Неравенства с параметром

п.1. Целые неравенства с параметрами

Пример 1. При каких значениях параметра a неравенство верно при любом x:
a) \(\mathrm{x^2 + (a-4)x+a^2-a+4\gt 0}\)
Выражение слева – уравнение параболы ветками вверх. Такая парабола будет всегда положительной, если D < 0. Найдём дискриминант: \begin{gather*} \mathrm{ D=(a-4)^2-4\cdot 1\cdot (a^2-a+4)= }\\ \mathrm{ =a^2-8a+16-4a^2+4a-16=-3a^2-4a=-3a\left(a+\frac43\right)\lt 0 } \end{gather*} Получаем: $$ \mathrm{ a\left(a+\frac43\right)\gt 0\Rightarrow a\lt -\frac43\cup a\gt 0 } $$ Ответ: \(\mathrm{x\in(-\infty;-\frac43)\cup(0;+\infty)}\).

б) \(\mathrm{ax^2-8x+a\gt 0}\)
При a = 0 неравенство преобразуется в \(\mathrm{-8x\lt 0\Rightarrow x\gt 0}\), т.е. выполняется не при всех x.
При a < 0 парабола будет всегда отрицательной при D < 0. Находим дискриминант: \begin{gather*} \mathrm{ D=8^2-4\cdot a\cdot a=4(16-a^2)\lt 0 }\\ \mathrm{ a^2-16\gt 0\Rightarrow(a+4)(a-4)\gt 0\Rightarrow a\lt -4\cup a\gt 4 } \end{gather*} Получаем систему: $$ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\lt 0} & \\ \mathrm{a\lt -4\cup a \gt 4} & \end{array}\right.\Rightarrow a\lt -4 $$

При a > 0 парабола будет отрицательной только на интервале, что не соответствует условию.
Ответ: \(\mathrm{x\in(-\infty;-4)}\).

в) \(\mathrm{ax^2+2(a+1)x+4a\lt 0}\)
При a = 0 неравенство преобразуется в \(\mathrm{2x\lt 0\Rightarrow x\lt 0}\), т.е. выполняется не при всех x.
При a < 0 парабола будет всегда отрицательной при D < 0. Находим дискриминант: \begin{gather*} \mathrm{ D=4(a+1)^2-4\cdot a\cdot 4a=4a^2+8a+4-16a^2= }\\ \mathrm{ =-12a^2+8a+4=-4(3a^2-2a-1)\lt 0 } \end{gather*} Получаем систему: $$ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\lt 0} & \\ \mathrm{3a^2-2a-1\lt 0} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\lt 0} & \\ \mathrm{(3a+1)(a-1)\gt 0} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\lt 0} & \\ \mathrm{a\lt -\frac13\cup a\gt 1} & \end{array}\right.\Rightarrow a\lt -\frac13 $$

При a > 0 парабола будет отрицательной только на интервале, что не соответствует условию.
Ответ: \(\mathrm{x\in\left(-\infty;-\frac13\right)}\).

Пример 2. При каких значениях a множеством решений неравенства \(\mathrm{(x-a)^2(x-3)(x+5)\lt 0}\) является промежуток (–5; 3)?
Решаем систему: $$ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{(x-a^2)(x-3)(x+5)\lt 0} & \\ \mathrm{-5\lt x\lt 3} & \end{array}\right. $$ Если -5 < x < 3, то (x – 3)(x + 5) < 0. Значит: $$ (x-a)^2\gt 0\Rightarrow x-a\ne 0\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\ne x} & \\ \mathrm{-5\lt x\lt 3} & \end{array}\right.\Rightarrow \mathrm{a\leq -5\cup a\geq 3} $$ Ответ: \(\mathrm{a\in(-\infty;-5]\cup[3;+\infty)}\).

Пример 3. При каких значениях a оба корня уравнения \(\mathrm{x^2-(a+1)x-3a-2a^2=0}\) меньше числа 1?
По условию для корней x₁ < 1, x₂ < 1. По свойствам неравенств, их сумма x₁ + x₂ < 2, произведение x₁x₂ < 1.
По теореме Виета: \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{x_1+x_2=a+1\lt 2} & \\ \mathrm{x_1x_2=-3a-2a^2\lt 1} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\lt 1} & \\ \mathrm{2a^2+3a+1\gt 0} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\lt 1} & \\ \mathrm{(2a+1)(a+1)\gt 0} & \end{array}\right.\Rightarrow \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\lt 1} & \\ \mathrm{a\lt -1\cup a\gt-\frac12} & \end{array}\right.\Rightarrow \mathrm{a\lt-1\cup-\frac12\lt a\lt 1} \end{gather*} Ответ: \(\mathrm{a\in(-\infty;-1)\cup\left(-\frac12;1\right)}\).

Пример 4. Решите неравенство для всех значений a: \(\mathrm{(a+1)x\gt a^2-1}\) \begin{gather*} \mathrm{ (a+1)x\gt(a+1)(a-1) }\\ \mathrm{ (a+1)x-(a+1)(a-1)\gt 0 }\\ (a+1)\left(x-(a-1)\right)\gt 0\Rightarrow \left[ \begin{array}{ l l } \left\{\begin{array}{ l l} \mathrm{a+1\gt 0} & \\ \mathrm{x\gt a-1} \end{array}\right. & \\ \left\{\begin{array}{ l l } \mathrm{a+1\lt 0} & \\ \mathrm{x\lt a-1} & \end{array}\right. \end{array}\right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{ l l } \left\{\begin{array}{ l l} \mathrm{a\gt -1} & \\ \mathrm{x\gt a-1} \end{array}\right. & \\ \left\{\begin{array}{ l l } \mathrm{a\lt -1} & \\ \mathrm{x\lt a-1} & \end{array}\right. \end{array}\right. \end{gather*} Ответ:
При a > –1, x > a – 1
При a < –1, x < a – 1
При a = –1 решений нет.

п.2. Дробно-рациональные неравенства с параметрами

Пример 5. При каких значениях a неравенство верно при всех |x| ≤ 1: $$ \mathrm{\frac{ax-a(1-a)}{x-1}\lt 0} $$ Решаем систему:
\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{|x|\leq 1} & \\ \mathrm{\frac{ax-a(1-a)}{x-1}\lt 0} & \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{-1\leq x\leq 1} & \\ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{x-1\lt 0} & \\ \mathrm{ax-a(1-a)\gt 0} & \end{array}\right. \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{-1\leq x\leq 1} & \\ \mathrm{ax-a(1-a)\gt 0} & \end{array}\right. \Rightarrow\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{-1\leq x\leq 1} & \\ \mathrm{a(x+a-1)\gt 0} & \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{-1\leq x\leq 1} & \\ \left[ \begin{array}{ l l } \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\lt 0} & \\ \mathrm{x+a-1\lt 0} & \end{array}\right. & \\ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\gt 0} & \\ \mathrm{x+a-1\gt 0} & \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{0\leq 1-x\leq 2} & \\ \left[ \begin{array}{ l l } \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\lt 0} & \\ \mathrm{a\lt 1-x} & \end{array}\right. & \\ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\gt 0} & \\ \mathrm{a\gt 1-x} & \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right. \Rightarrow\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{0\leq 1-x\leq 2} & \\ \left[ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\lt 0} & \\ \mathrm{a\gt 2} & \end{array}\right. \end{array}\right. \Rightarrow \mathrm{a\lt 0\cup a\gt 2} \end{gather*} Ответ: \(\mathrm{a\in(-\infty;0)\cup (2;+\infty)}\).

Пример 6. При каких значениях a неравенство верно при всех 1 ≤ x ≤ 2: $$ \mathrm{\frac{x-2a-1}{x-a}\lt 0} $$ Решаем систему:
\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{1\leq x\leq 2} & \\ \mathrm{\frac{x-2a-1}{x-a}\lt 0} & \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{1\leq x\leq 2} & \\ \left[ \begin{array}{ l l } \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{x-a\lt 0} & \\ \mathrm{x-2a-1\gt 0} & \end{array}\right. & \\ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{x-a\gt 0} & \\ \mathrm{x-2a-1\lt 0} & \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{1\leq x\leq 2,\ \ 0\leq\frac{x-1}{2}\leq\frac12} & \\ \left[ \begin{array}{ l l } \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\gt x} & \\ \mathrm{a\lt \frac{x-1}{2}} & \end{array}\right. & \\ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\lt x} & \\ \mathrm{a\gt \frac{x-1}{2}} & \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right. \Rightarrow\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{ l l } \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\gt 2} & \\ \mathrm{a\lt 0} & \end{array}\right. & \\ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\lt 1} & \\ \mathrm{a\gt \frac12} & \end{array}\right. \end{array}\right.\Rightarrow \mathrm{\frac12\lt a\lt 1} \end{gather*} Ответ: \(\mathrm{a\in\left(\frac12; 1\right)}\).

п.3. Иррациональные неравенства с параметрами

Пример 7. Решите неравенство:
а) \(\mathrm{\sqrt{x-a}\geq 2x+1}\)
Решаем совокупность: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{ l l } \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{2x+1\leq 0} & \\ \mathrm{x-a\geq 0} & \end{array}\right. & \\ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{2x+1\geq 0} & \\ \mathrm{x-a\geq(2x+1)^2} & \end{array}\right. \end{array}\right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{ l l } \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{x\leq -\frac12} & \\ \mathrm{a\leq x} & \end{array}\right. & \\ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{x\geq -\frac12} & \\ \mathrm{x-a\geq 4x^2+4x+1} & \end{array}\right. \end{array}\right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\leq x\leq -\frac12} & \\ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{x\geq -\frac12} & \\ \mathrm{4x^2+3x+a+1\leq 0} & \end{array}\right. \end{array}\right. \end{gather*} Парабола y = 4x² + 3x + a + 1 будет иметь отрицательные точки при условии D ≥ 0. $$ \mathrm{D=3^2-4\cdot 4\cdot(a+1)=-16a-7} $$ Если \(\mathrm{D=0:\ a=-\frac{7}{16},\ x_0=-\frac38\gt-\frac12}\) – решение подходит
Ось симметрии параболы \(\mathrm{x_0=-\frac38}\), в зависимости от значения a, вершина параболы будет перемещаться по оси.
Если \(\mathrm{D\gt 0:\ 16a+7\lt 0\Rightarrow a\lt -\frac{7}{16}}\). \begin{gather*} \mathrm{x_1=\frac{-3-\sqrt{D}}{8}\geq-\frac12\Rightarrow -3-\sqrt{-16a-7}\geq-4\Rightarrow}\\ \Rightarrow \mathrm{\sqrt{-16a-7}\leq 1}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{-16a-7\geq 0} & \\ \mathrm{-16a-7\leq 1} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\leq -\frac{7}{16}} & \\ \mathrm{a\geq-\frac12} & \end{array}\right.\Rightarrow \mathrm{-\frac12\leq a\leq -\frac{7}{16}} \end{gather*} При \(\mathrm{a\gt-\frac{7}{16}}\) все точки параболы окажутся над осью OX, неравенство с ≤ 0 не будет иметь решений.
Получаем, что для \(\mathrm{a\lt-\frac12,\ a\leq x\leq-\frac12\cup x_1\leq x\leq x_2 \Leftrightarrow a\leq x\leq x_2}\)
Для \(\mathrm{a\gt-\frac{7}{16}}\) решений нет.
Ответ:
При \(\mathrm{a\lt-\frac12,\ a\leq x\leq-\frac{-3+\sqrt{-16a-7}}{8}}\)
При \(\mathrm{-\frac12\leq a\leq-\frac{7}{16},\ \frac{-3-\sqrt{-16a-7}}{8}\leq x\leq \frac{-3+\sqrt{-16a-7}}{8}}\)
При \(\mathrm{a\gt-\frac{7}{16},\ x\in\varnothing}\).

б) \(\mathrm{\sqrt[3]{a+x^3}-x\lt \sqrt[3]{a}}\)
\(\mathrm{\sqrt[3]{a+x^3}-\sqrt[3]{a}\lt x}\)
Возведём в куб обе части неравенства:
\begin{gather*} \mathrm{ a+x^3-3\sqrt[3]{(a+x^3)^2a}+3\sqrt[3]{(a+x^3)a^2}-a\lt x^3 } \\ \mathrm{ 3\sqrt[3]{(a+x^3)a(a-(a-x^3))}\lt 0 }\\ \mathrm{ -\sqrt[3]{(a+x^3)ax^3}\lt 0 }\\ \mathrm{ \sqrt[3]{(a+x^3)ax^3}\gt 0 } \end{gather*} Снова возведём в куб: $$ \mathrm{ (a+x^3)ax^3\gt 0 } $$ Решаем совокупность: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{ l l } \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\lt 0} & \\ \mathrm{(a+x^3)x^3\lt 0} \end{array}\right. & \\ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\gt 0} & \\ \mathrm{(a+x^3)x^3\gt 0} \end{array}\right. \end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} \mathrm{a\lt 0} & \\ \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} \mathrm{x\lt 0} &\\ \mathrm{a+x^3\gt} 0 & \end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l} \mathrm{x\gt 0} &\\ \mathrm{a+x^3\lt 0} & \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l} \mathrm{a\gt 0} & \\ \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} \mathrm{x\lt 0} & \\ \mathrm{a+x^3\lt 0} & \end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l} \mathrm{x\gt 0} & \\ \mathrm{a+x^3\gt 0} & \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} \mathrm{a\lt 0} & \\ \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} \mathrm{x\lt 0} &\\ \mathrm{x\gt-\sqrt[3]{a}} & \end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l} \mathrm{x\gt 0} &\\ \mathrm{x\lt-\sqrt[3]{a}} & \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l} \mathrm{a\gt 0} & \\ \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} \mathrm{x\lt 0} & \\ \mathrm{x\lt -\sqrt[3]{a}} & \end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l} \mathrm{x\gt 0} & \\ \mathrm{x\gt -\sqrt[3]{a}} & \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right.\Rightarrow \end{gather*} \begin{gather*} \Rightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} \mathrm{a\lt 0} & \\ \left[\begin{array}{l} \mathrm{\varnothing} &\\ \mathrm{0\lt x\lt -\sqrt[3]{a}} & \end{array}\right. \end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l} \mathrm{a\gt 0} & \\ \left[\begin{array}{l} \mathrm{x\lt -\sqrt[3]{a}} & \\ \mathrm{x\gt a} & \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{ l l } \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\lt 0} & \\ \mathrm{0\lt x\lt-\sqrt[3]{a}} \end{array}\right. & \\ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\gt 0} & \\ \mathrm{x\lt-\sqrt[3]{a}\cup x\gt 0} \end{array}\right. \end{array}\right. \end{gather*} Ответ:
При \(\mathrm{a\lt 0,\ \ 0\lt x\lt -\sqrt[3]{a}}\)
При \(\mathrm{a=0,\ \ x\in\varnothing}\) – решений нет
При \(\mathrm{a\gt 0,\ \ x\lt-\sqrt[3]{a}\cup x\gt 0}\).