Системы неравенств с двумя переменными
п.1. Алгоритм графического решения системы неравенств с двумя переменными
Шаг 1. Построить на координатной плоскости кривую F(x, y) = 0. Заштриховать область F(x, y) < 0.
Шаг 2. Построить на координатной плоскости кривую G(x, y) = 0. Заштриховать область G(x, y) > 0.
Шаг 3. Множество решений данной системы – это пересечение двух заштрихованных областей.
Системы с другими знаками сравнения (≤, ≥ и т.д.), а также системы с любым количеством неравенств решаются аналогично.
Например:
 |
Найти на координатной плоскости множество решений системы неравенств: $$ \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x^2+y^2\leq 9} & \\ \mathrm{x+y\gt 3} & \end{array}\right. $$ Множество решений – сегмент круга, отсекаемый отрезком AB. Сам отрезок в множество решений не входит. |
п.2. Примеры
Пример 1. Найдите на координатной плоскости множество решений системы неравенств.
a) \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x+y\geq 4} & \\ \mathrm{2x-y\leq 2} & \end{array}\right. \)
Выразим y(x) в явном виде
\( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{y\geq -x+4} & \\ \mathrm{y\geq 2x-2} & \end{array}\right. \)
Строим прямые, заштриховываем области над ними, находим пересечение.
б) \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{y+x^2-6\leq 0} & \\ \mathrm{2y-x^2\geq 0} & \end{array}\right. \)
Выразим y(x) в явном виде
\( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{y\leq -x^2+6} & \\ \mathrm{y\geq \frac{x^2}{2}} & \end{array}\right. \)
Строим параболы.
Заштриховываем область под первой параболой и над второй параболой.
Находим пересечение.
в) \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{y-\frac{6}{x}\leq 0} & \\ \mathrm{3x-2y\lt 0} & \end{array}\right. \)
Выразим y(x) в явном виде
\( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{y\leq \frac{6}{x}} & \\ \mathrm{y\gt 1,5x} & \end{array}\right. \)
Строим гиперболу и прямую. Заштриховываем области под гиперболой и над прямой.
Находим пересечение.
г) \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x^2+y^2\gt 4} & \\ \mathrm{x^2+y^2\leq 9} & \end{array}\right. \)
Строим окружности.
Заштриховываем области вне первой окружности и внутри второй.
Находим пересечение – кольцо.
Пример 2. Задайте системой неравенств треугольник с вершинами
A(2; 3), B(4; 4), C(3; 0)
Уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника:
AB
\begin{gather*} \mathrm{ \frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}\Rightarrow\frac{x-2}{4-2}=\frac{y-3}{4-3}\Rightarrow x-2=2(y-3) }\\ \mathrm{ x-2y+4=0} \end{gather*}
BC
\begin{gather*} \mathrm{ \frac{x-x_B}{x_C-x_B}=\frac{y-y_B}{y_C-y_B}\Rightarrow\frac{x-4}{3-4}=\frac{y-4}{0-4}\Rightarrow -4(x-4)=-(y-4) }\\ \mathrm{ 4x-y-12=0} \end{gather*}
AC
\begin{gather*} \mathrm{ \frac{x-x_A}{x_C-x_A}=\frac{y-y_A}{y_C-y_A}\Rightarrow\frac{x-2}{3-2}=\frac{y-3}{0-3}\Rightarrow -2(x-2)=y-3 }\\ \mathrm{ 3x+y-9=0} \end{gather*}
Чтобы расставить знаки ≤, ≥, выбираем произвольную точку внутри треугольника, например D(3; 2), подставляем в полученные уравнения и получаем необходимые знаки:
3 – 2 · 2 + 4 = 3 > 0, 4 · 3 – 2 – 12 = –2 < 0, 3 · 3 + 2 – 9 = 2 > 0
Искомая система неравенств: \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x-2y+4\geq 0} & \\ \mathrm{4x-y-12\leq 0} & \\ \mathrm{3x+y-9\geq 0} & \end{array}\right. \)
