Системы уравнений с двумя переменными и параметрами

п.1. Решение системы линейных уравнений с параметром

При решении системы линейных уравнений с параметром используем метод Крамера (см. §48 справочника для 7 класса).

Например:
При каком значении a система уравнений имеет одно решение: \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{ax+y=2} & \\ \mathrm{x+ay=5} & \end{array}\right. \).
Система имеет одно решение, если главный определитель не равен нулю: $$ \Delta = \begin{vmatrix} \mathrm{a} & 1 \\ 1 & \mathrm{a} \end{vmatrix}= a^2-1\neq 0 \Rightarrow a\neq \pm 1 $$

Ответ: при всех действительных a, кроме a ≠ ± 1.

п.2. Решение системы нелинейных уравнений с параметром

При решении системы нелинейных уравнений с параметром чаще всего используем графический метод (см. §15 данного справочника).

Например:
При каком значении a система уравнений имеет одно решение: \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x^2+y^2=a^2} & \\ \mathrm{x+y=2} & \end{array}\right. \).
\( \mathrm{x^2+y^2=a^2} \) – уравнение окружности с центром в начале координат, и переменным радиусом a.
\( \mathrm{x+y=2} \) – уравнение прямой.
Система имеет одно решение, если прямая является касательной к окружности:

Точка A является решением: x = 1, y = 1.
Подставляем найденное решение в уравнение для окружности: 1² + 1² = 2 $$ \mathrm{a^2=2\Rightarrow a=\pm\sqrt{2}} $$

Ответ: \( \mathrm{a=\pm\sqrt{2}} \)

п.3. Примеры

Пример 1. При каком значении параметра a система уравнений 1) имеет одно решение; 2) не имеет решений? $$ \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{ax+2y=a+1,5} & \\ \mathrm{x+8ay=a-1} & \end{array}\right. $$ Главный определитель системы: \begin{gather*} \Delta = \begin{vmatrix} \mathrm{a} & 2 \\ 1 & \mathrm{8a} \end{vmatrix}= \mathrm{8a^2-2=2(4a^2-1)=2(2a-1)(2a+1)}\\ \mathrm{\Delta = 0\ \text{при}\ a=\pm\frac12} \end{gather*} Вспомогательные определители: \begin{gather*} \Delta_x = \begin{vmatrix} \mathrm{a+1,5} & 2 \\ \mathrm{a-1} & \mathrm{8a} \end{vmatrix}= \mathrm{8a(a+1,5)-2(a-1)=8a^2+10a+2=}\\ \mathrm{=2(4a^2+5a+1)=2(4a+1)(a+1)}\\ \mathrm{\Delta_x=0\ \text{при}\ a=-1,\ \ a=-\frac14} \end{gather*} \begin{gather*} \Delta_y = \begin{vmatrix} \mathrm{a} & \mathrm{a+1,5} \\ \mathrm{1} & \mathrm{a-1} \end{vmatrix}= \mathrm{a(a-1)-a-1,5=a^2-2a-1,5}\\ \mathrm{D=2^2+4\cdot 1,5=10,\ \ a_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{10}}{2}=1\pm\frac{\sqrt{10}}{2}}\\ \mathrm{\Delta_y=0\ \text{при}\ a=1\pm\frac{\sqrt{10}}{2}} \end{gather*} При Δ ≠ 0 система имеет одно решение: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=\frac{2(4a+1)(a+1)}{2(2a-1)(2a+1)}=\frac{4a^2+5a+1}{4a^2-1}} & \\ \mathrm{y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=\frac{a^2-2a-1,5}{2(4a^2-1)}} & \end{array}\right. \end{gather*} При \(\mathrm{a=\pm\frac12,\ \ \Delta=0,\ \ \Delta_x\neq 0,\ \ \Delta_y\neq 0}\) – система не имеет решений.

Ответ: \( \mathrm{ 1)\ a\neq\pm\frac12,}\ \ \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x=\frac{4a^2+5a+1}{4a^2-1}} & \\ \mathrm{y=\frac{a^2-2a-1,5}{2(4a^2-1)}} & \end{array}\right. \mathrm{ \ \ 2)\ a=\pm\frac12. } \)

Пример 2. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система
\( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{|x|+|y|=4} & \\ \mathrm{(x-3)^2+(y-3)^2=(a+1)^2} & \end{array}\right. \) имеет единственное решение.
Первое уравнение – квадрат с вершинами (±4; 0),(0; ±4); второе уравнение – окружность переменного радиуса с центром в точке (3; 3).

Единственное решение соответствует радиусу \( \mathrm{R=|a+1|=OA=\sqrt{2}}. \)
При увеличении радиуса будет 2, 3 или 4 точки пересечения. При дальнейшем увеличении окружность становится слишком большой, пересечений с квадратом нет.
Получаем:\( \mathrm{|a+1|=\sqrt{2}\Rightarrow a+1=\pm\sqrt{2}\Rightarrow a_{1,2}=-1\pm\sqrt{2}}. \)

Ответ: \( \mathrm{ a=\left\{-1\pm\sqrt{2}\right\}. } \)

Пример 3. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система
\( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{y-|x|-|x-4|=0} & \\ \mathrm{y+(x-2)^2=a^2-2a+1} & \end{array}\right. \) имеет единственное решение. $$ \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{y-|x|-|x-4|=0=} \left[\begin{array}{ l } \mathrm{4-2x,\ \ x\lt 0} & \\ \mathrm{4,\ \ 0\leq x\leq 4} & \\ \mathrm{2x-4,\ \ x\gt 0} & \end{array}\right. & \\ \mathrm{y=-(x-2)^2+(a-1)^2} & \end{array}\right. $$ Первое уравнение – ломаная, второе – парабола ветками вниз с подвижной вершиной на оси x = 2.

При (a – 1)² < 4 решений нет.
При (a – 1)² = 4 одно решение.
При (a – 1)² > 4 два решения.
Получаем:\( \mathrm{(a-1)^2=4\Rightarrow a-1=\pm 2\Rightarrow} \left[\begin{array}{ l } \mathrm{a_1=-1} & \\ \mathrm{a_2=3} & \end{array}\right. \)

Ответ: a = {–1; 3}.