Совокупности неравенств. Неравенства с модулем
п.1. Понятие совокупности неравенств с одной переменной и его решения
Решением совокупности неравенств с одной переменной является такое множество значений этой переменной, которое превращает хотя бы одно из неравенств в верное числовое неравенство.
Следствие: общим решением совокупности неравенств с одной переменной является объединение частных решений каждого из неравенств системы.
п.2. Алгоритм решения совокупности неравенств с одной переменной
Шаг 1. Найти множество решений для каждого из неравенств системы. Если какое-либо частное решение является пустым множеством, отбросить его, но продолжить решение.
Шаг 2. Начертить друг под другом числовые прямые, число которых равно числу полученных непустых частных решений. Начала отсчёта числовых прямых должны находиться на общем перпендикуляре, единичный отрезок должен совпадать.
Шаг 3. На числовых прямых изобразить полученные частные решения, на отдельной прямой найти их объединение – это и будет общим решением системы.
Шаг 4. Работа завершена.
Например: $ \left[ \begin{array}{ l l } \mathrm{x^2-1 \lt 0} & \\ \mathrm{x+5\geq8} & \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ l l } \mathrm{-1\lt x\lt 1} & \\ \mathrm{x\geq 3} & \end{array}\right. \Leftrightarrow \mathrm{-1\lt x \lt 1\cup x\geq 3} $или $\mathrm{x\in (-1;1)\cup\left[3;+\infty\right)}$
Подробней о сравнении систем и совокупностей неравенств, их соответствии логическим операциям, см. §39 справочника для 8 класса.
п.3. Решение неравенств с модулем
Пусть f(x) - некоторая функция от x, a – некоторое действительное число. Составим таблицу возможных неравенств с модулем и их решений:
a < 0
Решений нет, $\mathrm{x\in\varnothing}$
Выполняется всегда, $\mathrm{x\in\mathbb{R}}$
a = 0
Решений нет, $\mathrm{x\in\varnothing}$
Решаем неравенство: $\mathrm{f(x)\ne 0}$
a > 0
Решаем двойное неравенство: $\mathrm{-a\lt f(x)\lt a}$
т.е. систему: $ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{f(x)\gt -a} & \\ \mathrm{f(x)\lt a} & \end{array}\right. $
Решаем совокупность: $ \left[ \begin{array}{ l l } \mathrm{f(x)\lt -a} & \\ \mathrm{f(x)\gt a} & \end{array}\right. $
При решении неравенств с дробями и корнями не забывайте про ОДЗ – область допустимых значений для f(x).
Например: Решим неравенство |x2 - 3x| < 2.
Соответствующее двойное неравенство: -2 < x2 - 3x < 2
Система: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{x^2-3x\gt -2} & \\ \mathrm{x^2-3x\lt 2} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{x^2-3x+2\gt 0} & \\ \mathrm{x^2-3x-2\lt 0} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{(x-1)(x-2)\gt 0 }& \\ \mathrm{(x-x_1)(x-x_2)\lt 0} & \end{array}\right.\\ \mathrm{D=3^2-4\cdot(-2)=9+8=17,\ \ x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}} \end{gather*}
Ответ: \(\mathrm{x\in\left(\frac{3-\sqrt{17}}{2};1\right)\cup\left(2;\frac{3+\sqrt{17}}{2}\right)}\)
Пусть f(x),g(x) - некоторые функции от x.
Составим таблицу возможных неравенств с модулем и их решений:
Решаем систему: $$ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{f(x)\gt -g(x)} & \\ \mathrm{f(x)\lt g(x)} & \end{array}\right. $$
Решаем совокупность: $$ \left[\begin{array}{ l l } \mathrm{f(x)\lt -g(x)} & \\ \mathrm{f(x)\gt g(x)} & \end{array}\right. $$
Решаем неравенство: $\mathrm{f^2(x)\lt g^2(x)}$
Решаем неравенство: $\mathrm{f^2(x)\gt g^2(x)}$
Например: Решим неравенство |x2 + 3x + 2| > 2 - x.
Решаем совокупность:
\begin{gather*} \left[ \begin{array}{ l l } \mathrm{x^2+3x+2\lt x-2} & \\ \mathrm{x^2+3x+2\gt 2-x} & \end{array}\right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{ l l } \mathrm{x^2+2x+4\lt 0} & \\ \mathrm{x^2+4x\gt 0} & \end{array}\right. \end{gather*}
y = x2 + 2x + 4 > 0 - парабола с a > 0 и D < 0, т.е. все её точки лежат над осью OX. Значит, решение первого неравенства – пустое множество, \(x\in\varnothing\).
Решаем второе неравенство: $$ \mathrm{x(x+4) \gt 0\Rightarrow x\lt -4\cup x\gt 0} $$ Ответ: \(\mathrm{x\in(-\infty;-4)\cup(0;+\infty)}\)
п.4. Примеры
Пример 1. Решите неравенства:
а) |x + 2| > 5
Решаем совокупность: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{ l l } \mathrm{x+2\gt-5} & \\ \mathrm{x+2\gt 5} & \end{array}\right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{ l l } \mathrm{x\lt -7} & \\ \mathrm{x\gt 3} & \end{array}\right.\Rightarrow x\lt -7\cup x\gt 3 \end{gather*} Ответ: \(\mathrm{x\in(-\infty;-7)\cup(3;+\infty)}\)
б) |22 - 7x| ≤ 6
Решаем систему: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{22-7x\geq -6} & \\ \mathrm{22-7x\leq 6} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{-7x\geq -28} & \\ \mathrm{-7x\leq -16} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{x\leq 4} & \\ \mathrm{x\geq 2\frac27} & \end{array}\right.\Rightarrow 2\frac27\leq x\leq 4 \end{gather*} Ответ: \(\mathrm{x\in\left[2\frac27;4\right]}\)
в) |x2 - 2x| ≥ 6
Решаем совокупность: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{ l l } \mathrm{x^2-2x\leq -6} & \\ \mathrm{x^2-2x\geq 6} & \end{array}\right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{ l l } \mathrm{x^2-2x+6\leq 0} & \\ \mathrm{x^2-2x-6\geq 0} & \end{array}\right. \end{gather*} Парабола y = x2 - 2x + 6 > 0 ветками вверх с a > 0, D < 0 - всегда положительна.
Решение первого неравенства \(\mathrm{x\in\varnothing}\).
Решаем второе неравенство: \begin{gather*} \mathrm{D = 2^2-4\cdot (-6)=28,\ \ x_{1,2}=\frac{2\pm2\sqrt{7}}{2}=1\pm\sqrt{7}}\\ (x-x_1)(x-x_2)\geq 0\Rightarrow x\leq x_1 \cup x\geq x_2\Rightarrow x\leq 1-\sqrt{7}\cup x\geq 1+\sqrt{7} \end{gather*} Ответ: \(\mathrm{x\in\left(-\infty;1-\sqrt{7}\right]\cup\left[1+\sqrt{7};+\infty\right\}}\).
г) |x2 + x - 1| < 1
Решаем систему: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{x^2+x-1\gt -1} & \\ \mathrm{x^2+x-1\lt 1} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{x^2+x\gt 0} & \\ \mathrm{x^2+x-2\lt 0} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{x(x+1)\gt 0} & \\ \mathrm{(x+2)(x-1)\lt 0} & \end{array}\right. \end{gather*}
Ответ: \(\mathrm{x\in(-2;-1)\cup(0;1)}\)
Пример 2. Найдите целые решения неравенства:
а) |x2 + 4x – 5| < x + 9
Решаем систему: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{x^2+4x-5\gt -x-9} & \\ \mathrm{x^2+4x-5\lt x+9} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{x^2+5x+4\gt 0} & \\ \mathrm{x^2+3x-14\lt 0} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{(x+1)(x+4)\gt 0} & \\ \mathrm{(x-x_1)(x-x_2)\lt 0} & \end{array}\right.\\ \mathrm{D=3^2-4\cdot(-14)=65,\ \ x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{65}}{2}} \end{gather*}
Целые решения, входящие в данные промежутки: {–5; 0; 1; 2}
Ответ: {–5; 0; 1; 2}.
б) |x2 – 5x + 4| ≤ x – 1
Решаем систему: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{x^2-5x+4\geq 1-x} & \\ \mathrm{x^2-5x+4\leq x-1} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{x^2-4x+3\geq 0} & \\ \mathrm{x^2-6x+5\leq 0} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{(x+1)(x-3)\geq 0} & \\ \mathrm{(x-1)(x-5)\leq 0} & \end{array}\right. \end{gather*}
\(\mathrm{x\in\left\{1\right\}\cup[3;5]}\)
Целые решения: {1; 3; 4; 5}
Ответ: {1; 3; 4; 5}.
Пример 3*. Решите неравенство:
а) |x2 – 5x + 4| < |4x – 10|
Возводим в квадрат левую и правую части: \begin{gather*} \mathrm{(x^2-5x+4)^2\lt (4x-10)^2}\\ \mathrm{(x^2-5x+4)^2-(4x-10)^2\lt 0} \\ \mathrm{\left((x^2-5x+4)+(4x-10)\right)\left((x^2-5x+4)-(4x-10)\right)\lt 0}\\ \mathrm{(x^2-x-6)(x^2-9x+14)\lt 0}\\ \mathrm{(x-3)(x+2)(x-2)(x-7)\lt 0} \end{gather*}
Ответ: \(\mathrm{x\in(-2;2)\cup(3;7)}\).
б) |x + 1| + |x – 5| ≥ 8
Решаем совокупность:
\begin{gather*} \mathrm{y(x)=|x+1|+|x-5|=} \left[ \begin{array}{ l l l} \mathrm{-(x+1)-(x-5),\ \ x\lt -1} & \\ \mathrm{x+1-(x-5),\ \ \ \ \ \ -1\leq x\leq 5} & \\ \mathrm{x+1+x-5,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\gt 5} & \end{array}\right. = \\ = \left[ \begin{array}{ l l l} \mathrm{-2x+4,\ \ x\lt -2 }& \\ \mathrm{6,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -1\leq x\leq 5} & \\ \mathrm{2x-4,\ \ \ \ \ x\gt 5} & \end{array}\right. \end{gather*}
Зелёная ломаная пересекается и находится под прямой y = 8 при x ∈ [-2; 6].
Ответ: \(\mathrm{x\in[-2;6]}\).
в) x2 – 5|x – 2| – 4 < 0
Решаем совокупность неравенств:
\begin{gather*} \mathrm{x^2-4\lt 5|x-2|}\Rightarrow \left[ \begin{array}{ l l } \mathrm{5(x-2)\lt 4-x^2} & \\ \mathrm{5(x-2)\gt x^2-4} & \end{array}\right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{ l l } \mathrm{x^2+5x-14\lt 0}& \\ \mathrm{x^2-5x+6\lt 9} & \end{array}\right. \Rightarrow \\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{ l l } \mathrm{(x+7)(x-2)\lt 0}& \\ \mathrm{(x-2)(x-3)\lt 0} & \end{array}\right. \end{gather*}
Ответ: \(\mathrm{x\in(-7;2)\cup(2;3)}\).
г) \(\mathrm{\frac{x^2+11x+28}{|x+5|}}<0\)
Знаменатель всегда положительный, на знак не влияет. Неравенство строгое. Получаем систему:
\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{x^2+11+28\lt 0} & \\ \mathrm{x\ne -5} & \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{(x+4)(x+7)\lt 0}& \\ \mathrm{x\ne -5} & \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{-4\lt x\lt -7}& \\ \mathrm{x\ne -5} & \end{array}\right.\Rightarrow \\ \Rightarrow \mathrm{-4\lt x\lt -5\cup -5\lt x\lt -7} \end{gather*}
Ответ: \(\mathrm{x\in(-4;-5)\cup(-5;-7)}\).
д) \(\mathrm{\frac{|x-3|}{x^2+8x+12}} ⩽ 0\)
Числитель всегда положительный, на знак не влияет. Неравенство нестрогое. Получаем совокупность:
\begin{gather*} \left[ \begin{array}{ l l } \mathrm{x=3} & \\ \mathrm{x^2+8x+12\gt 0} & \end{array}\right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{ l l } \mathrm{x=3}& \\ \mathrm{(x+2)(x+6)\gt 0} & \end{array}\right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{ l l } \mathrm{x=3}& \\ \mathrm{-6\lt x\lt -2} & \end{array}\right.\Rightarrow \\ \Rightarrow \mathrm{-6\lt x\lt -2\cup x=3} \end{gather*}
Ответ: \(\mathrm{x\in(-6;-2)\cup{3}}\).
e) \(\mathrm{\frac{4}{|x+2|}\lt\frac{3x+23}{5}}\)
Решаем систему:
\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{\frac{4}{x+2}\gt -\frac{3x+23}{5}} & \\ \mathrm{\frac{4}{x+2}\lt\frac{3x+23}{5}} & \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{\frac{4}{x+2}+\frac{3x+23}{5}\gt 0}& \\ \mathrm{\frac{4}{x+2}-\frac{3x+23}{5}\lt 0} & \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{\frac{20+(3x+23)(x+2)}{5(x+2)}}& \\ \mathrm{\frac{20-(3x+23)(x+2)}{5(x+2)}} & \end{array}\right.\Rightarrow \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{\frac{3x^2+29x+66}{5(x+2)}\gt 0}& \\ \mathrm{\frac{-3x^2-29x-26}{5(x+2)}\lt 0} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{\frac{3x^2+29x+66}{x+2}\gt 0}& \\ \mathrm{\frac{3x^2+29x+26}{x+2}\gt 0} & \end{array}\right. \\ \mathrm{D_1=29^2-4\cdot 3\cdot 66=49=7^2,\ \ x_{1,2}=\frac{-29\pm 7}{6}}=\left[ \begin{array}{ l l } \mathrm{-6}& \\ \mathrm{-3\frac23} & \end{array}\right. \\ \mathrm{D_2=29^2-4\cdot 3\cdot 26=529=23^2,\ \ x_{3,4}=\frac{-29\pm 23}{6}}=\left[ \begin{array}{ l l } \mathrm{-8\frac23}& \\ \mathrm{-1} & \end{array}\right. \end{gather*}
Получаем:
\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{\frac{(c+6)\left(x+3\frac23\right)}{x+2}\gt 0} & \\ \mathrm{\frac{\left(x+8\frac23\right)(x+1)}{x+2}\gt 0} & \end{array}\right. \end{gather*}
Ответ: \(\mathrm{x\in\left(-6;-3\frac23\right)\cup(-1;\infty)}\).
