Рациональные неравенства. Метод интервалов
Понятие рациональных неравенств с одной переменной и их решения
Общие свойства неравенств и линейные неравенства с одной переменной подробно рассматриваются в Главе 6, §§36-40 справочника для 8 класса.
О рациональных алгебраических выражениях – см. §1 справочника для 7 класса.
Рациональное неравенство с одной переменной – это математическое выражение, в котором есть две стороны и один из знаков неравенства между ними: $\neq, \lt, \le, \ge, \gt $
Каждая из сторон рационального неравенства с одной переменной является рациональным выражением с этой переменной.
Например:
$$ \frac{3a^2}{a-\sqrt{2}} \neq 4, \quad \frac{5-x}{x^2-9} \lt 0, \quad 2y^3+1 \gt 3y-5 $$
Решением рационального неравенства с одной переменной называют такое множество всех значений этой переменной, при подстановке которых в это неравенство вместо неизвестного получается верное числовое неравенство.
При решении неравенств используются свойства неравенств (см. §36 справочника для 8 класса), из которых следует:
- если перенести какое-либо слагаемое неравенства в другую часть, знак неравенства не изменится;
- если разделить обе части неравенства на одно и то же положительное число, знак не изменится; при делении на одно и то же отрицательное число знак нужно поменять.
Алгоритм решения неравенств первой степени
Напомним, что неравенство первой степени также называют «линейным неравенством» (см. Главу 6, §§36-40 справочника для 8 класса)
На входе: неравенство $ax+b \gt 0$ или $ax+b \lt 0$ или аналогичные нестрогие неравенства, где x - переменная, $a \in \Bbb R, b \in \Bbb R$ - некоторые действительные числа, причем $a \neq 0$.
Ход решения:
$$ ax+b \gt 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c}a \gt 0 \\ x \gt -\frac{b}{a}, т.е. x \in (-\frac{b}{a};+ \infty)\end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} a \lt 0 \\ x \lt -\frac{b}{a}, т.е. x \in(- \infty;-\frac{b}{a} )\end{array} \right.} \end{array} \right. $$
$$ ax+b \ge 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} a \gt 0\\x \ge -\frac{b}{a}, т.е. x \in [-\frac{b}{a};+ \infty) \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} a \lt 0 \\ x \le -\frac{b}{a}, т.е. x \in (- \infty;-\frac{b}{a}]\end{array} \right.} \end{array} \right. $$
Неравенства со знаками $ \lt $ и $ \le $ решаются аналогично.
Например:
1. $5x+8 \gt 0 \Rightarrow 5x \gt -8 \Rightarrow x \gt -1,6 \Rightarrow x \in(-1,6;+ \infty)$
2. $4-2x \le 0 \Rightarrow -2x \le -4 \Rightarrow x \ge 2 \Rightarrow x \in [2;+ \infty)$
Алгоритм решения неравенств второй степени
На входе: неравенство $ax^2+bx+c \gt 0$ или $ax^2+bx+c \lt 0$ или аналогичные нестрогие неравенства, где x - переменная, $a \in \Bbb R, b \in \Bbb R, c \in \Bbb R$ - некоторые действительные числа, причем $a \neq 0$.
Ход решения:
Решение сводится к поиску промежутков, на которых функция $y(x) = ax^2+bx+c$ принимает положительные или отрицательные значения (подробней о графиках квадратных трёхчленов, см. §§28,29 справочника для 8 класса)
Точки пересечения параболы $y(x) = ax^2+bx+c$ с осью OX
| $ a \gt 0 $ | $ a \lt 0 $ | ||
| $D \gt 0$ |  |
 |
$x_{1,2} =$ $ = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ |
| D = 0 |  |
 |
$x_0 = -\frac{b}{2a}$ |
| $D \lt 0$ |  |
 |
{$ \varnothing $}-нет пересечений |
Рассмотрим ход решения неравенства $ax^2+bx+c \gt 0$ при $a \gt 0$. Нам необходимо искать такие x, для которых точки параболы расположены НАД осью OX.
Шаг 1. Найти дискриминант $D = b^2-4ac$.
Шаг 2.
1) Если $D \gt 0$, найти $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Точки параболы расположены над осью OX на промежутках $x \lt x_1 \cup x \gt x_2$, т.е. решение неравенства: $x \in (-\infty;x_1 ) \cup (x_2;+\infty)$.
2) Если D = 0, найти $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Точки параболы расположены над осью OX при всех действительных $x \in \Bbb R$, кроме $x \neq x_0$. Решение неравенства: $x \in \Bbb R,x \neq x_0$.
3) Если $D \lt 0$, все точки параболы расположены над осью OX, т.е. всегда $y(x) = ax^2+bx+c \gt 0$. Решение неравенства: $x \in \Bbb R$ - любое действительное число.
Рассмотрим ход решения неравенства $ax^2+bx+c \lt 0$ при $a \gt 0$. Нам необходимо искать такие x, для которых точки параболы расположены ПОД осью OX.
Шаг 1. Найти дискриминант $D = b^2-4ac$.
Шаг 2.
1) Если $D \gt 0$, найти $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Точки параболы расположены под осью OX на промежутке $x_1 \lt x \lt x_2$, т.е. решение неравенства: $x \in (x_1;x_2 )$.
2) Если D = 0, ни одна из точек параболы не расположена под осью OX. Решений нет: $x \in \varnothing$.
3) Если $D \lt 0$, решений также нет: $x \in ∅$.
Внимание!
Для $a \lt 0$ рекомендуется умножить неравенство на (-1), не забыть поменять знак и решать неравенство с $a \gt 0$ по предложенным алгоритмам.
Например:
$x^2+7x+10 \gt 0 $
D = 49-40 = 9
$x = \frac{-7 \pm 3}{2} = \left[ \begin{array}{cc} x_1 = -5 \\ x_2 = -2 \end{array} \right.$
$a = 1 \gt 0$, парабола ветками вверх, точки над осью OX соответствуют
промежуткам:
$x \in (-\infty;-5) \cup (-2;+\infty)$
Метод интервалов
Исследуем знаки (так называемые, промежутки знакопостоянства) для функции f(x) = x-a. Все x, расположенные левее a, меньше: $x \lt a \Rightarrow x-a \lt 0$. А все x, расположенные правее a, больше: $x \gt a \Rightarrow x-a \gt 0$.
Заметим, что при x = a, f(x) = 0.
Введём понятие «белой» (незакрашенной) и «чёрной» (закрашенной) точек.
Cформулируем следующее правило:
При решении строгих неравенств $(>, \lt)$ на числовой прямой следует отмечать «белые» точки, при решении нестрогих неравенств $(\le, \ge)$ на числовой прямой следует отмечать «чёрные» точки .
Получим такое соответствие схем и решений:
$x-a \lt 0, x \in (-\infty;a)$
$ x-a \gt 0, x \in (a;+\infty) $
$x-a \le 0, x \in (-\infty;a]$
$x-a \ge 0, x \in [a;+\infty)$
Теперь понятен смысл «белых» и «чёрных» точек.
«Белые» точки не входят в множество решений.
«Чёрные» точки входят в множество решений.
«Белая» точка $\iff$ круглая скобка
«Чёрная» точка $\iff$ квадратная скобка
Исследуем знаки для функции f(x) = (x-a)(x-b). Это – парабола, ветками вверх, и для неё, как было показано выше:
$$ f(x) \gt 0 при x \lt a \cup x \gt b, \quad f(x) \lt 0 при a \lt x \lt b $$
В качестве примера, для строгих и нестрогих неравенств получаем:
$(x-a)(x-b) \lt 0, x \in (a;b)$
$(x-a)(x-b) \gt 0,$
$x \in (- \infty ;a) \cup (b;+ \infty )$
$(x-a)(x-b) \le 0,x \in [a;b]$
$(x-a)(x-b) \ge 0,$
$ x \in (- \infty ;a] \cup [b;+ \infty )$
Посмотрим, как это работает на практике.
Решим неравенство: $(x-3)(x+2) \gt 0$.
Шаг 1. Неравенство строгое, поэтому отметим на числовой прямой «белые» точки -2 и 3.
Вся числовая прямая теперь разделена на три области:
1) левее -2; 2) между -2 и 3; 3) правее 3.
Шаг 2. Возьмём любой x из первой области, левее -2. Например, x = -5. Подставим его в исходное выражение: (-5-3)(-5+2). Не считая, определим знак каждой скобки-сомножителя: $ \underbrace{(-5-3)}_{\lt 0} \underbrace{(-5+2)}_{\lt 0}$. Поскольку «минус на минус даёт плюс», произведение двух скобок $ \gt 0$, т.е. положительное. Помечаем всю первую область знаком «+».
Шаг 3. Возьмём любой x из второй области, между -2 и 3. Например, x = 0. Подставим: $ \underbrace{(0-3)}_{\lt 0} \underbrace{(0+2)}_{\gt 0}$. Произведение двух скобок разных знаков $ \lt 0 $, т.е. отрицательное. Помечаем всю вторую область знаком «-».
Шаг 4. Возьмём любой x из третьей области, правее 3. Например, x = 10. Подставим: $\underbrace{(10-3)}_{\gt 0} \underbrace{(10+2)}_{\gt 0}$. Произведение двух скобок $ \gt 0$, т.е. положительное.
Помечаем всю третью область знаком «+».
Шаг 5. По условию нам нужно выбрать промежутки $\gt 0$, т.е. помеченные «+». Записываем ответ: $x \in (-\infty ;-2) \cup (3;+\infty )$.
Преимущества метода интервалов:
- если левая сторона неравенства может быть представлена в виде произведения линейных сомножителей, ответ получается «автоматически», не нужно задумываться о расположении точек параболы относительно оси OX, не говоря уже о более сложных графиках;
- с помощью метода можно решать неравенства любого порядка, т.е. не только первого и второго, но и третьего, четвёртого и выше.
Обобщение метода интервалов для целых рациональных неравенств любой степени
В общем случае в целом рациональном неравенстве слева стоит многочлен степени n:
$$ P_n (x) = a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+⋯+a_1 x+a_0 $$
где x - переменная, $a_i \in \Bbb, i = \overline{0,n} $ - некоторые действительные числа, причем $a_n \neq 0$.
Корнем многочлена $P_n (x)$ называют такое действительное число c, что при его подстановке $P_n (c)$ = 0.
Например:
Рассмотрим многочлен 2й степени: $P_2 (x) = x^2+5x+6$
x = -3 является его корнем, т.к. $P_2 (-3) = (-3)^2+5 \cdot (-3)+6 = 0$
x = -2 является его корнем, т.к. $P_2 (-2) = (-2)^2+5 \cdot (-2)+6 = 0$
При этом: $P_2 (x) = (x+3)(x+2)$
Если c - корень многочлена $P_n (x)$, то многочлен делится на (x-c) без остатка.
СЛУЧАЙ 1. Линейные сомножители в 1-й степени
Пусть многочлен $P_n (x)$ имеет n различных корней $c_i,i = \overline{1,n}$. Тогда его можно представить в виде произведения:
$$ P_n (x) = (x-c_1 )(x-c_2 )…(x-c_n ) $$
Алгоритм решения неравенства $(x-c_1 )(x-c_2 )…(x-c_n ) \gt 0$ методом интервалов
Пусть для определенности $c_1 \lt c_2 \lt ⋯ \lt c_n$. Этого всегда можно добиться, т.к. от перестановки сомножителей произведение не изменяется.
Шаг 1. Отметить на числовой прямой корни $c_1,c_2,…c_n$. Т.к. неравенство строгое, точки должны быть «белыми». Числовая прямая будет поделена на n+1 областей:
1) левее $c_1$; 2) между $c_1$ и $c_2$; 3) между $c_2$ и $c_3$; …;n+1) правее $c_n$.
Шаг 2. Из каждой области выбрать произвольный x, подставить в выражение слева, определить его знак, пометить область «+» или «-».
Шаг 3. Выбрать области, помеченные «+». Записать ответ как объединение этих промежутков.
При решении неравенства $(x-c_1 )(x-c_2 )…(x-c_n ) \lt 0$ последовательность шагов аналогична, только в ответ нужно отбирать области, помеченные «-».
Для нестрогих неравенств действуем также, только точки на прямой должны быть «чёрными» и включаться в множество решений (с помощью квадратных скобок).
Например:
Решим неравенство $(x-4)(x+3)(x-1) \lt 0$
Отмечаем на прямой корни (т.е. такие x, которые обращают каждую из скобок в 0).
Неравенство строгое – все точки на числовой прямой «белые»:
Числовая прямая делится на 4 области:
1) левее -3; 2) между -3 и 1; 3) между 1 и 4; 4) правее 4.
Из каждой области выбираем произвольный x, подставляем в (x-4)(x+3)(x-1), и находим знак произведения скобок:
По условию произведение $ \lt 0$, т.е. выбираем промежутки, помеченные «-».
Ответ: $x \in (-\infty;-3) \cup (1;4)$.
СЛУЧАЙ 2. Линейные сомножители в степени $m \ge 2$
Пусть многочлен $P_n (x)$ имеет $k \lt n$ различных корней $c_i,i = \overline{1,k}$, при этом некоторые корни повторяются (являются кратными). Тогда его можно записать в виде:
$$ P_n (x) = (x-c_1 )^{p_1} (x-c_2 )^{p_2}…(x-c_k )^{p_k}$$
где $p_i \ge 1, i = \overline{1,k} $ – кратности соответствующих корней (степени скобок).
$P_3 (x) = (x-1)^2 (x+2) $
$P_5 (x) = x(x+3) (x-5)^3$
Алгоритм решения строгого неравенства вида $(x-c_1 )^{p_1} (x-c_2 )^{p_2}…(x-c_k )^{p_k} \gt 0$ или $(x-c_1 )^{p_1} (x-c_2 )^{p_2}…(x-c_k )^{p_k} \lt 0$ методом интервалов
Шаг 1. Заменить все скобки с нечётными степенями $p_i \gt 1$ на такие же скобки в 1-й степени.
Шаг 2. Убрать все скобки с чётными степенями $p_i \gt 1$, как не влияющие на знак; добавить требование $x \neq c_i$, где $c_i$ - соответствующие корни из этих скобок, в систему.
Шаг 3. Решить полученное неравенство с линейными сомножителями в 1-й степени. Исключить корни вида $x = c_i$ шага 2.
Например:
1. Решим неравенство: $(x-1)^2 (x+2) \gt 0$
Убираем первую скобку с квадратом (чётная степень) и добавляем требование $x \neq 1$ в систему:
${\left\{ \begin{array}{c} x+2 \gt 0 \\ x \neq 1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x \gt -2 \\ x \neq 1\end{array} \right.} \Rightarrow x \in (-2;1) \cup (1;+\infty) $
2. Решим неравенство: $x(x+3) (x-5)^3 \lt 0$
Заменяем третью скобку с кубом (нечетная степень) на скобку в первой степени:
$ x(x+3)(x-5) \lt 0 $
Решаем полученное неравенство с линейными сомножителями в 1-й степени.
Неравенство строгое – все точки на числовой прямой «белые»:
Выбираем промежутки, помеченные «-»: $x \in (- \infty;-3) \cup (0;5)$.
Алгоритм решения нестрогого неравенства вида $(x-c_1 )^{p_1} (x-c_2 )^{p_2}…(x-c_k )^{p_k} \ge 0$ или $(x-c_1 )^{p_1} (x-c_2 )^{p_2}…(x-c_k )^{p_k} \le 0$ методом интервалов
Шаг 1. Заменить все скобки с нечётными степенями $p_i \gt 1$ на такие же скобки в 1-й степени.
Шаг 2. Убрать все скобки с чётными степенями $p_i \gt 1$, как не влияющие на знак, добавить решение $x = c_i$, где $c_i$ - соответствующие корни из этих скобок, в совокупность.
Шаг 3. Решить полученное неравенство с линейными сомножителями в 1-й степени. Добавить корни вида $x = c_i$ шага 2.
Например:
1. Решим неравенство: $(x-1)^2 (x+2) \le 0$
Убираем первую скобку с квадратом (чётная степень), записываем корень из этой скобки в совокупность:
$ \left[ \begin{array}{cc} x+2 \le 0 \\ x = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x \le -2 \\ x = 1 \end{array} \right. \Rightarrow x \in (-\infty;-2] \cup \{1\} $
2. Решим неравенство: $x(x+3) (x-5)^3 \le 0$
Заменяем третью скобку с кубом (нечетная степень) на скобку в первой степени:
$x(x+3)(x-5) \le 0 $
Решаем полученное неравенство с линейными сомножителями в 1-й степени.
Неравенство нестрогое – все точки на числовой прямой «чёрные»:
Выбираем промежутки, помеченные «-»: $x \in (- \infty;-3] \cup [0;5]$.
СЛУЧАЙ 3. Квадратичные сомножители $x^2+px+q$, которые не раскладываются на линейные
Многочлен $P_n (x)$ может раскладываться не только на линейные скобки. В ходе разложения можно получить квадратичные скобки $x^2+px+q$, которые больше не раскладываются $( D = p^2-4q \lt 0)$.
Мы уже знаем, что парабола $y(x) = x^2+px+q$ в этом случае $(a \gt 0, D \lt 0)$ будет всегда положительной.
Поэтому, при решении неравенств, такие скобки просто убираются, т.к. на знак выражения они не влияют.
Например:
Решим неравенство: $(x^2+4)(x^3-1) \lt 0$
$(x^2+4)$ на линейные сомножители не раскладывается, $x^2+4 \ge 4 \gt 0$ - на знак всего выражения не влияет, его можно убрать.
Решаем $x^3-1 \lt 0$. Раскладываем разность кубов на множители:
$$ (x-1)(x^2+x+1) \lt 0 $$
У второй скобки $(x^2+x+1)$ дискриминант $D = 1-4 = -3 \lt 0$ отрицательный, и скобка на линейные множители не раскладывается. Она всегда положительна, её можно убрать. Получаем:
$x-1 \lt 0 \Rightarrow x \lt 1$
Ответ: $x \in (- \infty;1)$
Примеры
Пример 1. Решите неравенства:
$ а) x^2-7x+10 \gt 0 $
$ (x-2)(x-5) \gt 0 $
$б) 2x^2+11x-6 \ge 0$
$ D = 121-4 \cdot 2 \cdot (-6) = 169 = 13^2$
$ x = \frac{-11 \pm 13}{4} = \left[ \begin{array}{cc} x_1 = -6 \\ x_2 = 0,5 \end{array} \right. $
$ 2(x+6)(x-0,5) \ge 0 |:2 $
$ (x+6)(x-0,5) \ge 0 $
$ x \in (-\infty;-6] \cup [0,5;+\infty) $
$в) 5x^2+x \lt 0$
$x(5+x) \lt 0 $
$x \in (-5;0)$
$ г) 9-x^2 \ge 0 | \times (-1) $
$x^2-9 \le 0 $
$ (x+3)(x-3) \le 0 $
$ x \in [-3;3] $
Пример 2. Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству:
$ а) (x-5)^2-1 \le x(6-x) $
$ (x-5-1)(x-5+1) \le x(6-x)$
$(x-6)(x-4)-x(6-x) \le 0 $
$(x-6)(x-4)+x(x-6) \le 0$
$(x-6)(x-4+x) \le 0$
$(x-6)(2x-4) \le 0$
$2(x-6)(x-2) \le 0 |:2$
$ (x-6)(x-2) \le 0$
$x \in [2;6]$
Наименьшее целое x = 2
$ б) (3x+1)(x-2)-2(x-1)^2 \lt -3$
$3x^2-5x-2-2(x^2-2x+1)+3 \lt 0$
$x^2-x-1 \lt 0$
$(x-2)(x+1) \lt 0$
$x \in (-1;2)$
Наименьшее целое x = 0
Пример 3. Решите неравенство:
$ а) (5x-3)(x+2)(3x+7) \ge 0$
$ 5 \cdot 3(x-\frac{3}{5})(x+2)(x+\frac{7}{3}) \ge 0 |:15$
$(x-\frac{3}{5})(x+2)(x+2 \frac{1}{3}) \ge 0$
$ x \in [-2 \frac{1}{3};-2] \cup [\frac{3}{5};+ \infty)$
$ б) (x^2+20)(x^2+4) \le (2x^2-5)(x^2+4)$
$(x^2+20)(x^2+4)-(2x^2-5)(x^2+4) \le 0 $
$ (x^2+4)(x^2+20-(2x^2-5) ) \le 0$
$(x^2+4)(25-x^2 ) \le 0$
$ x^2+4 \ge 4 \gt 0$, на знак не влияет, сокращаем
$ 25-x^2 \le 0 | \times (-1) $
$ x^2-25 \ge 0$
$ (x+5)(x-5) \ge 0$
$x \in (-\infty;-5] \cup [5;+\infty) $
$ в) (x-4)^2 (x-3)^3 (x-5) \lt 0 $
Неравенство строгое. Убираем первую скобку с чётной степенью, добавляем требование неравенства корню в систему. Заменяем скобку с нечётной степенью на скобку в 1-й степени:
${\left\{ \begin{array}{c} (x-3)(x-5) \lt 0 \\ x \neq 4 \end{array} \right.} $
$ x \in (3;4) \cup (4;5)$
$ г) (x+4)^3 (x-2)^4 (x+6)^5 \le 0$
Неравенство нестрогое. Убираем вторую скобку с чётной степенью, добавляем требование равенства корню в совокупность. Заменяем скобку с нечётной степенью на скобку в 1-й степени:
$ \left[ \begin{array}{cc} (x+4)(x+6) \le 0 \\ x = 2 \end{array} \right.$
$x \in [-6;-4] \cup \{2\}$
