Сходящиеся последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

п.1. Предел последовательности

Рассмотрим последовательность с $a_n$ = $\frac{3n + 1}{n + 1}$ Выделим целую часть у дроби: $$ \mathrm{ a_n=\frac{(3n+3)-2}{n+1}=\frac{3(n+1)}{n+1}-\frac{2}{n+1}=3-\frac{2}{n+1} } $$ Заполним таблицу:

Раскроем модуль из определения: $$ \mathrm{ |a_n-b|\lt \varepsilon \Rightarrow -\varepsilon \lt a_n-b\lt\varepsilon \Rightarrow b-\varepsilon\lt a_n\lt b-\varepsilon } $$ Т.е., начиная с некоторого индекса n, все члены последовательности a_n (бесконечное множество) попадают в интервал (b – ε; b + ε) – этот промежуток называют ε–окрестностью точки b. Вне этого промежутка находится только первые {a₁, a₂, ..., a_N} членов последовательности.

Например:
1. Последовательность {a_n} c \(\mathrm{ a_n=\frac{4n}{n+2}=\frac{4(n+2)-8}{n+2}=4-\frac{8}{n+2}}\) имеет предел \(\mathrm{ \lim_{{n}\rightarrow\infty}a_n=4}\), значит, является сходящейся.
2. Последовательность {a_n} c \(\mathrm{ a_n=4n+2}\) при \(\mathrm{ n\rightarrow \infty}\) также стремится к бесконечности. Предела нет, последовательность расходящаяся.
3. Последовательность {a_n} c \(\mathrm{ a_n=\frac{1}{n}}\) имеет предел \(\mathrm{ \lim_{{n}\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0}\), т.е. является бесконечно малой.

п.2. Свойства сходящихся последовательностей

п.3. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Рассмотрим геометрическую прогрессию с \(\mathrm{b_1=1,\ q=\frac12}\).
Сумма её первых n членов (см.§27 данного справочника) равна: $$ \mathrm{ S_n=b_1\frac{1-q^n}{1-q}=1\cdot\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac12}=2\left(1-\frac{1}{2^n}\right)=2-\frac{1}{2^{n-1}} } $$ Чем больше будет n, тем меньше будет второе слагаемое \(\mathrm{\frac{1}{2^n-1}}\). В пределе \(\mathrm{ \lim_{{n}\rightarrow\infty}\frac{1}{2^{n-1}}=0,\ \lim_{{n}\rightarrow\infty}S_n=2}\). Удивительно, но мы нашли сумму бесконечного количества слагаемых; и эта сумма конечна.
Обобщим результат для любого |q| < 1: $$ \mathrm{ S=\lim_{{n}\rightarrow\infty}S_n=\lim_{{n}\rightarrow\infty}\left(b_1\frac{1-q^n}{1-q}\right)=\frac{b_1}{1-q}\cdot \lim_{{n}\rightarrow\infty}\left(1-\underbrace{q^n}_{\rightarrow 0}\right)=\frac{b_1}{1-q} } $$

Например:
Представим периодическую десятичную дробь 0,(16) в виде обыкновенной.
Данную дробь можно записать в виде суммы

Это – сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с b₁ = 0,16, q = 0,01, она равна: \(\mathrm{S=\frac{0,16}{1-0,01}=\frac{0,16}{0,99}=\frac{16}{99}}\), т.е.
\(\mathrm{0,(16)=\frac{16}{99}}\)

п.4. Примеры

Пример 1. Запишите число в виде обыкновенной дроби:
а) 2,(3) \begin{gather*} \mathrm{ 2,(3)=2+(0,3+0,03+0,003+...)=2+(0,3+0,3\cdot 0,1+0,3\cdot 0,1^2+...) }\\ \mathrm{ b_1=0,3,\ \ q=0,1 }\\ \mathrm{ S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0,3}{1-0,1}=\frac{0,3}{0,9}=\frac13,\ \ 2,(3)=2+\frac13=2\frac13 } \end{gather*}

б) 5,(17) \begin{gather*} \mathrm{ 5,(17)=5+(0,17+0,0017+0,000017+...)= }\\ \mathrm{ =5+(0,17+0,17\cdot 0,01+0,17\cdot 0,01^2+...) }\\ \mathrm{ b_1=0,17,\ \ q=0,01 }\\ \mathrm{ S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0,17}{1-0,01}=\frac{0,17}{0,99}=\frac{17}{99},\ \ 5,(17)=5+\frac{17}{99}=5\frac{17}{99} } \end{gather*}

Пример 2. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
a) \(\mathrm{1,\ \frac{1}{\sqrt{2}},\ \frac12,...}\)
\(\mathrm{b_1=1,\ q=\frac{1}{\sqrt{2}}}\) \begin{gather*}\mathrm{ S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{2+\sqrt{2}}{2-1}=2+\sqrt{2} } \end{gather*}

б) 1,   π – 3,   (π – 3)², ...
b₁ = 1,   q = π – 3 \begin{gather*} \mathrm{ S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{1}{1-(\pi-3)}=\frac{1}{4-\pi} } \end{gather*}

Пример 3. Решите уравнение \begin{gather*} \mathrm{ 1+2x+x^2-x^3+x^4-x^5+...=\frac{13}{6},\ \ \text{если}\ |x|\lt 1 } \end{gather*} Выделим геометрическую прогрессию: \begin{gather*} \mathrm{ 3x+(1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+...)=\frac{13}{6} }\\ \mathrm{ b_1=1,\ \ q=-x,\ \ S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{1}{1+x} } \end{gather*} Получаем: \begin{gather*} \mathrm{ 3x+\frac{1}{1+x}=\frac{13}{6}\Rightarrow \frac{3x(1+x)+1}{1+x}=\frac{13}{6}\Rightarrow 6(3x^2+3x+1)=13(1+x)\Rightarrow }\\ \mathrm{ \Rightarrow 18x^2+5x-7=0 }\\ \mathrm{ D=5^2-4\cdot 18\cdot (-7)=25+504=529=23^2,\ \ x=\frac{-5\pm 23}{36}= \left[ \begin{array}{ l } \mathrm{x_1=-\frac79} & \\ \mathrm{x_2=\frac12} & \end{array}\right. } \end{gather*} Оба ответа удовлетворяют ограничению |x| < 1.
Ответ: \(\mathrm{x_1=-\frac79;\ \ x_2=\frac12}\)

Пример 4. В квадрат со стороной a вписан второй квадрат так, что его вершины являются серединами сторон первого квадрата. А во второй квадрат точно так же вписан третий квадрат, и т.д. Найдите 1) сумму периметров всех квадратов; 2) сумму площадей всех квадратов.

Сторона первого квадрата b₁ = a. Сторона второго квадрата равна половине диагонали первого квадрата \(\mathrm{b_2=\frac{1\sqrt{2}}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}}\). Сторона третьего квадрата равна половине стороны первого квадрата \(\mathrm{b_3=\frac{a}{2}}\), и т.д.
Получаем геометрическую прогрессию со знаменателем \(\mathrm{q=\frac{1}{\sqrt{2}}}\).
Периметры квадратов линейно зависят от длин сторон: $$ \mathrm{ p_1=4a,\ \ p_2=4\cdot\frac{a}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}a,\ \ p_3=4\cdot\frac{a}{2}=2a,... } $$ Для геометрической прогрессии периметров знаменатель будет тем же: \(\mathrm{q=\frac{1}{\sqrt{2}}}\).
$$ \mathrm{ S_p=\frac{p_1}{1-q}=\frac{4a}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{4\sqrt{2}a}{\sqrt{2}-1}=\frac{4\sqrt{2}a(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{4a(2+\sqrt{2})}{2-1}=4a(2+\sqrt{2}) } $$ Площади квадратов имеют квадратичную зависимость от длин сторон: $$ \mathrm{ s_1=a^2,\ \ s_2=\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{a^2}{2},\ \ s_3=\left(\frac{a}{2}\right)^2=\frac{a^2}{4},... } $$ Для геометрической прогрессии площадей знаменатель будет равен квадрату знаменателя для прогрессии сторон: \(\mathrm{q_s=q^2=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac12}\).
Сумма всех площадей: \begin{gather*} \mathrm{ S_s=\frac{s_1}{1-q_s}=\frac{a^2}{1-\frac12}=2a^2} \end{gather*} Интересно, что сумма площадей всех(!) квадратов внутри самого большого равна площади этого самого большого квадрата.
Ответ: \(\mathrm{S_p=4a(2+\sqrt{2}),\ \ S_s=2a^2}\)

Пример 5*. В окружность радиуса r вписан правильный треугольник, в треугольник вписана другая окружность, в которую снова вписан правильный треугольник, и т.д. Найдите сумму периметров всех треугольников и сумму длин всех окружностей.

Сторона правильного треугольника, вписанного в первую окружность: \(\mathrm{a_1=2r\cdot sin 60^{\circ}=\sqrt{3}r}\).
Радиус второй окружности, вписанной в первый треугольник: \(\mathrm{r_2=\frac{a_1}{2}tg30^{\circ}=\frac{a_1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}r}{2\sqrt{3}}=\frac{r}{2}}\)
Сторона правильного треугольника, вписанного во вторую окружность: \(\mathrm{a_2=\sqrt{3}r_2=\frac{\sqrt{3}r}{2}}\).
Радиус третьей окружности, вписанной во второй треугольник: \(\mathrm{r_3=\frac{r_2}{2}=\frac{r}{4}}\).
Получаем геометрическую прогрессию для сторон треугольников: $$ \mathrm{ a_1=\sqrt{3}r,\ \ a_2=\frac{\sqrt{3}r}{2},\ \ a_3=\frac{\sqrt{3}r}{4}=,...,\ \ q=\frac12 } $$ и геометрическую прогрессию для радиусов окружностей: $$ \mathrm{ r_1=r,\ \ r_2=\frac{r}{2},\ \ r_3=\frac{r}{4},...,\ \ q=\frac12 } $$ Геометрическая прогрессия для периметров треугольников: $$ \mathrm{ p_1=3a_1=3\sqrt{3}r,\ \ p_2=\frac{3\sqrt{3}r}{2},\ \ p_3=\frac{3\sqrt{3}r}{4},...,\ \ q=\frac12 } $$ Сумма всех периметров: \begin{gather*} \mathrm{ S_p=\frac{p_1}{1-q}=2p_1=6\sqrt{3}r} \end{gather*} Геометрическая прогрессия для длин всех окружностей: $$ \mathrm{ L_1=2\pi r_2=2\pi r,\ \ L_2=\pi r,\ \ L_3=\frac{\pi r}{2},...,\ \ \frac12 } $$ Сумма всех длин окружностей: $$ \mathrm{ S_L=\frac{L_1}{1-q}=2L_1=4\pi r } $$ Ответ: \(\mathrm{S_p=6\sqrt{3}r,\ \ S_L=4\pi r}\)