3}} \Biggr) \cdot \sqrt[15]{158+ \sqrt[11]{7}} = $$
$$ = \Biggl((1+3 \cdot 5^{0,5})^{\frac{1}{3}}-(1+3 \cdot 5^{0,5} )^{\frac{1}{3}} \Biggr) \cdot \sqrt[15]{158+ \sqrt[11]{7}} = 0 \cdot \sqrt[15]{158+ \sqrt[11]{7}} = 0 $$
Ответ: 0
Пример 6*. Вычислите:
$$ \frac{\sqrt{2} \Biggl( \sqrt{\sqrt[4]{8}+\sqrt{\sqrt{2}-1}} - \sqrt{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}-1}} \Biggr)}{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1}} $$
Найдём значение выражения $ A = \sqrt{\sqrt[4]{8}+\sqrt{\sqrt{2}-1}} - \sqrt{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}-1}} \gt 0$
$$ A^2 = \Biggl( \sqrt{\sqrt[4]{8}+\sqrt{\sqrt{2}-1}} \Biggr)^2 - 2 \sqrt{\Biggl(\sqrt[4]{8}+\sqrt{\sqrt{2}+1} \Biggr) \Biggl(\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}-1} \Biggr)}+ $$
$$ +\Biggl( \sqrt{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}-1}} \Biggr)^2 = \sqrt[4]{8}+ \sqrt{\sqrt{2}-1} -2 \sqrt{\sqrt{8}-(\sqrt{2}-1)}+\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}-1} = $$
$$ = 2 \sqrt[4]{8}-2 \sqrt{2\sqrt{2}-\sqrt{2}+1} = 2 \Biggl(\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1} \Biggr) $$
Т.к. $ A \gt 0$
$$ A = \sqrt{2\Biggl(\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1} \Biggr)} $$
Подставляем:
$$ \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2\Biggl(\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1} \Biggr)}}{\sqrt{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1}}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$$
Ответ: 2
