Системы неравенств

Понятие системы неравенств с одной переменной и его решения

Например:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} x^2-x-2 \le 0 \\ x \ge 0\end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} (x+1)(x-2) \le 0 \\ x \ge 0 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} -1 \le x \le 2\\x \ge 0 \end{array} \right.} \iff 0 \le x \le 2 $$

$x \in [0;2]$

Алгоритм решения системы неравенств с одной переменной

Шаг 1. Найти множество частных решений для каждого из неравенств системы. Если хотя бы одно из частных решений является пустым множеством, вся система неравенств не имеет решений; перейти к шагу 4.

Шаг 2. Начертить друг под другом числовые прямые, число которых равно числу полученных частных решений. Начала отсчёта числовых прямых должны находиться на общем перпендикуляре, единичный отрезок должен совпадать .

Шаг 3. На числовых прямых изобразить полученные частные решения, на отдельной прямой найти их пересечение – это и будет общим решением системы .

Шаг 4. Работа завершена.

Примеры

Пример 1. Решите систему неравенств:

$ а) {\left\{ \begin{array}{c} \frac{x+3}{x-1} \gt \frac{x-2}{x+4} \\ 2x+5 \lt x+7 \end{array} \right.} $

$$ {\left\{ \begin{array}{c} \frac{x+3}{x-1} - \frac{x-2}{x+4} \gt 0 \\ 2x-x \lt 7-5 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} \frac{(x+3)(x+4)-(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+4)} \gt 0 \\ x \lt 2 \end{array} \right.} \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c}\frac{x^2+7x+12-(x^2-3x+2)}{(x-1)(x+4)} \\ x \lt 2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c}\frac{4x+10}{(x-1)(x+4)} \gt 0 \\ x \lt 2 \end{array} \right.} \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c}\frac{4(x+2,5)}{(x-1)(x+4)} \gt 0 \\ x \lt 2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} \frac{x+2,5}{(x-1)(x+4)} \gt 0 \\ x \lt 2\end{array} \right.} $$

Ответ: $x \in (-4;-2,5) \cup (1;2)$

$ б) {\left\{ \begin{array}{c} \frac{5x+1}{x-4} \ge 2 \\ 3(x+2) \gt 4x \end{array} \right.}$

$$ {\left\{ \begin{array}{c} \frac{5x+1}{x-4} \ge 2 \\ 3(x+2) \gt 4x\end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} \frac{5x+1}{x-4} -2 \ge 0 \\ 3x+6 \gt 4x \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} \frac{5x+1-2(x-4)}{x-4} \ge 0 \\ 6 \gt 4x-3x\end{array} \right.} \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} \frac{3x+9}{x-4} \ge 0\\ x \lt 6 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} \frac{3(x+3)}{x-4} \ge 0\\ x \lt 6 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} \frac{x+3}{x-4} \ge 0\\ x \lt 6 \end{array} \right.} $$

Ответ: $x \in (-\infty;-3] \cup (4;6)$

Пример 2. Решите неравенства:

а)$ \frac{(x-2)^2 (x+5)}{x^2-4x+3} \lt 0$

Разложим знаменатель на множители. Неравенство строгое, поэтому уберём скобку с чётной степенью в числителе и добавим требование неравенства корню в систему:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} \frac{x+5}{(x-1)(x-3)} \lt 0 \\ x \neq 2\end{array} \right.} $$

Ответ: $x \in (-\infty;-5) \cup (1;2) \cup (2;3)$

$ б) \frac{(2x+5) (x-1)^4}{x^2-10x+21} \gt 0 $

Разложим знаменатель на множители. Неравенство строгое, поэтому уберём скобку с чётной степенью в числителе и добавим требование неравенства корню в систему:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} \frac{2(x+2,5)}{(x-7)(x-3)} \gt 0 \\x \neq 1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} \frac{x+2,5}{(x-7)(x-3)} \gt 0 \\x \neq 1 \end{array} \right.} $$

Ответ: $x \in (-2,5;1) \cup (1;3) \cup (7;+\infty) $

Пример 3. Решите двойные неравенства:

$а) -1 \le \frac{x+5}{x-3} \le 3$

Запишем и решим систему:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} \frac{x+5}{x-3} ≥ -1\\ \frac{x+5}{x-3} ≤ 3 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c}\frac{x+5}{x-3} +1 ≥ 0 \\\frac{x+5}{x-3} -3 ≤ 0 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c}\frac{x+5+x-3}{x-3} ≥ 0 \\ \frac{x+5-3x+9}{x-3} ≤ 0 \end{array} \right.} \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} \frac{2x+2}{x-3} ≥ 0 \\ \frac{-2x+14}{x-3} ≤ 0 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} \frac{2(x+1)}{x-3} ≥ 0\\ \frac{-2(x-7)}{x-3} ≤ 0 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} \frac{x+1}{x-3} ≥ 0 \\ \frac{x-7}{x-3} ≤ 0 \end{array} \right.} $$

Ответ: $x \in (-\infty;-1] \cup [7;+\infty) $

б*)$ 0 < \frac{x^2+6x+5}{x^2+x-2} ≤ 2$

Запишем и решим систему:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} \frac{x^2+6x+5}{x^2+x-2} > 0 \\ \frac{x^2+6x+5}{x^2+x-2} ≤ 2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} \frac{(x+5)(x+1)}{(x+2)(x-1)} > 0 \\ \frac{x^2+6x+5}{(x^2+x-2)-2} ≤ 0 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} \frac{(x+5)(x+1)}{(x+2)(x-1)} > 0 \\ \frac{x^2+6x+5-2x^2-2x+4}{x^2+x-2} ≤ 0 \end{array} \right.} $$

$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} \frac{(x+5)(x+1)}{(x+2)(x-1)} > 0\\ \frac{-x^2+4x+9}{x^2+x-2} ≤ 0 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} \frac{(x+5)(x+1)}{(x+2)(x-1)} > 0\\ \frac{x^2-4x-9}{x^2+x-2} ≥ 0 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} \frac{(x+5)(x+1)}{(x+2)(x-1)} > 0\\ \frac{(x-x_1 )(x-x_2 )}{(x+2)(x-1)} ≥ 0 \end{array} \right.} $$

$$ D = 4^2-4 \cdot 1 \cdot (-9) = 16+36 = 52, x_{1, 2} = \frac{4 \pm 2 \sqrt{13}}{2} = 2 \pm \sqrt{13} $$

Ответ: $x \in (-\infty;-5) \cup [2-\sqrt{13};-1) \cup [2+\sqrt{13};+\infty) $