Простые и сложные проценты. Модель банковской системы
п.1. Простые проценты
Например:
Пусть первоначальный вклад (сумма депозита) составляет 10 тыс.руб. Банк начисляет простой процент на вклад в размере 10% годовых. Какую сумму получит вкладчик через три года?
По определению простого процента на счёт вкладчика будет каждый год начисляться
10% · 10 т.руб. = 1 т.руб. За три года – 3 т.руб. Итого вкладчик получит через три года 10 + 3 = 13 т.руб.
Например:
Для рассмотренного выше случая S3 = 10(1 + 3 · 0,1) = 10 · 1,3 = 13 (т.руб.)
п.2. Сложные проценты
Например:
Пусть первоначальный вклад (сумма депозита) составляет 10 тыс.руб. Банк начисляет сложный процент на вклад в размере 10% годовых. Какую сумму получит вкладчик через три года?
Заполним таблицу:
| Год | Тело депозита, т.руб. | % прошлых лет, т.руб. | Итого, т.руб. | % текущего года, т. руб. | Всего на конец года, т. руб. |
| 1 | 10 | 0 | 10 | 1 | 11 |
| 2 | 10 | 1 | 11 | 1,1 | 12,1 |
| 3 | 10 | 2,1 | 12,1 | 1,21 | 13,31 |
Итого вкладчик получит через три года 13,31 т.руб.
Например:
Для рассмотренного выше случая
S3 = 10(1 + 0,1)3 = 10 · 1,13 = 10 · 1,331 = 13,31 (т.руб.)
п.3. Модель банковской системы, резервы и банковский мультипликатор
Банковская система отдельного государства (или их объединения) делится на два уровня: центральный банк (ЦБ) и коммерческие банки.
ЦБ осуществляет эмиссию денег и регулирует деятельность коммерческих банков. Коммерческие банки (универсальные, инвестиционные, сберегательные, ипотечные и т.д.) оказывают услуги по ведению расчётных операций, кредитованию и инвестированию.
ЦБ определяет размер и распоряжается частью средств коммерческих банков – так называемыми обязательными резервами.
Норма отчислений в обязательные резервы зависит от качества кредитов (степени их риска), которые предоставляет коммерческий банк. В среднем её величина составляет около 20%. Например, если коммерческий банк получил в виде депозитов 300 т.руб., то сумма обязательных резервов составит 20% · 300 = 60 т.руб., а свободно распоряжаться банк сможет 240 т.руб.
Резервирование не всей суммы, а только 20%, позволяет значительно увеличивать возможности кредитования в масштабах всей банковской системы.
Рассмотрим цепочку из пяти банков.
Пусть клиент 1 положил на депозит в Банк 1 500 т.руб. Банк 1 перечислил 20% в обязательный резерв и оставшуюся сумму отдал в кредит клиенту 2. Клиент 2 получил кредит на свой счёт в банке 2. Банк 2 перечислил 20% в обязательный резерв и оставшуюся сумму отдал в кредит клиенту 3 и т.д.
Заполним таблицу:
| Банк | Вклад, т.руб. | Обязательные резервы, 20% | Свободные средства, т.руб. |
| Банк 1 | 500 | 100 | 400 |
| Банк 2 | 400 | 80 | 320 |
| Банк 3 | 320 | 64 | 256 |
| Банк 4 | 256 | 51,2 | 204,8 |
| Банк 5 | 204,8 | 40,96 | 163,84 |
Общая сумма свободных средств, которые были розданы из первоначального депозита в 500 т.руб. составляет: $$ \mathrm{ S_5=S_0\frac{1-q^5}{1-q}=400\cdot \frac{1-0,8^5}{1-0,8}=1344,64\ \text{т.руб.} } $$ Это в \(\mathrm{\frac{S_5}{S_1}\approx3,36}\) раз больше, чем смог бы раздать Банк 1 «в одиночку».
В пределе при очень большом количестве банков \(\mathrm{n\rightarrow\infty}\) степень \(\mathrm{0,8^n\rightarrow 0}\), и общая сумма свободных средств, которые могут быть розданы, составляет: $$ \mathrm{ S_{\infty}=\frac{S_0}{1-q}=\frac{S_0}{p} } $$ где p – норма обязательного резервирования.
В нашем примере: \(\mathrm{ S_{\infty}=\frac{400}{0,2}=2\ \text{млн.руб.} }\) – сумма начального кредита (400 т.руб.) увеличилась в 5 раз.
Он показывает, во сколько раз возрастёт сумма начального кредита при работе бесконечного числа банков в системе.
п.4. Примеры
Пример 1. Вкладчик положил в банк 20 т.руб. под простые проценты в размере 7% годовых. Через 1 год 5 месяцев и 10 дней вкладчик забрал свой вклад. Какую сумму он получил на руки?
Переведём 1 год 5 месяцев и 10 дней в годы: \begin{gather*} \mathrm{ \text{1 год 6 месяцев и 10 дней}=1+\frac{5}{12}+\frac{10}{365}\approx 1,444\ \text{лет} } \end{gather*} По формуле простых процентов:
Ответ: 22 021 руб. 69 коп.
Пример 2. Вкладчик положил в банк 10 т.руб. под простые проценты и через 4 года забрал 15 т.руб. Определите величину ежегодного процента.
По формуле простых процентов: \begin{gather*}\mathrm{ S_n=S_0(1+np)\Rightarrow 1+np=\frac{S_n}{S_0}\Rightarrow p=\frac{1}{n}\left(\frac{S_n}{S_0}-1\right) } \end{gather*} Подставляем: \begin{gather*}\mathrm{ p=\frac14\left(\frac{15}{10}-1\right)=\frac{0,5}{4}=0,125=12,5\text{%} } \end{gather*} Ответ: 12,5%
Пример 3. Вкладчик положил в банк 20 т.руб. под сложные проценты в размере 7% годовых. Через 1 год 5 месяцев и 10 дней вкладчик забрал свой вклад. Какую сумму он получил на руки?
Переведём 1 год 5 месяцев и 10 дней в годы: \begin{gather*} \mathrm{ n=\ \text{1 год 6 месяцев и 10 дней}=1+\frac{5}{12}+\frac{10}{365}\approx 1,444\ \text{лет} } \end{gather*} По формуле сложных процентов:
Ответ: 22 052 руб. 62 коп.
Пример 4. Сколько денег нужно положить в банк, чтобы при начислении сложного процента в 8% годовых получить 20 т.руб. через 10 лет? Во сколько раз увеличится вклад за это время?
По формуле сложных процентов: $$ \mathrm{ S_n=S_0(1+p)^n\Rightarrow S_0=\frac{S_n}{(1+p)^n} } $$ Подставляем: $$ \mathrm{ S_0=\frac{20000}{(1+0,08)^{10}}\approx 9234\ \text{руб.} } $$ Увеличение вклада: $$ \mathrm{ \frac{S_n}{S_0}=(1+p)^n=1,08^{10}\approx 2,16\ \text{раз} } $$ Ответ: 9234 руб.; в 2,16 раз
Пример 5. Карло Понци, создатель знаменитой финансовой пирамиды в США в 1919 г., обещал выплачивать 50% на вклад через каждые 45 дней. Какую сумму получил бы вкладчик 1000 дол., перезакладывая их с процентами в течение года, если бы Понци смог сдержать своё обещание?
По формуле сложных процентов: \(\mathrm{S_n=S_0(1+p)^n}\).
Количество периодов выплат в течение года: \(\mathrm{n=\frac{365}{45}\approx 8,11}\)
Получаем: \(\mathrm{S_n=1000\cdot(1+0,5)^{8,11}\approx 26810\ \text{дол.}}\).
Ответ: 26 810 дол.
Пример 6*. В банковскую систему, состоящую из n банков, поступил вклад в размере 1 млн.руб. Норма обязательных резервов составляет 25%. Сколько банков должны предоставить кредиты, чтобы их общая сумма составила не менее 2,5 млн.руб.? Чему равен мультипликатор системы и предельная величина кредитов?
Первый предоставленный кредит: \(\mathrm{S_0=1000\cdot 0,75=750\ \text{т.руб.}}\).
По формуле общей суммы свободных средств: $$ \mathrm{ S_n=S_0\frac{1-q^n}{1-q}\Rightarrow 1-q^n=\frac{S_n}{S_0}(1-q)\Rightarrow q^n=1-\frac{S_n}{S_0}(1-q) } $$ Учитывая условие «не менее» суммы S: $$ \mathrm{ S_n=S_0\frac{1-q^n}{1-q}\geq S\Rightarrow 1-q^n\geq \frac{S}{S_0}(1-q)\Rightarrow q^n\leq 1-\frac{S}{S_0}(1-q) } $$ Подставляем: $$ \mathrm{ 0,75^n\leq 1 -\frac{2,5}{1}\cdot(1-0,75)=0,375 } $$ Таблица степеней 0,75 с точностью 0,0001
n
1
2
3
4
5
0,75n
0,75
0,5625
0,4219
0,3164
0,2373
Значит, если в цепочке будет 4 и более банков, сумма кредитов превысит 2,5 млн.руб.
Мультипликатор данной банковской системы: \(\mathrm{\mu=\frac{1}{0,25}=4}\)
Предельная величина кредитов, предоставляемых системой: $$ \mathrm{ S_{\infty}=\mu S_0=4\cdot 0,75=3\ \text{млн.руб.} } $$ Ответ: 4 и более банков; μ = 4; S∞ = 3 млн.руб.
