Пространство элементарных событий. Определение вероятности

п.1. Опыт(испытание) и событие (исход)

Например:

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдёт в условиях данного опыта.
Событие называется возможным (случайным), если в результате опыта оно может появиться, но может и не появиться.
Событие называется невозможным, если оно не может произойти в условиях данного опыта.
Например:
1) При бросании кубика выпадение 2 – это возможное событие, а выпадение 8 – невозможное. Достоверное событие «1 или 2 или 3 или 4 или 5 или 6».
2) При бросании монеты выпадение орла – это возможное событие, а зависание монеты в воздухе – невозможное. Достоверное событие «орёл или решка».

События называют несовместными, если они не могут произойти одновременно в результате одного опыта.
Например:
1) Нельзя одновременно A=«попасть в 10» и B=«промахнуться» при стрельбе. События A и B – несовместны.
2) Нельзя одновременно C=«достать белый шарик» и D=«достать черный шарик» из коробки. События C и D – несовместны.

События называют равновозможными, если по условиям опыта ни одно из событий не имеет преимуществ перед другими при появлении.

п.2. Пространство элементарных событий

Например:
1) Пространство элементарных событий при бросании кубика Ω={1;2;3;4;5;6}
2) Пространство элементарных событий при бросании двух монет $$\Omega=\left\{ \begin{array}{ l l} \mathrm{00} & \mathrm{01}\\ \mathrm{10} & \mathrm{11} \end{array}\right\} $$ где на первом месте – результат бросания 1-й монеты, на втором – 2-й монеты.
«0» – выпадение решки; «1» – выпадение орла.

Например:
Пусть при бросании кубика A={1;3;5} – выпадение нечётного числа. Событие A будет происходить каждый раз при наблюдении элементарных событий 1 или 3 или 5.

п.3. Классическое определение вероятности

Данное определение сформулировано Лапласом в 1795 г. в курсе лекций «Опыт философии теории вероятностей».
Рассмотрим пространство элементарных событий, которое состоит из конечного числа элементарных исходов:

Событие A является его подмножеством A⊆Ω: $$ \mathrm{ A={\widetilde{\omega_1}, \widetilde{\omega_2}, ..., \widetilde{\omega_k}},\ \ \widetilde{\omega_i}=\omega_j,\ \ |A|=k,\ k\leq n } $$

Например:
Пространство элементарных событий при бросании кубика Ω={1;2;3;4;5;6}
Пусть при бросании кубика A={1;3;5} – выпадение нечётного числа. $$ \mathrm{ n=6,\ \ k=3,\ \ P(A)=\frac{3}{6}=0,5 } $$ Вероятность выпадение нечётного числа равна 0,5.

п.4. Геометрическое определение вероятности

Недостатком классического определения вероятности является требование конечности множества событий.
Но нам известны удачные модели бесконечных множеств, которые используются даже в элементарной математике: числовые прямые, системы координат на плоскости и в пространстве. Попробуем их использовать.
Например, рассмотрим опыт со стрельбой в мишень радиуса R=1. Пусть стрелок всегда попадает в мишень. Пространство элементарных событий ограничено кругом x² + y² ≤1. Круг содержит в себе бесконечное множество точек и все возможные исходы (свойство полноты). Случайное попадание в эту область равновероятно для любой точки (свойство равновозможности). Одновременно попасть в две разные точки области невозможно (свойство несовместности).
Пусть событие A, которое нас интересует, описывается другим ограничением: попаданием в круг \(\mathrm{ \left(x-\frac12\right)^2+y^2\leq \frac14. }\)
Тогда:

\begin{gather*} \mathrm{ \Omega: x^2+y^2\leq 1,\ \ \left(x-\frac12\right)^2+y^2\leq \frac14. }\\ \mathrm{ S_A=\frac{\pi r^2}{2}=\frac{\pi}{2}\cdot \frac14=\frac{\pi}{8} }\\ \mathrm{ S_{\Omega}=\frac{\pi r^2}{2}=\frac{\pi}{2}\cdot 1=\frac{\pi}{2} }\\ \mathrm{ P(A)=\frac{\pi}{8}:\frac{\pi}{2}= \frac14 } \end{gather*}

Геометрическое определение вероятности можно использовать при моделировании бесконечных множеств любой размерности: от одномерных (прямая, на которой определена длина) до многомерных (N-мерные пространства, на которых определены свои меры) (см. также §38 данного справочника).

п.5. Статистическое определение вероятности

Многочисленные опыты с подбрасыванием монеты показывают, что число выпадений «орла» приближается к 1/2, может быть немного больше или меньше, но никогда не равно половине в точности.

В принципе, чем больше будет проведено опытов, тем ближе будет экспериментальная величина к теоретической. Поэтому, с точки зрения статистики:

Такое понимание вероятности очень продуктивно, т.к. позволяет вывести важные теоремы, которые широко используются в статистике и других областях прикладной математики.

В современной математике вероятность определяется аксиоматически, в рамках аксиоматики Колмогорова. Если ваша будущая профессия будет связана с математикой, вам обязательно об этом расскажут.

п.6. Примеры

Пример 1. Из хорошо тасованной колоды в 32 карты выбирается наугад одна карта. Какова вероятность того, что это:
1) туз;
2) карта бубновой масти;
3) либо король, либо дама, либо валет;
4)* какова вероятность, что в данной колоде сверху – пиковая дама?

1) Всего карт n = 32, тузов k = 4
Вероятность выбрать туз: \(\mathrm{ P=\frac{k}{n}=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}=0,125 }\)
2) Всего карт n = 32, бубновой масти k = 8
Вероятность выбрать карту бубновой масти: \(\mathrm{ P=\frac{k}{n}=\frac{8}{32}=\frac{1}{4}=0,25 }\)
3) Всего карт n = 32, королей, дам и валетов k = 12
Вероятность выбрать короля, даму или валета: \(\mathrm{ P=\frac{k}{n}=\frac{12}{32}=\frac{3}{8}=0,375 }\)

4) Каждое тасование колоды – это перестановка без повторений (см.§34 данного справочника)
Общее количество возможных перестановок: P₃₂=32!
Если зафиксировать первую карту – пиковую даму, то общее количество возможных перестановок оставшихся карт P₃₁=31! – количество вариантов колод с пиковой дамой наверху.
n = 32!, k = 31!
Искомая вероятность:\(\mathrm{ P=\frac{k}{n}=\frac{31!}{32!}=\frac{1}{32}=0,03125 }\)
Ответ: 1) 0,125; 2) 0,25; 3) 0,375; 4) 0,03125.

Пример 2. В слове «КОРОНАВИРУС» наугад выбирается одна буква.
Какова вероятность, что это буква:
1) гласная;
2) согласная;
3) буква «Р»;
4) буква «Ц».

1) Всего букв n = 11, гласных букв k = 5
Вероятность выбрать гласную букву: \(\mathrm{ P=\frac{k}{n}=\frac{5}{11} }\)
2) Всего букв n = 11, согласных букв k = 6
Вероятность выбрать согласную букву: \(\mathrm{ P=\frac{k}{n}=\frac{6}{11} }\)
3) Всего букв n = 11, букв «Р» k = 2
Вероятность выбрать букву «Р»: \(\mathrm{ P=\frac{k}{n}=\frac{2}{11} }\)
4) Всего букв n = 11, букв «Ц» k = 0
Вероятность выбрать букву «Ц»: \(\mathrm{ P=\frac{k}{n}=0 }\) – невозможное событие.
Ответ: \(\mathrm{ 1)\ \frac{5}{11};\ 2)\ \frac{6}{11};\ 3)\ \frac{2}{11};\ 4)\ 0. }\)

Пример 3. В семье четверо детей, близнецов нет.
1) Какова вероятность, что мальчиков и девочек поровну?
2) Какова вероятность, что старший ребенок – девочка, и младший - мальчик?

Дети в семье появляются по очереди, т.е. выборка является упорядоченной. Рассматриваем размещение с повторениями (см.§35 данного справочника)
n = 2, k = 4 $$ \mathrm{ \overline{A}_2^4=2^4=16 } $$ Пространство элементарных событий состоит из N = 16 вариантов:

1) Мальчиков и девочек поровну в 6 случаях из 16: \(\mathrm{ P=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}=0,375 }\)
2) Старший ребенок – девочка, и младший – мальчик в 4 случаях из 16:
\(\mathrm{ P=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}=0,25 }\)
Ответ: 1) 0,375; 2) 0,25.

Пример 4. Деревянный куб покрасили и распилили на 1000 кубиков.
Какова вероятность, что случайно выбранный кубик имеет:
1) три окрашенных грани;
2) две окрашенных грани;
3) одну окрашенную грань;
4) ни одной окрашенной грани?

1) Три окрашенных грани будут иметь кубики на вершинах куба.
Вершин у куба 8, значит k = 8. Вероятность \(\mathrm{ P=\frac{8}{1000}=0,008}\)
2) Две окрашенных грани будут иметь кубики на ребрах куба, кроме вершин.
Всего ребёр у куба 12, на каждом ребре по 8 кубиков без вершин, k = 12 · 8 = 96.
Вероятность \(\mathrm{ P=\frac{96}{1000}=0,096}\)
3) Одну окрашенную грань будут иметь кубики на гранях куба, кроме ребер и вершин.
Всего граней у куба 6, на каждой грани по 8 · 8 = 64 внутренних кубика, k = 6 · 64 = 384. Вероятность \(\mathrm{ P=\frac{384}{1000}=0,384}\)
4) Неокрашенными будут k = 8 · 8 · 8 = 512 кубиков.
Вероятность \(\mathrm{ P=\frac{512}{1000}=0,512}\)
Ответ: 1) 0,008; 2) 0,096; 3) 0,384; 4) 0,512.