Создание математической модели и решение задач с помощью систем уравнений

п.1. Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений

Например:
Найдите два положительных числа, если известно, что сумма квадратов этих чисел равна 185, а разность квадратов равна 57.

п.2. Примеры

Пример 1. Диагональ прямоугольника равна 10 см. Если меньшую сторону прямоугольника увеличить на 2 см, а большую уменьшить на 2 см, то диагональ не изменится. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть a и b – стороны прямоугольника, a > b. Диагональ через стороны выражается по теореме Пифагора. По условию получаем: $$ \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{a^2+b^2=10} & \\ \mathrm{(a-2)^2+(b+2)^2=10^2} & \end{array}\right. $$ Найдём линейную зависимость между a и b из уравнения: \begin{gather*} \mathrm{a^2+b^2=(a-2)^2+(b+2)^2}\\ \mathrm{a^2+b^2=a^2-4a+4+b^2+4b+4}\\ \mathrm{4a-4b=8\Rightarrow a-b=2\Rightarrow a=b+2} \end{gather*} Подставим a в верхнее уравнение системы: \( \mathrm{(b+2)^2+b^2=100} \) \begin{gather*} \mathrm{b^2+4b+4+b^2-100=0}\\ \mathrm{2b^2+4b-96=0\Rightarrow b^2+2b-48=0\Rightarrow (b+8)(b-6)=0}\\ \mathrm{b_1=-8,\ \ b_2=6} \end{gather*} Выбираем положительный корень: b = 6
Тогда a = b + 2 = 8
Ответ: 8 см и 6 см.

Пример 2. (задача Диофанта, III в.) Отношение двух чисел равно 3, а отношение суммы квадратов этих чисел к их сумме равно 5. Найдите эти числа.

Пусть x и y – искомые числа. По условию: $$ \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{\frac{x}{y}=3} & \\ \mathrm{\frac{x^2+y^2}{x+y}=5} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x=3y} & \\ \mathrm{x^2+y^2=5(x+y)} & \end{array}\right. $$ Подставляем верхнее уравнение в нижнее и решаем: \begin{gather*} \mathrm{(3y)^2+y^2=5(3y+y)\Rightarrow 9y^2+y^2=20y\Rightarrow 10y^2-20y=0\Rightarrow}\\ \mathrm{\Rightarrow 10y(y-2)=0\Rightarrow} \left[\begin{array}{ l } \mathrm{y_1=0} & \\ \mathrm{y_2=2} & \end{array}\right. \end{gather*} Т.к. y в первом уравнении системы стоит в знаменателе, он не может быть равен 0. Получаем: \begin{gather*} \left\{\begin{array}{ l } \mathrm{x=3y=6} & \\ \mathrm{y=2} & \end{array}\right. \end{gather*} Ответ: 6 и 2.

Пример 3. Двое рабочих могут выполнить работу за 12 дней. Если сначала один из них сделает половину всей работы, а потом остальное сделает другой, то им понадобится 25 дней. За сколько дней каждый рабочий может выполнить задание самостоятельно?

Пусть x и y – производительность каждого рабочего, A – работа.
По условию: $$ \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{\frac{A}{x+y}=12} & \\ \mathrm{\frac{A}{2x}+\frac{A}{2y}=25} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{A=12(x+y)} & \\ \mathrm{\frac{A}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=25} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{A=12(x+y)} & \\ \mathrm{A=\frac{50}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}=\frac{50xy}{x+y}} & \end{array}\right. $$ Получаем уравнение: \begin{gather*} \mathrm{12(x+y)=\frac{50xy}{x+y}\Rightarrow 12(x+y)^2=50xy\Rightarrow 6(x+y)^2=25xy}\\ \mathrm{6(x^2+2xy+y^2)-25xy=0}\\ \mathrm{6x^2-13xy+6y^2=0\ \ |:y^2}\\ \mathrm{6\left(\frac{x}{y}\right)^2-13\frac{x}{y}+6=0}\\ \mathrm{D=13^2-4\cdot 6\cdot 6=25=5^2,\ \ \frac{x}{y}=\frac{13\pm 5}{12}=} \left[\begin{array}{ l } \mathrm{\frac23} & \\ \mathrm{\frac32} & \end{array}\right. \end{gather*} Пусть для определенности x > y. Тогда \( \mathrm{\frac{x}{y}=\frac{3}{2}\Rightarrow x=1,5y}. \)
Работа: \( \mathrm{A=12(x+y)=12(1,5y+y)=12\cdot 2,5y=30y}. \)
Второй рабочий может выполнить работу самостоятельно за: \( \mathrm{\frac{A}{y}=\frac{30y}{y}=30} дней. \)
Первый рабочий работает в 1,5 раза быстрей, ему понадобится \( \mathrm{\frac{30}{1,5}=20} дней. \)
Ответ: 30 дней и 20 дней.

Пример 4. Бригада выполнила работу за 20 дней. Если бы в бригаде было на 4 человека больше, а рабочий день – на 1 ч дольше, то работа была бы выполнена за 10 дней. Если бы в бригаде было на 1 человека меньше, а рабочий день – на 1 ч короче, то работа была бы выполнена за 30 дней. Сколько человек было в бригаде, и сколько часов в день они работали?

Пусть A – вся работа, n – количество человек в бригаде, t – продолжительность рабочего дня. По условию: $$ \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{20nt=A} & \\ \mathrm{10(n+4)(t+1)=A} & \\ \mathrm{30(n-1)(t-1)=A} & \end{array}\right. $$ Исключаем A и получаем систему из двух уравнений: \begin{gather*} \left\{\begin{array}{ l } \mathrm{20nt=10(n+4)(t+1)} & \\ \mathrm{20nt=30(n-1)(t-1)} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{ l } \mathrm{2nt=nt+4t+n+4} & \\ \mathrm{2nt=3(nt-t-n+1)} & \end{array}\right.\Rightarrow\\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{ l } \mathrm{nt=4t+n+4} & \\ \mathrm{nt=3t+3n-3} & \end{array}\right. \end{gather*} Найдём линейную зависимость между n и t из уравнения: $$ \mathrm{4t+n+4=3t+3n-3\Rightarrow t-2n=-7\Rightarrow t=2n-7}. $$ Подставим t в верхнее уравнение системы: \begin{gather*} \mathrm{n(2n-7)=4(2n-7)+n+4}\\ \mathrm{2n^2-7n=8n-28+n+4\Rightarrow 2n^2-16n+24=0\Rightarrow n^2-8n+12=0}\\ \mathrm{ (n-2)(n-6)=0\Rightarrow} \left[\begin{array}{ l } \mathrm{n_1=2} & \\ \mathrm{n_2=6} & \end{array}\right. \end{gather*} Находим время \( \mathrm{t=2n-7:\ \ } \left[\begin{array}{ l } \left\{\begin{array}{ l } \mathrm{n_1=2} & \\ \mathrm{t_1=-3} & \end{array}\right. &\\ \left\{\begin{array}{ l } \mathrm{n_2=6} & \\ \mathrm{t_2=5} & \end{array}\right. \end{array}\right. \)
Выбираем решение с \( t\gt 0:\ \ \left\{\begin{array}{ l } \mathrm{n=6} & \\ \mathrm{t=5} & \end{array}\right. \)
Ответ: 6 человек, 5 часов.