Производственная функция Кобба-Дугласа. Изокванты и изокосты

Факторы производства и производственная функция

В современном мире нам не удастся выжить, орудуя одной лишь «палкой-копалкой», верно служившей нашим далёким предкам. Стол, кресло, компьютер, одежда, посуда, - всё стало настолько сложным, что одному человеку никак не справиться, и одновременно настолько простым, что десятки тысяч этих товаров каждую секунду сходят с конвейеров по всему миру.

Чтобы произвести что-нибудь, нужны ресурсы: сырьё, материалы, оборудование, энергия, информация, деньги, труд людей.

Результат производства – это некоторое количество Q выпущенного продукта.

Например:

Пусть $Q = 1,5 \sqrt{KL}$.

Тогда при затратах K = 100 ед. капитала и L = 16 ед. труда, будет получено $Q = 1,5 \cdot \sqrt{100 \cdot 16} = 1,5 \cdot 10 \cdot 4 = 60$ ед. продукции.

Степенная производственная функция Кобба-Дугласа

Производственные функции можно строить по-разному.

Часто используется модель, в которой оба фактора – труд и капитал – входят в виде произведения степеней:

$$ Q = A \cdot K^a L^{1-a} $$

где A – технологический коэффициент (зависит от применяемой технологии);

$0 \le a \le 1$ - коэффициент эластичности.

Такие производственные функции называют функциями Кобба-Дугласа в честь американских исследователей, которые получили:

$$ Q = 1,4 \cdot K^{\frac{1}{4}} L^{\frac{3}{4}}$$

в 1927 году для обрабатывающей промышленности США.

Свойства производственной функции Кобба-Дугласа:

1. Если K = 0 или L = 0, то Q = 0, т.е. производство невозможно при отсутствии хотя бы одного фактора производства.

2. При увеличении затрат фактора производства, величина выпуска продукции возрастает: $K \uparrow \Rightarrow Q \uparrow, L \uparrow \Rightarrow Q \uparrow$

Например:

Пусть $Q = 2,5 \cdot K^{\frac{1}{4}} L^{\frac{3}{4}}$.

Тогда при затратах K=81 ед. капитала и L=16 ед. труда, будет получено $Q = 2,5 \cdot \sqrt[4]{81 \cdot 16^3} = 2,5 \cdot 3 \cdot 8 = 60$ ед. продукции.

Изокванты – линии равного выпуска

Пусть предприятие планирует выпустить $Q_0$ единиц продукции.

В этом случае, мы можем найти зависимость затрат капитала от затрат труда.

Выведем формулу:

$$ Q_0 = A \cdot K^a L^{1-a} \Rightarrow K^a = \frac{Q_0}{A L^{1-a}} = \frac{Q_0}{A} L^{a-1} \Rightarrow Κ = \Biggl( \frac{Q_0}{A} L^{a-1}\Biggr)^{1/a} $$

$$ Κ = \Biggl( \frac{Q_0}{A}\Biggr)^{\frac{1}{a}} L^{\frac{a-1}{a}} $$

Эту зависимость можно изобразить на плоскости LOK в виде кривой.

Для каждого плана выпуска будет отдельная кривая.

Например:

Пусть $Q = 2,5 \cdot K^{\frac{1}{4}} L^{\frac{3}{4}}$.

Построим изокванты для $Q_0 = \{25;50;75;100 \}$ единиц готовой продукции.

$$ a = \frac{1}{4}, \frac{1}{a} = 4, \frac{a-1}{a} = -3, \frac{Q_0}{A} = \frac{Q_0}{2,5} = 0,4 Q_0, Κ = \frac{(0,4Q_0 )^4}{L^3} $$

Свойства изоквант

1. Чем больше используется труда, тем меньше нужно капитала для производства заданного количества продукции. И наоборот: чем меньше труда, тем больше капитала. Труд и капитал взаимно заменяют друг друга.

2. Через каждую точку (L;K) проходит единственная изокванта.

3. Изокванты, соответствующие разным количествам продукции $Q_1 \neq Q_2$, не пересекаются.

Изокосты – линии равной стоимости

Согласно полученному выше графику, произвести $Q_0$ = 100 единиц продукции можно потратить 50 единиц труда и 20 единиц капитала, или же по 40 единиц труда и капитала, или же множество других сочетаний L и K.

Как нам определить, какое из сочетаний будет самым удачным? Очевидно, исходя из цены каждого ресурса. Пусть r - цена единицы капитала, а w – цена единицы труда. Тогда для некоторого набора ресурсов (L,K ), их общая стоимость:

В этом случае:

$$ K = - \frac{w}{r} L+ \frac{C}{r} $$

На плоскости LOK это будет прямая с угловым коэффициентом $k = -\frac{w}{r}$.

Например:

Пусть цена ресурсов r = 5, w = 3.

Построим изокосты для общей суммы затрат C = {200;250;300;350}

$$ \frac{w}{r} = \frac{3}{5} = 0,6, \frac{C}{r} = \frac{C}{5} = 0,2C, K = -0,6L+0,2C $$

Свойства изокост

1. Угловой коэффициент изокосты равен отношению цен на ресурсы $k = -\frac{w}{r}$.

2. Изокоста для данного бюджета затрат C проходит через точки $(\frac{C}{w},0)$ и $(0;\frac{C}{r})$.

3. Для заданных цен на ресурсы изокосты для $C_1 \neq C_2$ являются параллельными прямыми.

План производства с минимальными затратами на ресурсы

Теперь поставим главную задачу:

При заданном плане производства $Q_0$, известных ценах на ресурсы r и w, найти такое сочетание труда L и капитала K, при котором затраты на эти ресурсы минимальны:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} Q_0 = A \cdot K^a L^{1-a} \\ C = wL+rK \rightarrow min \end{array} \right.} $$

Величина затрат для оптимальной изокванты:

$$ C_0 = \frac{Q_0}{A} \cdot \left(\frac{w}{1-a}\right)^{1-a} \cdot \left(\frac{r}{a}\right)^a $$

Оптимальный объем ресурсов:

$$ L_0 = \frac{C_0}{\left(\frac{w}{1-a}\right)}, K_0 = \frac{C_0}{\left(\frac{r}{a}\right)}$$

Например:

Пусть $Q = 2,5 \cdot K^\frac{1}{4} L^\frac{3}{4}$. План выпуска продукции $Q_0 = 100$ единиц.

Цена ресурсов r = 5, w = 3.

Найти оптимальное отношение труда к капиталу $\frac{L_0}{K_0}$, при котором затраты на ресурсы будут минимальными.

Оптимальный бюджет:

$$ C_0 = \frac{100}{2,5}\left(\frac{3}{3/4}\right)^{\frac{3}{4}}\left(\frac{5}{1/4}\right)^{\frac{1}{4}} = 40 \cdot 4^{\frac{3}{4}} \cdot 20^{\frac{1}{4}} = 40 \cdot \sqrt[4]{64 \cdot 20} = 40 \sqrt[4]{2^6 \cdot 5 \cdot 2^2} = $$

$$ = 40 \cdot 2^2 \cdot \sqrt[4]{5} = 160 \sqrt[4]{5} $$

Оптимальный объем ресурсов:

$$ L_0 = \frac{160 \sqrt[4]{5}}{\left(\frac{3}{3/4}\right)} = 40 \sqrt[4]{5}, K_0 = \frac{160 \sqrt[4]{5}}{\left(\frac{5}{1/4}\right)} = 8 \sqrt[4]{5} $$

Искомое отношение:

$$ \frac{L_0}{K_0} = \frac{40 \sqrt[4]{5}}{8 \sqrt[4]{5}} = 5 $$

Объем труда в 5 раз больше объема капитала при оптимальных затратах.

В плоскости LOK:

$$ Κ = \frac{(0,4Q_0 )^4}{L^3} = \frac{40^4}{L^3}, K = -0,6L+0,2C = -0,6L+32 \sqrt[4]{5} $$

Таким образом, точка $(40 \sqrt[4]{5};8 \sqrt[4]{5})$ является точкой касания изокосты с минимальным бюджетом затрат $C_0 = 160 \sqrt[4]{5}$ и изокванты с планом выпуска $Q_0 = 100$.